凸函数及其在证明不等式中的应用.doc

内江师范学院本科毕业论文

本 科 毕 业 论 文

题 目 凸函数及其在证明不等式中的应用
系 别 数学与信息科学学院
专 业 数学与应用数学
指导教师 吴开腾
评阅教师
班 级 2004级2班
姓 名 冀学本
学 号 20040241064

2008 年 ５ 月 ２７ 日

11

目 录

摘要 I
ABSTRACT I
1引言 1
2 凸函数的等价定义 1
2.1凸函数三种定义的等价性的讨论 2
2.1.1定义1定义2 2
2.1.2定义1定义3 4
2.2判定定理与JESEN不等式 4
3．性质 5
4凸函数在不等式证明中的应用 7
4.1利用凸函数定义证明不等式 7
4.2 利用凸函数性质证明不等式 8
结束语 11
参考文献 11
致谢 12

摘　要　首先给出了凸函数的三个典型定义，分析了它们之间的关系，并证明了三种定义之间的等价性．接着给出了凸函数的一个判定定理以及Jesen不等式．然后讨论了凸函数的几条常用性质，通过例题展示了凸函数在不等式证明中的应用．凸函数具有重要的理论研究价值和实际广泛应用，利用凸函数的性质证明不等式；很容易证明不等式的正确性．因此，正确理解凸函数的定义、性质及应用，更对有关学术问题进行推广研究起着举足轻重的作用．在不等式证明中的应用并举例说明解题思路与证明方法，最后证明了几个常见的重要不等式．并得到了几种常用凸函数的形式．
关键词　凸函数，凸性不等式，jensen不等式
Abstract　First has given the convex function three model definition， has analyzed between them the relations， and has proven between three kind of definition equivalence. Then has given a convex function determination theorem as well as the Jesen inequality. Then discussed convex function several commonly used nature， has demonstrated the convex function in inequality proof application through the sample question. The convex function has the important fundamental research value and the actual widespread application， the use convex function nature proof inequality;Very easy to prove the inequality the accuracy. Therefore， the correct understanding convex function's definition， the nature and the application， carry on the promotion to the related academic question to study the pivotal function. In the inequality proved that the application and explains with examples the problem solving mentality and the certificate method， finally has proven several common important inequalities. And obtained several kind of commonly used convex function forms.
Key words 　Convex function， convexity inequality， jensen inequality

1引言
凸函数是一类常见的重要函数，上世纪初建立了凸函数理论以来，凸函数这一重要概念已在许多数学分支得到广泛应用．例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中．常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数，即曲线位于每一点切线下方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线上方的函数；另一种叫下凸函数，即曲线位于每一点切线的上方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线下方的函数．现行高等数学教材中也都对函数的凸性作了介绍，由于各版本根据自己的需要，对凸函数这一概念作了不同形式的定义，本文介绍了凸函数的三种典型定义，讨论了它们的等价性，并给出了利用凸函数的定义证明凸函数的简单应用．凸函数在不等式的研究中尤为重要，而不等式证明最终归结为研究函数的特性，所以研究凸函数的性质就显得十分重要．凸函数的性质相当多，已有很多文献专门就函数凸性作了研究．本文就凸函数的性质介绍了几条常用的性质，并给出了证明；最后，重点介绍了凸函数的性质在不等式证明中的应用．
2 凸函数的等价定义
定义1[1]　若函数对于区间内的任意以及，恒有
，
则称为区间上的凸函数．
其几何意义为：凸函数曲线上任意两点间的割线总在曲线之上．
定义2　若函数在区间内连续，对于区间内的任意，恒有
，
则称为区间上的凸函数．
其几何意义为：凸函数曲线上任意两点间割线的中点总在曲线上相应点(具有相同横坐标)之上．
定义3　若函数在区间内可微，且对于区间内的任意及，恒有
，
则称为区间上的凸函数．
其几何意义为：凸函数曲线上任一点处的切线，总在曲线之下．
以上三种定义中，定义3要求在内是可导的，定义2要求在上是连续的．而定义1对函数则没有明显地要求．实际上可以证明在定义1中，函数在上是连续的．而定义1和定义2两个定义是否要求函数是可导的，则没有提出．如果加上可导的条件，则可证明三种定义是等价的．
2.1凸函数三种定义的等价性的讨论
2.1.1定义1定义2
证明 定义1定义3，取， 由定义1推得定义2．
定义2定义1
首先，论证对于任意的及有理数，不等式
，
成立．事实上，对于此有理数总可以表示为有穷二进位小数，即
，
其中或1，．由于也是有理数．所以也可以表示为有穷二进位小数，即
，
由于，有或1，，于是
．
所以

．
下面再论证对为无理数时定义1也成立．事实上，对任意无理数，存在有理数列，所以
，
由于在内连续，所以
．
综上即知，定义1与定义2等价．
2.1.2定义1定义3
证明 定义1 定义3：对内任意的及，若，则取，使．于是，可以得到
，
上式中令，由于可微，所以有，即．若，则取，使，同理可证．
定义3定义1：对于区间内的任意（不妨设）以及，令，则有，由泰勒公式，得
　　　　及，
其中，于是

再进一步由，所以即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　，
最后，由等价的传递性即知定义2与定义3也是等价的．
2.2判定定理与Jesen不等式
判定定理[2]　设为区间上的二阶可导函数，则在上为凸函数的充要条件是，．
用定义直接来判断一个函数是不是凸函数，往往是很困难的．但用该判定定理来判断一个光滑函数是否凸，则是相当简便的．在实际应用中常常先用导数来肯定函数的凸性，再反过来引出它必定满足凸性不等式．在许多证明题中，我们常常遇到一些不等式的证明，其中有一类不等式利用凸函数的性质定理来证明可以非常简洁、巧妙．证明不等式就是凸函数的一个应用领域，但关键是构造能够解决问题的凸函数．
定理 (Jensen不等式)[3]　设函数在上处处二次可微，且 (对任意，则为上的凸函数，即对任意，及成立如下不等式
， 　　 （1）
该不等式称为Jensen不等式，该性质是凸函数的一个重要性质，也是定义的一般情况．可以说，凸函数在不等式证明中的应用很大程度上是由Jensen不等式来体现的，因为每个凸函数都有一个Jensen不等式，因而它在一些不等式证明中有着广泛的应用．利用它可以推出常用的一些重要公式，为证明不等式开辟了一条新路．
注：由定理，经简单计算知下列函数在其定义域上都是凸函数，从而都满足不等式（1）．（a），（b），（c）．凸函数及其性质在解题中有着十分广泛的应用，下面试举数例述之．
3．性质
利用函数的凸性来证明不等式，是一种重要的方法，通常需要构造适当的凸函数，再运用函数的凸性的定义及几个等价论断，可将一些初等不等式，积分不等式转化为研究函数的性态，从而使不等式简化进而得到证明．函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态，把握区间上整体性态，不仅可以更加科学、准确的描绘函数的图象，而且有助于对函数的定性分析．凸函数是一类重要的函数．凸函数在不等式的研究中尤为重要，而不等式最终归结为研究函数的特性，所以研究凸函数的性质就显得十分必要了．
性质1[4] 设函数在区间为凸函数，则在区间也为凸函数．
证明：因函数在区间为凸函数，从而，且
　．
于是有

因此在区间为凸函数．
性质2设函数在区间为凸函数，则在区间为凸函数．
证明 ，因函数在区间为凸函数从而有
　　，
且
．
令，则

．
因此，在区间为凸函数．
性质3 [5]设函数在区间为递增的非负凸函数，则在区间为凸函数．
证明 ，设，因为非负凸函数，由定理3知，在点连续，且
　，
．
因此在区间连续，因递增，从而
且

由定义知在区间为凸函数．
当然凸函数的性质还远不止施工述几条，这里就不一一列举．
4凸函数在不等式证明中的应用
4．1利用凸函数定义证明不等式
例1 求证：对任意实数，有．
证明 设，则，故为上的凸函数．从而对，由定义有
，
即．
例2 设，则有．
证明 设 ，那么

，
于是时，．
由严格凸函数的定义，其中　得
，
即．
例3[6] 若为内的凸函数，，求证
．
证明 对，不等式是显然的，设对不等式成立，则因为
，
这里，，由定义有
，
例4若，则．
证明 令 ，，．由于则为上的严格凸函数，所以由例3的不等式有
，
即，由得
，
上式等号仅在成立．
4.2 利用凸函数性质证明不等式
例5 证明不等式：
，
其中 ．
证明 考虑对数函数，因为故函数是上凸函数，由上凸函数的性质，即得
，
由对数性质，即证明了 ． （2）
又考虑函数，所以．故也是上凸函数，由上凸函数的性质，得
，
即 ，
因此　　　　　　　　， （3）
综合（2），（3）整个命题证明结束．
例6 设均为正数，且．求证：
．
证明　考虑函数因为，所以是下凸函数，令，由下凸函数的性质，则有

　　　　　　　　 　　 （4）
，
由柯西不等式：　　得

，
于是有，并代入（4）式即得
，
证毕．
例7[7] 在中，求证．
证明 考虑函数，因为，所以在内是上凸函数，由上凸函数的性质有
，
由于．故．
例8[8] 设，，，则．
证明 记则，取，易知，有判定定理知为凸函数，取，由于．故由性质得
．
例9 设，，有，其中，．
证明 令，因为，由判定定理知，在上是严格凸函数，由Jensen不等式得到，今设为非负实数且，在上述表达式中以代替，得到．
由题设知令，不妨设，代入上式便得不等式．
特别地，取时得就到柯西不等式．
综上所述，在不等式的证明中，巧妙地应用凸函数的定义及性质，就可使一些较复杂的不等式迎刃而解．

结束语
通过研究凸函数的几种定义，分析它们之间的关系，证明了给出三种典型定义之间的等价性．给出了凸函数的一个判定定理以及Jesen不等式．然后讨论了凸函数的几条常用性质，接着通过例题展示了凸函数在不等式证明中的应用．凸函数的应用领域非常广泛，主要是在不等式的证明中，运用它解题显得巧妙，简练，通过对上述问题的证明，我们认识到利用凸函数的定义、等价定义、性质及判定定理证明不等式，关键是寻找合适的函数，若不能直接找出，则可以对不等式进行适当的变形，从而达到证明不等式的目的．至于凸函数在其他领域的应用则未涉及．

参考文献
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[4] 杜厚雄．凸函数的性质及其应用[J]．现代企业教育．2007:173-174．
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[6] 曹良干．凸函数的定义及应用[J]．阜阳师范学院学报．1994(2) ．
[7] 燕建梁，张喜善．凸函数的性质及其在不等式证明中的应用[J]．太原教育学院学报． 2002，20(4)：63-65．
[8] 李荣春．利用凸函数证明不等式[J]．宁德师专学报．1998，10(1) ．
致谢
经过半年的忙碌和工作，本次毕业论文已经接近尾声，作为一个本科生的毕业论文，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有导师的督促指导，以及一起工作的同学们的支持，想要完成这个论文是难以想象的．
在这里首先要感谢我的导师吴开腾老师．吴老师平日里工作繁多，但在我做毕业论文的每个阶段，从查阅资料到论文开题，中期检查，后期修稿定稿等整个过程中都给予了我悉心的指导．我的论文较为复杂烦琐，但是，吴老师仍然细心地纠正论文中的错误．除了敬佩吴老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的榜样，并将积极影响我今后的学习和工作．
然后还要感谢大学四年来所有的老师，为我打下数学与应用数学专业知识的基础；同时还要感谢所有的同学们，正是因为有了你们的支持和鼓励．此次毕业论文才会顺利完成．
最后感谢数学与信息科学学院和我的母校—内江师范学院大学四年来对我的大力栽培．
谨以此文献给所有关心和帮助过我的老师、亲人、同学和朋友们．我唯有在以后不断地努力进取，以学业和工作的继续求索来感谢培育我的母校和所有关心我的师长亲朋！希望我们都幸福快乐！
谢意难尽，前途漫长，除了热血、辛劳、泪水和汗水之外，我别无奉献．
论文落笔，如释重负，但“路漫漫其修远兮，吾将上下而求索”．