1、下页返回上页柱体柱体(cylindrical body)体积体积=底面积底面积 高高特点特点：平顶：平顶.曲顶柱体体积曲顶柱体体积=？特点特点：曲顶：曲顶(curved vertex surface).曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积(volume)一、问题的提出一、问题的提出下页返回上页求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、分割、近似、求和、取极限求和、取极限”的方法，先看动画演示的方法，先看动画演示.下页返回上页刚才大家看到是曲顶刚才大家看到是曲顶 柱体的底面网格划分比较稀柱体的底面网格划分比较稀 的情况，下面请大家继续观看网格划分较密时的的情况，下面请大家继续观看网格划分较密
2、时的情况情况.下页返回上页曲顶柱体体积的计算步骤是：曲顶柱体体积的计算步骤是：用若干个小平顶柱用若干个小平顶柱体体积之和近似表体体积之和近似表示曲顶柱体的体积示曲顶柱体的体积.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积先分割曲顶柱体的先分割曲顶柱体的底，并取典型小区底，并取典型小区域域 ，求对应小，求对应小曲顶柱体体积的近曲顶柱体体积的近似值似值.下页返回上页求平面薄片的质量求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，求质量看作均匀薄片，求质量.所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量下页返回上页二、二重积分的
3、定义及其存在性二、二重积分的定义及其存在性下页返回上页积积积积分分分分区区区区域域域域积积积积分分分分和和和和被被被被积积积积函函函函数数数数积积积积分分分分变变变变量量量量被被被被积积积积表表表表达达达达式式式式面面面面积积积积元元元元素素素素下页返回上页对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：（2）二重积分的二要素：积分区域；被积函数）二重积分的二要素：积分区域；被积函数.对二重积分可积性的说明：对二重积分可积性的说明：（1）对二重积分同样可以引入上和、下和的概）对二重积分同样可以引入上和、下和的概 念，并得出可积的充要条件念，并得出可积的充要条件.见书定理见书定理21.4；21.5.
4、2）利用上二定理可得下述二存在性定理）利用上二定理可得下述二存在性定理定理1.有界闭区域有界闭区域D上的连续函数在上的连续函数在D上必可积上必可积.下页返回上页二重积分的几何意义二重积分的几何意义:当被积函数大于零时，二重积分是曲顶柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是曲顶柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是曲顶柱体体积当被积函数小于零时，二重积分是曲顶柱体体积的负值的负值 设设f(x,y)是有界闭区域是有界闭区域D上的有界函数上的有界函数，若若f(x,y)的不连续点都落在有限条光滑曲线上，的不连续点都落在有限条光滑曲线上，推论.若函数若函数f(x,y)在有界闭区域在有界闭区域D上有界
5、且仅在上有界，且仅在有限个点处不连续，则有限个点处不连续，则f(x,y)在在D上可积。上可积。定理2.则则f(x,y)f(x,y)在在D D上可积。上可积。下页返回上页 在直角坐标系下用平行在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区于坐标轴的直线网来划分区域域D，故二重积分可写为故二重积分可写为D D则则面积元素面积元素(areal element)为为下页返回上页性质性质（二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质三、二重积分的性质设设 、为常数为常数，则，则性质性质2对积分区域具有可加性对积分区域具有可加性下页返回上页性质性质3若若 为为D的面积的
6、面积,则则性质性质4若在若在D上上特殊地特殊地则有则有推论.若在若在D上上 且二者不恒等且二者不恒等.则有则有：下页返回上页性质性质5性质性质6（二重积分中值定理）（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）下页返回上页解解下页返回上页解解下页返回上页解解下页返回上页解解下页返回上页二重积分的定义二重积分的定义二重积分的性质二重积分的性质二重积分的几何意义二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）（和式的极限）（和式的极限）四、小结四、小结下页返回上页思考题思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之
7、处找出它们的相同之处与不同之处.下页返回上页 定积分与二重积分都表示某个和式的极限定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数上的二元函数思考题解答思考题解答下页返回上页练练 习习 题题下页返回上页下页返回上页下页返回上页练习题答案练习题答案下页返回上页作业（作业（-217）习题.3.5.(反证）
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