工程数学(复变函数积分变换场论)59432.doc

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第二章 解析函数
第一节 解析函数的概念
第二节 函数解析的充要条件
第三节 初等函数

第一节 解析函数的概念
第一节解析函数的概念
第二章
一复变函数的导数与微分
解析函数二解析函数的概念
吴新民
- 2 -

第一节 解析函数的概念
一复变函数的导数与微分
1) 导数的定义
第二章定义设函数 w = f (z)定义在区域 D内, z0为
z + Dz
0
D中的一点。点
不出D的范围, 如果极限
解析函数
lim f (z0 + Dz)- f (z0)
Dz
Dz®0
存在, 则说函数 w = f (z)在 z0处是可导的, 而称这
f ¢(z0)或
个极限值为函数 f (z)在 z0的处导数, 记作
dw
。即
dz
z=z0
吴新民
- 3 -

第一节 解析函数的概念
f ¢(z0) = dw
= lim f (z0 + Dz)- f (z0)
Dz
(2.1.1)
dz z=z0
Dz®0
如果函数w = f (z)在区域 D上每一点都是可导的,
第二章
则称 w = f (z)是D上的可导函数。
¢ ¢
f (z) f (1- i)。
、
设 f (z) = z3, 求
例1
解析函数
f (z + Dz)- f (z)
Dz
因为 lim
解
Dz®0
= lim (z + Dz)3 - z3
Dz
Dz®0
= lim[3z2 + 3zDz + (Dz)2] = 3z
2
Dz®0
因此 f ¢(z) = 3z2,
f ¢(1- i) = -6i
吴新民
- 4 -

第一节 解析函数的概念
研究函数 f (z) = y + 2xi的可导性。
lim f (z + Dz)- f (z)
例2
解
Dz
Dz®0

= lim (y + Dy)+ 2(x + Dx)i - y - 2xi
第二章
Dx + iDy
Dx®0
Dy®0
Dy + 2iDx
Dx + iDy
解析函数
= lim
Dx®0
Dy®0
由于
lim Dy + 2iDx=
Dy + 2iDx = -i
Dx + iDy
2i, lim
Dx=0
Dy®0
Dx + iDy
Dx®0
Dy=0
因此函数 f (z) = y + 2xi
不可导
吴新民
- 5 -

第一节 解析函数的概念
例3研究函数 f (z) = y2 + 2xi x i
-
在点 处的可
导性。
解 由于
第二章
lim f (z + Dz)- f (z)
Dz
Dz®0
解析函数
= lim (-1+ Dy)2 + 2(x + Dx)i - ((-1)2 + 2xi)
Dx + iDy
Dx®0
Dy®0
= lim 2i(Dx + iDy) = 2i
Dx + iDy
Dx®0
Dy®0
因此 f ¢(x - i) = 2i
吴新民
- 6 -

第一节 解析函数的概念
2) 可导与连续的关系
由例2可知, 一个函数在复平面上某点处是连续的,
但在此点未必可导, 即连续未必可导。可是如果函数
第二章
w = f (z)在z0处可导, 则
lim f (z0 + Dz)- f (z0)
= f ¢(z0)
解析函数
Dz
Dz®0
因此必有lim[ f (z0 + Dz)- f (z0)]= 0 ,即
Dz®0
lim f (z) = f (z0)
z®z
0
因此, 可导一定连续。
吴新民
- 7 -

第一节 解析函数的概念
3) 求导法则
求导公式与法则:
(C)¢ = 0 ,其中 C为常数。
(1)
第二章
(zn)¢ = nzn-1 ,其中 n为正整数。
(2)
[ f (z)± g(z)]¢ = f ¢(z)± g¢(z)。
解析函数(3)
[ f (z)g(z)]¢ = f ¢(z)g(z)+ f (z)g¢(z)。
(4)
¢
f (z) = f ¢(z)g(z)- f (z)g¢(z) , g(z) ¹ 0。
é ù
g(z)
ë û
ê ú
(5)
2
g (z)
吴新民
- 8 -

第一节 解析函数的概念
{ f[g(z)]}¢ = f ¢[g(z)]g¢(z)。
(6)
(7)
1
f ¢(z) =
其中 w = f (z)、 z = g(w)是两
g¢(w) ,
第二章
个互为反函数的单值函数, 且 g¢(w) ¹ 0。
z ¹ 0。
解析函数 求 (z-n)¢ ,其中 n为正整数,
例1
解
利用公式(2)、 (4)
¢
æ 1 ö = - nzn-1
(z-n)¢ = ç ÷
= -nz-n-1
n
z2n
è ø
z
因此, 当 z ¹ 0时, 公式(2)对n是负整数也是成立的。
吴新民
- 9 -

第一节 解析函数的概念
4) 微分的概念
设函数 w = f (z)在 z0处可导, 则由导数的定义

lim f (z0 + Dz)- f (z0)
= f ¢(z0)
Dz
第二章
得
z 0
D ®
Dw = f (z0 + Dz)- f (z0)
= f ¢(z0)Dz + r(Dz)Dz
解析函数
因此, |r(Dz)Dz |是 | Dz |的高阶
lim r(Dz) = 0 ,
其中
Dz®0
无穷小量, 而 f ¢(z0)Dz是函数 w = f(z)的改变量 Dw
的线性部分。
定义如果函数 w = f (z)在 z0处的改变量 Dw可
吴新民
- 10 -

第一节 解析函数的概念
与 的高阶无穷小 r(Dz)Dz之和, 则
以表示成 ADz Dz
称函数 w = f (z)在 z0处是可微的, 而称 ADz为函数
记作dw
z
在 0处的微分,
即
第二章
dw = ADz
因此, 一个函数 w = f (z)在 0可导, 则必在
z
z
0
解析函数
可微, 且 dz = f ¢(z0)Dz。
反之, 设函数在 z0处可微, 则
Dw = ADz + r(Dz)Dz
Dw
lim = A+ lim r(Dz) = A ,即
因此
Dz
Dz®0
Dz®0
一个函数 w = f z)在 z0可微, 则必在z0
处可导,
吴新民
- 11 -

第一节 解析函数的概念
且 f ¢(z0) = A。
综上所述: 一个函数在一点可导和可微是等价的。
第二章如果记 dz = Dz,则
dw = f ¢(z)dz ,
(2.1.2)
解析函数
dw
因此, 导数 f ¢(z)为微分的商( 微商) dz。
吴新民
- 12 -

第一节 解析函数的概念
二解析函数的概念
如果函数w = f (z)在 z0处及其z0的某个邻域
内可导, 则称函数w = f (z)在 z0处解析。如果一个函
定义
第二章
数在一个区域 D上每一点处都是解析的, 则称函数为
解析函数
D上的解析函数。如果函数 w = f (z)在 z0不解析, 则
称 z0为函数
w = f (z)的奇点。
由定义, 函数在一点解析, 必在此点可导, 但在一
点可导, 未必在此点解析。而在一个区域上解析与可导
吴新民
- 13 -

第一节 解析函数的概念
是等价的。
例4 研究函数f (z) = z3, g(z) = y2 + 2xi, h(z) = z
在复平面上的解析性。
第二章
由例1, 由于函数 f (z) = z3在复平面上每一
解
解析函数
都是可导的, 因此是解析的。
由例3, 函数 g(z) = y2 + 2xi
在复平面上满足条
件Imz = -1的点是可导的, 但在其它点是不可导的,
事实上, 当 z = x + iy(y ¹ 1)时,
吴新民
- 14 -

第一节 解析函数的概念
g(z + Dz)- g(z)
Dz
= (y + Dy)2 + 2(x + Dx)i - (y2 + xi)
Dx + iDy
第二章
= 2yDy + (Dy)2 + 2iDx
Dx + iDy
解析函数
而
g(z + Dz)- g(z) = 2i,
lim
Dz
Dx®0
Dy=0
lim g(z + Dz)- g(z)
= -2yi
Dz
Dx=0
g(z) = y2 + 2xi
Dy®0
吴新民
- 15 -

第一节 解析函数的概念
由于y ¹ -1, 因此 g(z) = y2 + 2xi在Imz ¹ -1处不可导,
从而在复平面上每一点都不解析。
h(z + Dz)- h(z)
Dz
h(z) = z
第二章由于
Dx - iDy
Dx + iDy
z + Dz - z
Dz
解析函数
=
=
lim Dx - iDy =
Dx - iDy = -1
Dx + iDy

1, lim
Dx=0
Dy®0
而
Dx + iDy
Dx®0
Dy=0
因此h(z) = z
在复平面每一点都不可导, 从而不解析。
吴新民
- 16 -

第一节 解析函数的概念
1) 在区域 D解析的两个函数 f (z)、 g(z)的
定理
和、 差、 积与商( 分母不为零) 仍是解析函数。
第二章2) 设函数h = g(z) z
在 平面的区域 D内解析,
函数
w = f (h)在 h平面的区域 G内解析, 且当 zÎ D
时, h = g(z)ÎG则函数w = f[g(z)]在区域D内解析。
解析函数
从而多项式函数在复平面上是解析的, 有理分式
函数在不含分母为零的区域内是解析的, 使分母为零
的点为奇点。
吴新民
- 17 -

第二节 解析函数的充要条件
第二节函数解析的充要条件
第二章
一函数解析的充要条件
解析函数二例题
吴新民
- 18 -

第二节 解析函数的充要条件
一函数解析的充要条件
设 f (z) = u(x, y)+ iv(x, y)定义在区域 D
定理一
内, 则 f (z)在 D内的一点 z = x + iy可导的充要条件
第二章
是: u(x, y)、 v(x y)在点(x, y)处可微, 而且满足柯西-
解析函数
¶ ¶ ¶ ¶
黎曼方程 u v u v
¶x ¶y ¶y ¶x
= , = -
(2.2.1)
[证]设Dw = f (z + Dz)- f (z) = Du+ iDv
Du=u(x+Dx,y+Dy)-u(x,y)
其中
Dv = v(x + Dx, y + Dy)- v(x, y)
吴新民
- 19 -

第二节 解析函数的充要条件
条件的必要性 由于w = f (z)在 z = x + iy处可微
Dw = f ¢(z)Dz + r(Dz)Dz (lim r(Dz) = 0)
因此
Dz®0
令 f ¢(z) = a + ib, r(Dz) = r1 + ir2
第二章
比较上式的左右边得
Du+ iDv = (a + bi)(Dx + iDy) + r + r D + D
( i )( x i y)
= (aDx - bDy)+ i(bDx + aDy)
1
2
解析函数
+ (r1Dx - r2Dy)+ i(r2Dx + r2Dy)
因此 u a x b y x y
D = D - D + r D - r D
1
2
Dv = bDx + aDy + r2Dx + r2Dy
由于 lim r(Dz) = 0 , 因此 lim r1 = 0, lim r2 = 0 ,因此
Dz®0
Dx®0
Dy®0
Dx®0
Dy®0
吴新民
- 20 -

第二节 解析函数的充要条件
可得 u(x, y)、 v(x, y)在点 (x, y)处可微, 且
¶u ¶v
¶x ¶y
¶u ¶v
¶y ¶x
a = = , b = - =
由于Dw = Du+ iDv ,而u(x, y)、 v(x, y)
第二章条件的充分性
在点 (x, y)处可微, 则
¶ ¶
u
u
解析函数
Du = D +
x Dy x y
+ e D + e D
¶x ¶y
¶v ¶v
1
2
Dv = D + D + e D + e D
x
y x y
3 4

¶x ¶y
在这里lim ek = 0 (k = 1,2,3,4) ,因此有
Dx®0
Dy®0
吴新民
- 21 -

第二节 解析函数的充要条件
¶u ¶v
¶x ¶x
¶u ¶v
¶y ¶y
Dw = Du+ iDv = + D + + D
( i ) x ( i ) y
+ (e1 + ie3)Dx + (e2 + ie4)Dy
第二章
利用柯西-黎曼方程
¶u ¶v ¶u ¶v
= , = -
¶x ¶y ¶y ¶x
¶ ¶
解析函数
u
u
x Dy x y
3
+ e D + e D
ie )Dx + (e2 + ie4)Dy
1 2
u v
得 Dw = ( ¶+x i )D¶zy+ (e +
¶x ¶x
1
¶v ¶v
y x y
= D + D + e D + e D
由于 ¶x ¶y故
3 4
Dz Dz
Dx Dy
Dv
x
£ 1, £ 1,
Dx
Dx
D
z
lim(e1 + ie3) = 0, lim(e2 + ie4) = 0
D
z
Dz®0
Dz®0
吴新民
- 22 -

第二节 解析函数的充要条件
因此 w = f (z)在 z = x + iy可微, 从而可导, 且
¶u ¶v
f ¢(z) = + i
¶x ¶x
第二章说明: 根剧定理一的证明和柯西-黎曼条件知, 如
果函数 w = f (z)在 z = x + iy处可导, 则在此处必有
¶u ¶v ¶ ¶
¶x ¶x ¶ ¶
y y
v u i
解析函数
f ¢(z) = + i
= -
(2.2.2)
函数w = f (z) = u(x, y)+ iv(x, y)在一个
定理二
区域 D解析的充要条件是: u(x, y)、 v(x, y)在区域 D
上可微, 且满足柯西-黎曼方程。
ux = vy, vx = -uy
吴新民
- 23 -

第二节 解析函数的充要条件
二例题
研究下列函数的解析性( 可导性) 。
例1
(1) w = z, (2) f (z) = e y(cos x - isin x)
第二章(3) w = x3 + iy2
解( 1) w = z = x - iy, u = x, v = - y, = ¹ - =
u 1 1 vy
x
解析函数
柯西-黎曼方程不满足, 因此, 此函数在复平面上每一
点都不可导, 从而不解析。
u = e y cos x, v = -e y sin x
ux = -e y sin x = vy uy = e
( 2)
cos x = -vx
y
柯西-黎曼方程满足, 因此, 此函数在复平面上每一点
吴新民
- 24 -

第二节 解析函数的充要条件
都可导, 从而解析。此时 f ¢(z) = -e y sin x - ie y cos x。
( 3) w = x3 + iy2 u = x3,v = y2,
vy = 2y,
ux = 3x2,
第二章
uy = 0 = -vx
因此, 当 3x2 = 2y
解析函数
柯西-黎曼方程满足, 此函数可导,
且 f ¢(z) = 3x2,当3x2 ¹ 2y时, 柯西-黎曼方程不满足,
函数不可导, 从而此函数在复平面上每一点都不解析。
吴新民
- 25 -

第二节 解析函数的充要条件
例2设 f (z) = ax3 + bxy2 + i(y3 + cx2y)
为解析函
数, 确定常数 a,b,c。
由于 u = ax3 + bxy2
ux = 3ax2 + by2, u = 2bxy
v = y3 + cx2y
解
第二章
y
vy = 3y2 + cx2
vx = 2cxy,
解析函数
由柯西-黎曼方程得:
3ax2 + by2 = 3y2 + cx2, 2bxy = -2cxy
b = 3, c = -3, a = -1。
即
吴新民
- 26 -

第二节 解析函数的充要条件
例3说明函数 f (z) = | xy |
在原点处不可导。
u = xy v = 由偏导数的定义可得:
| |, 0
解
u = u = 0
x=0
y=0
第二章
x 0
=
x
y
y=0
因此柯西-黎曼方程满足, 但u(x, y) = | xy |在原点处
解析函数
不可微, 事实上, 如果u(x, y)在原点处可微, 则
Du = u(DxDy) = u Dx + u Dy + a = a
x=0
y=0
x=0
y=0
x
y
a
= 0 ,但 a显然不满足此式。
其中 lim
Dx® (Dx)2 + (Dy)2
0
Dy®0
因此函数在原点不可导。
吴新民
- 27 -

第二节 解析函数的充要条件
例4
设函数 w = f (z)在区域 D解析, 且 | f (z)|
为常数, 证明: f (z)在区域 D为常数函数。
证由于 | f (z)|= C1
, 因此 u2 + v2 = C,
uuy + vvy = 0
即
第二章
uux + vvx = 0,
利用柯西-黎曼方程 ux = vy, uy = -vx
解析函数
得:
(u2 + v2)ux = 0, (u2 + v2)uy = 0
因此, 当 C = 0时, u = 0, v = 0, 即 f (z) = 0,
当 C ¹ 0时, ux = vy = 0, uy = vx = 0
即
u = C2,v = C3, f (z) = C2 + iC3
吴新民
- 28 -

第三节 初等函数
第三节初等函数
一指数函数
第二章
二对数函数
三乘幂与幂函数
解析函数
四三角函数与双曲函数
五反三角函数与反双曲函数
吴新民
- 29 -

第三节 初等函数
一指数函数
如果一个定义在复平面上的函数 w = f (z)
定义
满足下面三个条件:
第二章
(1) f (z)在复平面上每一点都解析;
解析函数(2) f ¢(z) = f (z);
(3)当Imz = 0时, f (z) = e x ,其中 x = Rez。
则称 f (z)为指数函数。记作 expz ,简记为 ez。
显然, 函数 f (z) = e x(cos y + isin y)满足定义中的
三个条件, 因此
吴新民
- 30 -

第三节 初等函数
exp z = e x (cos y + i sin y)
(2.3.1)
由此可得:
|expz |= e x , Arg(exp z) = y + 2kp
其中 k为任何整数。
利用 (2.3.2)可知: expz ¹ 0。
(2.3.2)
第二章
解析函数
由于 expz1 ×expz2
= e x1(cos y1 + isin y1)×e x2(cos y2 + isin y2)
= e 2(cos(y1 y ) isin( y1 + y2))
x x
+
+ +
1
2
= exp(z1 + z2)
吴新民
- 31 -

第三节 初等函数
因此, 加法公式
expz1 ×expz2 = exp(z1 + z2)
(2.3.3)
对于复指数函数也成立。
第二章
特别, 当 Rez = x = 0
时,
expz = exp(iy) = eiy = (cos y + isin y)
解析函数
这就是一般所说的欧拉公式。
根剧加法公式可得:
exp(z + 2kpi) = expz×exp(2kpi)
= expz×(cos2kp + isin2kp ) = expz
因此, expz是以 2kpi
为周期的周期函数。
吴新民
- 32 -

第三节 初等函数
二对数函数
z = ew的反函数 w = f (z)为对数函数,
称函数
记作: w = Lnz。
第二章
如果我们令: w = u+ iv , z = reij ,则
eu+iv = reij
解析函数
因此
u = lnr = ln | z |, v = j + 2kp = Argz
w = Lnz = ln | z | +i Argz
(2.3.4)
即
由于Argz是多值的, 因此w = Lnz
是一个多值函数。
argz 由 (2.3.4)
如果我们规定: 当Argz取其主值 时,
吴新民
- 33 -

第三节 初等函数
给出的函数( 记为lnz) 为函数Lnz的主值。那么
lnz = ln | z | +iargz
(2.3.5)
就是一个单值函数, 它实际上是当 -pLnz的单值分支
是限制 ArgzÎ(-p,p],即为函数lnz.与限制ArgzÎ[0,2p )
仍记为Lnz
特别, 当 z = x(x > 0) , lnz = ln x ,
因此实对数函数
是复对数函数的特例
吴新民
- 34 -

第三节 初等函数
求Ln(1- i 3), Ln(-1)
及其它们的主值。
例1
解
arg(1- i 3) = -p
|1- i 3 |= 1+ 3 = 2
3
p
第二章Ln(1- i 3) = ln2 ( 2 ) ,
+ i - + kp
3
它的主值是 ln(1- i 3) = ln2- p3 i。
解析函数Ln(-1) = (2k +1)pi , ln(-1) = pi
同实对数函数一样, 复对数函数也有基本性质:
Ln(z1z2) = Lnz1 + Lnz2
Ln zz
= Lnz1 - Lnz2
(2.3.6)
1
2
吴新民
- 35 -

第三节 初等函数
由于, 当 z = 0时, 函数 argz无定义, 在负实轴
上, argz不连续, 因此函数 w = lnz在原点和负实轴上
是不可导的。当 - p < argz < p
时, 利用反函数的求导
第二章
法则可知:
1
1 1
w
d lnz
w =
= =
(2.3.7)
解析函数
z
dz de e
dw
因此, 函数 w = lnz在除负实轴和原点外的复平面上
是解析的。对与Lnz某个单值分支
ArgzÎ(a,a + 2p]
Lnz = ln | z | +iArgz
(ArgzÎ[a,a + 2p ))
吴新民
- 36 -

第三节 初等函数
在除原点和幅角为a外的复平面上也是解析的, 即在
ArgzÎ(a,a + 2p )上是解析的,
且
1
(Lnz)¢ =
z
(2.3.8)
第二章
Lnz = ln | z | +iArgz, ArgzÎ(a,a + 2p )为 Lnz的单值
称
解析函数解析分支。
今后如果我们不特别强调的话, 所应用的对数函数
Lnz总是指某个单值解析分支。
思考题: 对于复对数函数而言, 公式Lnz2 = 2Lnz
是否成立。
吴新民
- 37 -

第三节 初等函数
b
a
三乘幂 与幂函数
设 a为一个不等于零的复数, b为任意的一个复数。
我们定义乘幂 ab为ebLna。即
第二章
ab = ebLna
(2.3.9)
由于Lna = ln |a | +i Arga是多值的, 因而在一般情
解析函数
b
况下, a也是多值的。当 b为整数时, 由于
ab = ebLna= eb(ln|a|+i(arga+2kp )) = eblna
因此ab是单值的。当 b为非整数的有理数q
为互质的整数, 且 q > 0)时, 由于
p(p与 q
qp(ln|a|+i(arga+2kp))
ab = e
吴新民
- 38 -

第三节 初等函数
p
= e q [cos p(arga + 2kp )+ isin qp(arga + 2kp )]
ln|a|
q
q (k = 0,1,L,q -1)个值。
b
因此 a有
b
第二章
除此之外, a都是多值的。
在复数意义下求 (-2) 2, (1+ i)i的值。
例2
解析函数
解
-
( 2) 2 = e 2Ln(-2)
= e 2(ln2+(2k+1)pi)
= e 2ln2(cos 2(2k +1)p + isin 2(2k +1)p )
i(ln 2+i(p4+2kp ))
(1+ i)i = eiLn(1+i) = e
-p -2kp
= e
(cosln 2 + isinln 2)
4
吴新民
- 39 -

第三节 初等函数
必须指出: 在 (2.3.9)中如果 b为正整数 n或分数
1 ,实际上, 即分别是我们在上章第一节所说的 n次幂
n
和 n次根。
第二章
因此, 如果我们取a = z
为一个复变量, b = n
或
1时, 就得一般的幂函数 w = zn及 z = wn
的反函
b
=
解析函数
n
1
= n = n
数 w z
z。
幂函数 w = zn为一个复平面的单值解析函数。
1
幂函数w = zn为一个多值函数, 它有n个单值分支,
由于对数函数Lnz的每个分支(ArgzÎ(a,a + 2p]
或
吴新民
- 40 -

第三节 初等函数
(ArgzÎ[a,a + 2p ))在除原点和幅角为a外复平面上是
1
1
n
Lnz的每个分支在除原
w = z = e
解析的, 因此, 幂函数
n
点和幅角为a外复平面上是解析的, 且
¢ = 1
z
(2.3.10)
第二章
1-1
(z )¢ = (e Lnz)
1
1
n
n
n
n
lnz (ArgzÎ(-p,p])在除原点
z = z 2 = e Lnz= e
1
1
2
1

2
例如
解析函数
1
1
2
Lnz
和负实轴外是解析的。z = z 2 = e (ArgzÎ[0,2p ))
在除原点和正实轴外是解析的。
同理, 幂函数w = zb(除去b = n,b =
n1外)也是多值
的(当b为无理数或复数时, 为无穷多个值), 它的各
个分支在除原点和幅角为a外复平面上是解析的, 且
(zb)¢ = bzb-1
(2.3.11)
吴新民
- 41 -

第三节 初等函数
四三角函数与双曲函数
定义分别称
sinz = eiz - e-iz , cosz = eiz + e-iz

(2.3.12)
2
2i
第二章
为正弦函数与余弦函数。
z
解析函数由于, 函数 e是以 2pi为周期的周期函数, 因此
sinz、 cosz是以 2p为周期的周期函数。
利用指数函数的求导公式, 我们有
(sinz)¢ = cosz,
因此, sinz,cosz
由 (2.3.12)
(cosz)¢ = -sinz (2.3.13)
都是复平面上的解析函数。
可得
吴新民
- 42 -

第三节 初等函数
eiz = cosz + isinz
(2.3.14)
因此, 欧拉公式对于复数来说也成立。
同理, 能够推知实三角函数的一些公式对于复三
第二章
角函数依然成立, 例如
cos(z1 + z ) = cosz1cosz2 - sinz1sinz2
2
+ =
+
解析函数 sin(z1 z ) sinz1cosz2 cosz1sinz2
2
sin2 z + cos2 z = 1
(2.3.15)
在 (2.3.12)如果取z = iy,我们得
cosiy = e- y + e y = cosh y
2
siniy = e- y - e y
= isinh y
(2.3.16)
2i
吴新民
- 43 -

第三节 初等函数
结合 (2.3.15)前两个式子, 能够得到
cos(x + iy) = cos xcosh y - isin xsinh y
sin(x + iy) = sin xcosh y + icos xsinh y (2.3.17)
第二章注意由(2.3.16)式, 当 y ® ¥时, |siniy |、 |cosiy |
都趋向无穷大, 因此 cosz、 sinz为有界函数在复数范
解析函数
围内不再成立。
其它的复三角函数定义如下
sinz
cosz
正切函数: tanz = ,余切函数: cotz = ,
cosz
sinz
1
正割函数: secz = ,
cosz
余割函数: cscz = si1nz
吴新民
- 44 -

第三节 初等函数
与三角函数有密切关系的是双曲函数, 我们分别称
sinhz = ez - e-z , coshz = ez + e-z
,
2
2
tanhz = ez - e-z
-z
+
e e
(2.3.18)
第二章
z
为双曲正弦、 双曲余弦、 双曲正切函数。
解析函数
显然, 实双曲函数是复双曲函数的特例
sinhz和 coshz都是以2pi为周期的周期函数。sinhz
为奇函数, coshz为偶函数, 它们都是复平面上的解析
函数, 且
(sinhz)¢ = coshz, (coshz)¢ = sinhz (2.3.19)
吴新民
- 45 -

第三节 初等函数
根据定义, 能够证明
coshiy = cos y, sinhiy = isin y
(2.3.20)
sinh(x + iy) = sinh xcos y + icosh xsin y
cosh(x + iy) = cosh xcos y + isinh xsin y (2.3.21)
第二章
求 sin(p4 - i),cosh(1+ p4 i)的值。
sin( - i) = sin 4 cosh(-1)+ icos 4 sinh(-1)
4
例3
p
p
p
解析函数
解
= 22(cosh1- isinh1)
= cosh1cos + isinh1sinp4
p
p
cosh(1+ i )
4
4
= 22(cosh1+ isinh1)
吴新民
- 46 -

第三节 初等函数
例4求方程 sinz = 0
解 令z = x + iy ,
0 = sinz = sin(