概率论与数理统计：概率半期解答.doc

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电子科技大学2012 -2013学年第 1学期期 中 考试 A 卷

课程名称：概率论与数理统计 考试形式: 闭卷考试日期： 20 12 年 11 月 10 日 考试时长：_120_分钟
本试卷试题由_____部分构成，共 3 页。

题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
合计
得分

得 分

一、简答题(每题8分, 共计40分)
1. 事件的独立性是否存在传递性? 即事件A与事件B相互独立，事件B与事件C相互独立，能否推知事件A与事件C相互独立？试举例说明.
解答 事件的独立性不存在传递性. (3分)
反例 独立地抛掷出一枚硬币和一个骰子，令三个事件如下
，， (6分)
则事件A与事件B相互独立，事件B与事件C相互独立，但事件A与事件C不相互独立. (8分)

2. 给出多维随机变量相互独立和两两独立的概念，为什么说多维随机变量的独立性本质上是随机事件组的独立性？
解答 设n维随机变量的联合分布函数为，若对所有实数组均有

成立, 称相互独立. (3分)
若对一切1 ≤ i1 < i2 ≤ n及都有 成立则n维随机变量两两独立. (5分)
根据分布函数的定义, n维随机变量相互独立即对任意实数向量(x1 , x2, …, xn), n个随机事件Ak={Xk ≤ xk}, k=1,2, …, n， 都相互独立. (8分)

3. 设两个随机变量X与Y相互独立且同分布：P{X=－1}= P{Y=－1}=, P{X=1}= P{Y=1}=，试计算概率P{X=Y}和P{X+Y=0}.
解答 根据X与Y的边缘分布律得下表 (3分)
X / Y
－1
1
X
－1

1

Y

根据随机变量X与Y的相互独立性, 可知上表中四个空格处概率均为, (6分)
有下表
(X , Y)
(－1, －1)
(－1, 1)
(1, －1)
(1, 1)
p

可得 P{X=Y}=+=, P{X+Y=0}=+= (8分)
注 用其他表达形式得到结果,类比给分.

4. 在区间[0, 2]上任意取两个数x, y，试求两数满足不等式的概率.
解答 任意选取两个数”意味x和 y在[0, 2]上
等可能被选取，即二维随机点( X, Y)在边长为2
的正方形上服从均匀分布， (3分)
所求概率为
(8分)

5. 假设随机变量X 服从指数分布，试求 Y= min{X, 2}的分布函数，并讨论随机变量Y是否为连续型随机变量，为什么？
解 (3分)
(6分)
连续型随机变量的分布函数处处连续,在y=2处不连续，故Y非连续型随机变量 (8分)

得 分

二、 二证明题 (12分)已知随机变量X与Y相互独立, 且X~U(0,1), Y~B(1, p). 证明X2与Y2相互独立.

证明 需证 对任意的及k = 0,1，随机事件与相互独立. (3分)
因Y与Y2同分布，且X与Y相互独立, 当，k =0,1 (5分)
(9分)
当，k =0,1
(12分)
故X2与Y2相互独立.
或证明 任意实数对(x, y), (X2, Y2)联合分布函数G(x, y)满足

得 分
三、 (14分) 设电源电压（单位：V），通常有三种状态：（a）电压 不超过200V；（b）电压在200V~240V之间；（c）电压超过~240V. 在上述三种状态下，某电子元件损坏的概率分别0.1，0.001及0.2，试求1）该电子元件损坏的概率； 2）在电子元件损坏的情况下，分析电压最可能处于什么状态？（附：）
解 记 {电压处于状态a}, {电压处于状态b}, {电压处于状态c},
B={该元件损坏}，则构成Ω的一个划分，且
，， (3分)
，

(8分)
由全概率公式 (10分)
（2）由贝叶斯公式
，，
， (12分)
在电子元件损坏的情况下，分析电压最可能处于状态（c）. (14分)

得 分
四、(14分)设随机变量相互独立且都服从参数为p的0-1分布，已知矩阵为正定矩阵的概率为. 试求1)参数p的值; 2) 随机变量的概率.
解 1) 因矩阵正定的充分必要条件是其所有顺序主子式都大于0, 故有 (3分)

解得. (7分)
2) 随机变量的全部取值为, (10分)

(14分)

得 分
五、（20分）随机变量（X, Y）的联合概率密度函数是
(x, y)∈R2
其中
1) 证明X与Y都服从正态分布；2) 求随机变量Y关于X的条件概率密度; 3）讨论X与Y是否相互独立？ 4) 根据本题的结果，你能总结出什么结论？
解 1) （3分）
（5分）
即.

（9分）
2） 对任意 ，因
（14分）
3） 因 故X与Y不相互独立.
或因 ，故X与Y不相互独立. （17分）
4）如 ① n维正态随机变量的每一分量均服从正态分布，反之不成立；
② 可由条件分布确定两个随机变量的独立性；
等等，只要是总结出可用的结论均可 （20分）
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