人教版高数选修2-2第5讲：定积分的概念与微积分基本定理(教师版)—东直门仉长娜.doc

定积分的概念与微积分基本定理

__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________

掌握定积分的计算，了解定积分的物理意义，会利用定积分求平面区域围成的面积.

一、定积分的概念：
从前面求曲边图形面积以及求变速直线运动路程的过程发现，它们都可以通过“分割、近似代替求和、取极限得到解决，且都归结为求一个特定形式和的极限，

事实上，许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限
1定积分的概念
一般地，设函数在区间上连续，用分点
将区间等分成个小区间，在每个小区间上取一点，作和式：
当）时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分。记为： 即=
其中函数叫做 ，叫做 变量，区间为 区间，积分 ，积分 。
说明：（1）定积分是一个常数
（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：等分区间；②近似代替：取点；③求和：；④取极限：
（3）曲边图形面积：；变速运动路程
2定积分的几何意义
从几何上看，如果在区间[a,b]上的函数连续且恒有。那么定积分表示由直线（），和曲线所围成的曲边梯形的面积。
3定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质1
性质2 （其中k是不为0的常数） （定积分的线性性质）
性质3 （定积分的线性性质）
性质4
（定积分对积分区间的可加性）
说明：①推广：
②推广:
③性质解释：
性质4
性质1

二、 微积分基本定理：
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（），
则物体在时间间隔内经过的路程可用速度函数表示为。
另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在上的增量来表达，即
=

而。
对于一般函数，设，是否也有

若上式成立，我们就找到了用的原函数（即满足）的数值差来计算在上的定积分的方法。
注：1：定理 如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，则

证明：因为=与都是的原函数，故
-=C（）
其中C为某一常数。
令得-=C，且==0
即有C=，故=+
=-=
令，有

类型一：定积分的概念：
例1计算下列定积分
1． 2.； 3.。
解：1.
2.因为，所以。
3. 因为，所以
。
例2．计算由两条抛物线和所围成的图形的面积.
【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
A
B
C
D
O
解：，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=，所以=
【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：
1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。

练习：
1.【2014江西高考理第8题】若则（　　）
A B. C. D.1
答案:B
2.【2014陕西高考理第3题】定积分的值为（　　）

答案：C
3．若则的大小关系为（　　）
A． B．
C． D．
答案：B
4．已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是（　　）
A．0是的极大值，也是的极大值
B．0是的极小值，也是的极小值
C．0是的极大值，但不是的极值
D．0是的极小值，但不是的极值
答案：C
5：已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
答案：C

二、定积分求面积
1．【2014山东高考理第6题】直线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（　　）
A. B. C. D.4
答案：Ｄ
2．直线过抛物线的焦点且与轴垂直,则与所围成的图形的面积等于（　　）
A． B．2 C． D．Com]
答案：C
3．已知函数的图象是折线段，其中、、，函数（）的图象与轴围成的图形的面积为_________．
答案：

一、选择题（共4小题，每小题10分，共40分）
1. 下列各定积分的值等于1的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】理解定积分符号表示的几何意义，我们结合图象可以得解。
2. 将和式的极限表示成定积分（　　）
A. B. C. D
【答案】B
【解析】由求和式极限，我们知道求和式可以表示为
，故可以知道被积函数为，积分区间为[0，1]
3. 求由围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（　　）
A.［0，］ B.［0，2］ C.［1，2］ D.［0，1］
【答案】B
【解析】根据作图来判定积分区间。
4. 如下图，阴影部分的面积为（　　）

A. dx
B. dx
C dx
D. dx
【答案】B
【解析】利用定积分的几何意义和定积分的运算性质可以得到。
二、填空题（每题10分，共40分）
5. 由定积分的几何意义分析，则=_________
【答案】
【解析】理解积分表示的几何意义，由x=3,x=-3,y=0和函数围成的面积，结合图形我们知道，所求的面积是圆面积的一半。
6. 将和式表示为定积分___________
【答案】
【解析】
根据和式变形我们可以得到

这样我们就可以找到原来的函数
7. 按万有引力定律，两质点间的吸引力，ｋ为常数，为两质点的质量，r为两质点间距离，若两质点起始距离为ａ，质点沿直线移动至离的距离为b处，试求所做的功是（b＞a）________________．
【答案】
【解析】运用以不变代变的思想，将区间[a,b]分割为n等分，然后取近似值求和，取极限可以得到解。
8. 由及轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分形式应表达为_____________________．
【答案】
【解析】作出余弦函数图象，我们可以发现，在区间与上，，
而在区间与上，，这样我们结合定积分的运算性质可以把其合并为

三、解答题（共20分）
9. 利用定义求定积分的值。
【答案】
【解析】解：因为x2在区间上连续，所以存在把区间分成n等份，每份长，各分点是：,

_________________________________________________________________________________
____________________

基础巩固
一、选择题
1 ．(安徽寿县一中2012年高三第四次月考试卷)求由曲线,直线及轴所围成的图形的面积错误的为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C．
2 ．(江西重点高中协作体第二次联考理科)若函数,则的值为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C．
3 ．(2011-2012学年厦门市3月份高三数学质量检查试题(理科))如图,已知幂函数的图像过点,则图中阴影部分的面积等于（　　）

A． B． C． D．
【答案】C．
4 ．(2012年高考(湖北理))已知二次函数的图象如图所示,则它与轴所围图形的面积为（　　）

y

x
O

第４题图

A． B． C． D．
【答案】解析:根据图像可得: ,再由定积分的几何意义,可求得面积为.
5 ．(2012年高考(福建理))如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】,故,答案C
6．（北京四中2013届高三上学期期中测验数学(理)试题）函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（　　）

A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【解析】根据积分的应用可求面积为
,选A．
７．（2013北京朝阳二模数学理科试题）若,则实数的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B．
８．（2013届北京大兴区一模理科）抛物线绕轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的体积是（　　）

A．1 B．8 C． D．
【答案】B
９ ．(陕西省西安中学2012届高三下学期第三次月考试题)如图,设D是图中边长为的正方形区域,E是D内函数y=x2图象下方的点构成的区域.向D中随机投一点,则该点落入E中的概率为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C．
１０．(东北四校2012届高三第一次高考模拟考试数学(理)试题)若,则a的值是（　　）
A．2 B．3
C．4 D．6
【答案】A．
１１．(2013湖北高考数学(理))一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度(的单位:,的单位:)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位;)是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C解:令,则.汽车刹车的距离是,故选 C．
１２．（2013北京高考数学（理））直线l过抛物线C: x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于（　　）

A． B．2 C． D．
【答案】C 的方程是,所求面积相当于一个矩形面积减去一个积分值:.
二、填空题
１３．（北京市海淀区2013届高三上学期期中练习数学（理）试题）___________.
【答案】
１４．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三12月综合练习(一)数学理试题）由曲线,直线及轴所围成的图形的面积为______________.
【答案】【解析】由,解得,即,所以所求面积为

能力提升
１５．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））计算____________.
【答案】
１６．(2013湖南高考数学(理))若_______
【答案】3 解:
１７．(2012年高考(江西理))计算定积分___________.
【答案】 【解析】本题考查有关多项式函数,三角函数定积分的应用.
.
１８．(福建省龙岩市高中毕业班数学3月质量检查(理科))设函数,若, 其中,则=________.
【答案】
１９．(2012年高考(山东理))设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为,则______.
【答案】【解析】由已知得,所以,所以.
２０．(湖北黄冈中学高三五月模拟)函数在点处的切线与函数围成的图形的面积等于_________.
【答案】
２１．(2012年石景山区高三数学一模理科)如图,圆内的正弦曲线与轴围成的区域记为(图中阴影部分),随机往圆内投一个点,则点落在区域内的概率是_________.

【答案】
２２．(2012年高考(上海文))已知函数的图像是折线段ABC,若A(0,0),B(,1),C(1,0).函数的图像与x轴围成的图形的面积为_______.
【答案】[解析] 如图1,,
x
y
A
B
C
1
1
图1
(O)
N
x
y
O
D
M
1
P
图2

所以,
易知,y=xf(x)的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同,只是开口方向及顶点位置不同,如图2,封闭图形MND与OMP全等,面积相等,故所求面积即为矩形ODMP的面积S=.
２３．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）图中阴影部分的面积等于___________.
【答案】
解：根据积分应用可知所求面积为。
２４．(惠州市2012届高三一模考试数学(理科)试题解析版)由曲线,围成的封闭图形面积为___________.
【答案】【解析】结合图形可知所求封闭图形的面积为.
２５．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）=___________.
【答案】

13