二阶变系数线性微分方程的求解问题--本科毕业论文.docx

目录一、论文正文摘要（1）1 引言（1）2 构造系数函数法（1）2.1 第一种构造系数函数法（1）2.1.1 应用举例（4）2.2 第二种构造系数函数法（5）2.2.1 应用举例（5）3 常数变异法（5）3.1 求二阶变系数齐次线性微分方程的通解（6）3.2 求二阶变系数非齐次线性微分方程的解（7）3.3.1 应用举例（8）4 总结（9）致谢（9）参考文献（9）二、附录开题报告（11）中期检查报告（12）结题报告（14）答辩报告（15）答辩过程记录（16）二阶变系数线性微分方程的求解问题苏鲜娜（宝鸡文理学院 数学与信息科学学院，陕西 宝鸡 721013 ）摘 要:本文考虑二阶变系数线性微分方程的求解问题.基于系数函数的特点,利用常数变异法,获得二阶变系数线性微分方程的通解，并举例说明。关键词:二阶变系数线性微分方程；通解；常数变易法1 引言 随着科学的发展和社会的不断进步，微分方程的应用也越来越广泛，比如在物理，化学，电子技术，自动控制等领域，它都发挥着及其重要的作用，同时也都提出了许多有关微分方程的问题。对于有关常系数线性微分方程的问题，已有许多研究者提出了各种不同的求解方法，然而，对于变系数线性微分方程，特别是二阶甚至高阶变系数线性微分方程的求解问题却研究的并不是很多，作为微分理论重要组成部分的二阶变系数线性微分方程，在现代科技、工程等各领域中都具有广泛的应用，可是对于如何来求解二阶变系数线性微分方程, 虽然对其解的结构已有一定研究，但是却仍然没有一种成规的方法. 无论是在中国还是在外国现行的高等数学1中，也只是对于常系数微分方程的求解问题做了比较详细的研究与归纳，即使在常微分方程中也没有对二阶变系数微分方程的通解或者特解作出更深一步的研究。如果,为连续且非常数的函数，那么方程，被称为二阶变系数线性微分方程。若，则该方程就被称之为二阶变系数齐次微分方程。对于一般的二阶常系数线性微分方程，根据常微分方程教材2，用积分变换法，常数变异法等方法便可以顺利求得其解。然而对于在实际问题中经常所遇到的变系数线性微分方程，这些求解方法均将失效。介于这种情况，通过对二阶变系数线性微分方程的有关教材和许多学者的文献的研究，总结了前人的成果，根据方程本身的特点，运用不同方法来构造系数函数,对二阶变系数线性微分方程的求解问题进行讨论，通过某些适当的变换,将二阶变系数微分方程的求解问题转化为求一阶变系数线性微分方程的通解,继而根据已有的知识经验，来求解二阶变系数线性方程。2 构造系数函数法 2.1 第一种构造系数函数法定理1 设二阶变系数线性微分方程 ， （1）其中均为连续函数，若存在连续函数,使得 （2） 则方程(1)有通解,为，或者.证明 如果二阶变系数线性微分方程中的系数分别满足(2)那么方程（1）即可变形为.整理即可得 ,即.令 , (3) 则 ,那么原方程（1）便可以转化为 , （4） 此方程为一阶非齐次线性微分方程.方程（4）所对应的齐次方程为 , （5） 所以有,两边同时积分得,即,则方程(5)的通解为.那么方程(4)的通解为 , (其中为任意常数)将方程（4）的通解带入(3)式，方程（1）则可通过上述变换降阶为 . （6）由于方程（6）是通过方程（1）降阶而转化来的，因此该一阶线性微分方程的通解便是我们所要求解的二阶变系数非齐次线性微分方程的通解。又因为方程的解是 ,整理得 , （7）所以式（7）即为二阶变系数线性微分方程（1）的通解公式。又因为由（2）式中可得 所以将其分别代入（7）式，便可以得到方程（1）的另外两种表达形式的通解,即 , （8）或者, (9) 推论1 当时,方程（1）就变成了二阶变系数齐次微分程。此时程（7），（8）,（9）分别为 ， （10） ， （11） ， （12）方程（10），（11），（12）便成为与之对应的微分方程的通解公式。推论2 形如是常数。这种类型的方程可以化为伯努利方程进行求解.解 原方程可以转化为 ,令 ，当时，原方程便可化简为 型伯努利方程,利用变量变换法即可将伯努力微分方程转化为线性微分方程，实际上是给方程两边同时乘以得 ， （13） 继续引入变量 ， （14） 从而便可得到 ， （15） 将方程（13），（14），（15）依次代入到方程和方程中，便可得到原方程的通解。注意 定理中的条件很苛刻,并非任何情况下此结论都成立,那么对于任意，和是否存在？下面我们来讨论一下（1）先讨论的存在条件已知是关于的连续函数,且满足，则有 ，整理得 ， （16） 方程（16）对应的齐次微分方程为. （17） 设已知为方程（17）的通解,是方程（16）的一个特解,则方程（16）的通解可以表示为，因为是方程（17）的通解，所以必符合方程（17），将代入方程（17）得，两边同乘以，即可以 得到，即.令, 则 ,即可以得,所以，所以,因此方程（20）的通解可表示为.所以满足的条件为.（2）讨论存在条件由得,.综上所述，只有当满足,的时候，成立2.1.1 应用举例例1 解方程的通解。解 如果令, 那么有，和,将其整理得.令,则原方程可化简为,求得的通解为,所以方程的通解为所以.因为的通解为，所以原方程的通解为,（其中，均为任意常数）.2.2 第二种构造系数函数法 定理2 假设对于二阶变系数线性微分方程(1),它的系数分别满足 （18）其中均为一阶导数连续的函数,那么二阶变系数微分方程（1）的通解为.证明 如果方程（1）的系数满足条件(18),则将条件(18)代入方程（1），便可以得到方程，整理即可得,两边同时积得,继续整理可得通解为 ,(其中为任意常数).推论 如果方程满足定理2的条件，而且，则方程（1）有通解为.2.2.1 应用举例例 求解方程解 令,则所以由定理2可得，方程的通解为.3 常数变异法定理3 若方程（1）所对应的齐次微分方程为 ， (19)方程（19）的通解为，且是非齐次微分方程的一个特解，那么方程（1）的通解即可表示为：接下来我们具体来求以及.3.1 求二阶变系数齐次线性微分方程的通解.设二阶线性齐次微分方程有两个线性无关解分别是，则方程（19）的通解便可以表示为,（其中为任意常数）如果一个特解已知，那么此问题就转化为求与线性无关的另外一个特解 ，如果，且常数。假设当时，与线性无关，那么有 , , . 因为是 齐次微分方程（19）的一个线性无关解，所以符合方程（19），将其带入方程（19）得,整理得,因为是已知方程（19）的一个已知特解，所以必将符合方程（19）即,所以 , （20）又因为，所以给方程（20）两边同时除得 , （21）令，则（21）可转化为，分离变量，即可得到 ,两边同时积分得，所以,即,因为,所以,所以给等式两边再次积分得,所以, ，因为为方程(18)的另一个特解,所以方程(18)的通解为. 3.2 求二阶变系数非齐次线性微分方程的解假设二阶变系数微分方程(1)的特解为,我们可以仿照二阶齐次微分方程求解的方法进行求解,如果是方程(18)的通解,那么我们可以将方程(1)的特解设为 , （22）则符合方程(1),把它代入方程时,所得应为恒等式。又因为，所以我们令 , (23)则 , （24）将（24）式两端进行求导得,再将, 代入方程（1），得 （25）又因为都是齐次线性微分方程（18）的解，所以, ，所以方程（25）可以转化为 （26）将方程（23）和（26）联立得方程组,解方程组得 , . 积分得 , 从而有所以原方程的通解为3.3.1 应用举例例1 求微分方程的通解.解 通过观察可以知,方程对应的齐次微分方程的一个特解为.设方的通解为，一个特解为,存在使得, ，将代入方程, ，整理得.令，那么有,即.积分得,即可以得到.所以有,再次积分可得.所以有.所以可以得到方程的通解可表示为.设原方程的一个特解为，则可利用常数变易法得到，即可联立方程组可以得到,解得 ,.再次积分得 ,.所以有方程的特解,所以原方程的通解为例2 如果是方程的一个特解，试求方程的通解。解 作变量变换,则可以得将代入原方程，得,整理得 .因为是原方程的一个解,所以，则，即.因为, 所以.解方程得,所以,.4 总结 该论文通过对二阶变系数线性微分方程的研究，以教材和学者的研究为基础，在此基础上，通过构造系数函数法，和常数变异法，通过变量变换阐述了几种求解二阶变系数线性微分方程的方法。1 通过构造和这两个函数来对二阶变系数线性微分方程进行研究，通过变量变换，将二阶线性微分方程转化为已学习的一阶线性方程，从而得出求解二阶线性微分方程的方法，在此基础上对几种特殊情况进行了探讨，并附有详细例题。2 通过构造系数函数和 ，对所求解方程进行讨论，通过降阶，从而得出解法。3 以刘维尔公式为基础，通过变量变换和常数变异法的结合使用，在的情况下，将二阶变系数线性微分方程的求解问题转化为求一阶线性微分方程的解，继而得出解法。 致谢：本文在写作过程中得到贾化冰老师的指导，在此表示衷心的感谢。参考文献：1 同济大学应用数学系.高等数学M.6版.北京:高等教育出版社.2007:83-96.2 王高雄，周之铭，朱思铭.常微分方程M.3版.北京:高等教育出版社.1982:120-144.3 张学元,变系数二阶线性常微分方程的一个新的可解类型J.大学数学,2003(1):96-98.4 李高,李殊璇,常秀芳二阶变系数线性微分方程可解的研究J河北北方学院学报(自然科学版)，2013(02):12,215 胡劲松.二阶变系数线性微分方程与Riccati 方程的关系J.大学数学,2009(1):163-167.6 李鸿祥.两类二阶变系数线性微分方程的求解J.高等数学研究,2002(2):10-13.7 李录苹,王通.关于几类二阶微分方-程的解法J.雁北师范学院学报,2006(02):71-72.8 齐敦仁.二阶变系数线性微分方程的求解方法J.淄博师专学报,1994(2):55-60.The solution of second order linear differential equation with variable coefficientsSU Xian-na(Institute of Mathematics and Information Science,Baoji University of Arts and Sciences,Baoji 721013,Shanxi,China)Abstract: In this paper, we discuss the solutions of the second-order linear differential equation with variable coefficients. Based on the characteristics of the coefficient functions, we obtain general solution of second-order linear differential equation with variable coefficients with constant variation method. Moreover, some examples are given.Key words: second-order linear differential equation with variable coefficient; the general solution; constant variation method宝鸡文理学院本科毕业论文开题报告论文题目：二阶变系数线性微分方程的求解问题 一、选题依据 1.二阶变系数线性微分方程是微分方程理论的重要组成部分，在现代科技，工程等各个领域都有广泛的应用。比如在物理，化学，电子技术，自动控制等领域，它都发挥着及其重要的作用。2.对于如何来求解二阶变系数线性微分方程，至今却没有成规的方法，使得许多实际问题得不到解决。基于以上两点，本文对二阶变系数线性微分方程进行研究。二、研究内容本文通过对二阶变系数线性微分方程的有关教材和许多学者的文献的研究，总结了前人的成果，根据方程本身的特点，运用不同方法来构造系数函数,以构造的辅助函数为桥梁，对二阶变系数线性微分方程的求解问题进行讨论，通过一些适当的变量代换,将二阶变系数微分方程的求解问题转化为求一阶变系数线性微分方程的通解,继而根据已有的知识积累，来间接的求解二阶变系数线性方程，最终得出其通解。三、指导教师意见 经审查，同意开题。 签 名： 年 月 日宝鸡文理学院本科毕业论文中期检查报告论文题目：二阶变系数线性微分方程的求解问题 一、论文进展情况1.是否按照开题报告计划进行是.目前已按照开题报告先构思,再列大纲,目前,论文已经利用降阶法从两个方面对二阶变系数线性微分方程的求解问题进行探讨并论证,初稿已基本完成;但格式,内容等还存在问题,需要继续修改,完善.2.现已查阅的文献1 同济大学应用数学系.高等数学M.6版.北京:高等教育出版社.2007:83-96.2 王高雄，周之铭，朱思铭.常微分方程M.3版.北京:高等教育出版社.1982:120-144.3 张学元,变系数二阶线性常微分方程的一个新的可解类型J.大学数学,2003(1):96-98.4 李高,李殊璇,常秀芳二阶变系数线性微分方程可解的研究J河北北方学院学报(自然科学版)，2013(02):12,215 胡劲松.二阶变系数线性微分方程与Riccati 方程的关系J.大学数学,2009(1):163-167.6 李鸿祥.两类二阶变系数线性微分方程的求解J.高等数学研究,2002(2):10-13.7 李录苹,王通.关于几类二阶微分方-程的解法J.雁北师范学院学报,2006(02):71-72.8 齐敦仁.二阶变系数线性微分方程的求解方法J.淄博师专学报,1994(2):55-60.3.目前论文进展情况及下一步工作计划目前，论文初稿已经基本完成，对二阶变系数微分方程运用所研究的方法给出通解，并附有典型例题；下一步计划：论文还存在许多不足，如格式存在问题，内容不够完善，论文中对求解二阶变系数线性微分方程所构造的系数函数存在条件尚不明确，接下来主要工作就是严格按照要求继续修改完善。签 名： 年 月 日二、指导教师检查结果1.对学生写作态度、理论水平、研究能力的评价苏鲜娜同学已经于4月6日上交初稿，通过查找相关书籍和资料，对二阶变系数线性微份方程内容有了充分的认识和了解。对所学的知识把握较好，对所要研究的问题已有自己的研究方法，认真钻研，能查阅资料解决所要研究的问题。在写作期间，该同学每次都能积极参加论文的各项指导活动，细心听取老师的指导和意见，并仔细认真的查阅了相关的文献资料，对所写的知识有了全新的理解和认识，并且能够按照计划顺利完成初稿。在论文的研究过程中仍需要进一步的创新与探索，使论文更加完善。2.对学生论文进展情况的评价苏鲜娜同学能够按照计划完成题目确定、开题报告和论文的初稿等工作。在确定课题后，能积极查阅书籍和文献资料，了解课题的发展方向和前沿知识，遇到问题及时和老师同学沟通，目前已完成论文的大致框架，总结归纳部分已经按要求整理完毕，正在进行理论创新部分的书写和整理工作。经期中检查，论文中还有一些问题需要进一步地修改和改善。例如该生在写作过程中，科研创作能力比较缺乏，对研究的课题未能深入分析，以至于研究结果局限性比较大。以及格式等问题较大，需要下来多加修改。 指导教师签名 ： 年 月 日 宝鸡文理学院本科毕业论文结题报告论文题目：二阶变系数线性微分方程的求解问题 一、课题完成情况，包括研究过程、结果及存在问题等目前，毕业设计已经基本完成。1.研究过程：本文通过对二阶变系数线性微分方程的有关教材和许多学者的文献的研究，总结了前人的成果，根据方程本身的特点，运用构造系数函数法和常数变异法对二阶变系数线性微分方程的求解问题进行讨论，通过某些适当的变换,将二阶变系数微分方程的求解问题转化为求一阶变系数线性微分方程的通解,继而根据已有的知识经验，来求解二阶变系数线性方程。2.研究结果：本文通过研究，得出求解二阶变系数线性微分方程的一般方法。3.存在问题：由于本人知识储备不够充足，思考问题方面不够全面，在求解过程中仍存在一定局限。签 名： 年 月 日二、指导教师评审意见及论文成绩在论文写作过程中，该生能按要求积极参加论文指导的各项活动，且态度认真，能够查阅相关的文献资料，能按照计划进度完成论文写作工作.论文语言规范，层次分明，结构合理。并能够按照统一的格式、要求书写打印论文，形式规范，该论文符合大学毕业论文的基本要求。并能按照统一要求打印论文。该论文符合大学生毕业论文的基本要求。同意结题，同意答辩。成 绩： （百分制） 签 名： 年 月 日 三、院毕业论文指导委员会审查意见：经审查，同意答辩。 签 名： 年 月 日宝鸡文理学院本科毕业论文答辩报告论文题目： 二阶变系数线性微分方程的求解问题 评语： 苏鲜娜同学的“二阶变系数线性微分方程的求解问题”一文，考虑了二阶变系数线性微分方程的求解问题,利用构造系数函数法和常数变异法，对二阶变系数线性微分方程的通解进行讨论。 通过降阶，从而获得二阶变系数线性微分方程的通解，并举例说明了各种解法。答辩小组成员认真听取了该同学对自己论文所作陈述，针对论文内容和所涉及的相关学科进行提问。从答辩过程可以看出，针对论文内容和所涉及的相关学科进行提问，从答辩过程可以看出，该同学对自己论文的内容相当熟悉，能够简要的陈述论文内容，回答问题思路敏捷，态度诚恳，并能认真听取答辩小组成员的修改意见。答辩小组一致通过该同学的论文答辩。 答辩小组姓 名职 称答辩成绩签 字组 长王爱丽副教授成 员王爱丽副教授贾化冰副教授李 娟讲师毕业论文成绩（百分制）指导教师评定成绩（权重50%）答辩成绩（权重50%）总评成绩宝鸡文理学院本科毕业论文答辩过程记录（附页）论文题目：二阶变系数线性微分方程的求解问题 答辩记录1.王爱丽老师问:本文构造了那个系数函数，构造系数函数的作用？答:本文构造了和两个系数函数。目的在于通过构造系数函数，以构造的辅助函数为桥梁，将二阶变系数线性微分方程的求解问题转化为求一阶变系数线性微分方程得解。2.李娟老师问：第四页推论2的方程怎样进行变换？答:根据二项展开式 =，所以方程即可转换为，将用整体代换，即可将原方程转化为伯努利方程进行求解。3.贾化冰老师问：对于系数函数中任意的，都存在吗？ 答:并不是在任意情况下都存在的，在文章第四页最下段以及第五页对的存在条件进行了讨论。得出的结论是只有当满足以下条件时，即当,时才成立。4.王爱丽老师问：第八页最下端为什么？ 答:因为与是线性无关的，根据线性无关的相关概念可知，所以有成立。注：每名学生的答辩过程都要分别记录。 秘书(签字)23