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七大积分总结

七大积分总结
一． 定积分
1. 定积分的定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在区间[a,b]中任意插入n－1个分点：a=x0 △x3……, △xn},若不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间[xi-1,xi]上点ξi怎样取法，只要当λ→0时，S的极限I总存在，这时我们称I为函数f(x)在区间[a,b]上定积分（简称积分），记做：
其中f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限，[a,b]称为积分区间，
称为积分和。
如果f(x)在[a,b]上的定积分存在，则称f(x)在[a,b]上可积。
关于定积分的定义，作以下几点说明：
（1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母记法无关，即。
（2） 定义中区间的分法与ξi的取法是任意的。
（3） 定义中涉及的极限过程中要求λ→0，表示对区间[a,b]无限细分的过程，随λ→0必有n→∞，反之n→∞并不能保证λ→0，定积分的实质是求某种特殊合式的极限：
例： （此特殊合式在计算中可以作为公式使用）
2. 定积分的存在定理
定理一 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
定理二 若函数f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间上可积。
3. 定积分的几何意义
对于定义在区间[a,b]上连续函数f(x)，当f(x)≥0时，定积分
在几何上表示由曲线y=f(x),xa,x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积；当f(x)小于0时，围成的曲边梯形位于x轴下方，定积分在几何意义上表示曲边梯形面积的负值。若f(x)在区间上既取得正值又取得负值时，定积分的几何意义是：它是介于x轴，曲线y=f(x),x=a,x=b之间的各部分曲边梯形的代数和。
4．定积分的性质
线性性质（性质一、性质二）
性质一 和差的积分等于积分的和差；
性质二 （k是常数）
性质三 对区间的可加性 不管a,b,c相对位置如何，总有等式

性质四 如果在区间[a,b]上，f(x)≡1，则
性质五（保号性） 如果在区间[a,b]上，f(x)≥0，则
推论一 设f(x)≤g(x),x∈[a,b]，则
推论二 (a号，可用t表示积分变量，则上面的积分可写成
，该积分会随着X的取定而唯一确定，随X的变化而变化。所以积分是定义在区间[a,b]上关于x的一个函数，记做
Φ(x): Φ(x)= (a≤x≤b)
并称该函数为积分上限函数或积分变上限函数，它具有下面定理所指出的重要性质：
定理一 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限函数Φ(x)在区间[a,b]上可导，且导数为
Φ‘(x)= （a≤x≤b）
定理二（原函数存在定理） 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数Φ(x)就是f(x)在区间[a,b]上的一个原函数。
定理二肯定了连续函数的原函数是存在的，揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系。
定理三 如果函数f(t)在区间I1上连续，a(x),b(x)在区间I2上都可导，并且f[a(x)],f[b(x)]构成I2上的复合函数，则
F(x)=在I2上可导，且
F‘(x)==f[b(x)]·b’(x)-f[a(x)]·a’(x)
6.牛顿-莱布尼茨公式
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数F(x)是f(x)的一个原函数，则有=F(b)-F(a),这个公式称为牛顿-莱布尼茨公式。
次公式揭示了定积分与原函数之间的关系，它表明：一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[a,b]上的增量，而原函数的全体就是不定积分，故该公式将求定积分与不定积分联系起来了，又叫做微积分基本公式，在计算中常用到。
7.定积分的常见积分方法
换元法
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续且函数x=(t)满足下列条件：
（1）(α)=a,(β)=b;
(2)在区间[α,β]上(t)具有连续导数且其值域R[a,b]，
则有 ，此公式称为定积分的换元公式。
注意：换元必换限，即用x=(t)把积分变量x换成t时，积分限一定要换成相应于新积分变量t的积分限；
另外此公司反过来也可以用：，其中

定积分中的对称奇偶性：
若f(x)在区间[-a,a]上连续，则：
（1） 当f(x)为奇函数时，=0
（2） 当f(x)为偶函数时，
三角函数的定积分公式：
设f(x)在[0,1]上连续，则：
（1）;(2)
周期函数的定积分公式：
如果T是连续函数f(x)的周期，则（a为常数）
分部积分法
若函数u=u(x)，v=v(x)在闭区间[a,b]上具有连续导数，则有

重要结论：
设In=，则
（1） 当n为正偶数时，In=
（2） 当n为大于1的正奇数时，In=
常用到的不定积分的积分公式：

三角函数的有理式积分：

一些初等函数： 两个重要极限：

常见微分公式：
8.无穷限的广义积分：
设函数f(x)在区间[a,+∞]上连续，取b>a，如果极限
存在，则此极限为函数f(x)在无穷区间[a,+∞]上的广义积分，记做
，这时也称广义积分收敛，如果上述极限不存在，则称该广义积分发散。
同理也可得函数f(x)在无穷区间[-∞,b]上的广义积分。
对于广义积分：只有在收敛的条件下才可使用上述“定积分中的对称奇偶性”。
几条结论：
（1） 广义积分，当p>1时收敛，当p≤1是发散。
（2） 广义积分当p>0时收敛，当p<0时发散。
9.无界函数的广义积分：
设函数f(x)在区间（a,b]上连续，点a为函数f(x)的瑕点，取t>a，如果极限存在，则称此极限为函数f(x)在(a,b]上的广义积分，记做，即=。
这时也称广义积分收敛，如果上述极限不存在，就称广义积分发散。
同理，可得f(x)在区间[a,b）上的瑕积分,即
=
对于无界函数的瑕积分（就是广义积分）的计算，也可以利用牛顿-莱布尼茨公式，如对于f(x)在区间（a,b]上的瑕积分有：
==F(b)-=F(x)-F(a+0)
小结论：
广义积分当p<1时收敛，当p≥1时发散。
对于无界函数的广义积分（瑕积分）的计算，一般瑕点都会设置在区间(a,b)(或[a,b),(a,b][a,b])的内部一个点上。
10.定积分的应用
一、定积分在几何上的应用：
（一）平面图形的面积
1.直角坐标情形:
对于有曲线x=a,x=b,y=f(x),y=g(x)围成的X型的曲边梯形，其面积的计算公式为：A= （a二）立体的体积
1.旋转体的体积
对于由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积计算公式为：V=
同理可得相似的绕Y轴和Z轴旋转所成的旋转体的体积计算公式。
2.平行截面面积已知的空间立体的体积
若一个立体位于平面x=a,x=b之间，且知道过x且垂直于x轴的平面截此物体的截面面积为A(x)，且A(x)为了连续函数，则此立体的体积计算公式是： V=，同理可得相似的过Y（Z）且垂直于Y（Z）轴的平面截得的立体的体积的计算公式。
（三）平面曲线的弧长
1.参数方程情形
设曲线由参数方程x=,y=给出，且，在[]上具有一阶连续导数，则其弧长的计算公式为：
S=
2.直角坐标情形
设曲线由直角坐标方程y=f(x) （a≤x≤b）给出，其中f(x)在[a,b]上有一阶连续导数，则此时函数的参数方程可写成：x=x,y=f(x)，故其弧长的计算公式为：s=
3.极坐标情形
设弧线由极坐标方程 给出，其中在[]上具有一阶连续导数，则其参数参数方程可以表示为x=cos,y=sin,故弧长为s=
二、定积分在物理上的应用
（一）变力沿直线所做的功 W=
（二）液体压力 这个就题论题；
（三）引力 这个在计算的时候适当建立直角坐标系，将力分解为X轴和Y州两个方向上分别计算，就题论题；
定积分到此结束，在计算的过程中要牢记常见的公式，特别是积分公式，这些都与不定积分有关，上边总结的一些积分公式可能不全，见谅。

二． 二重积分
这里二重积分的引入（阐释了二重积分的几何意义：表示曲顶柱体的体积）和定义及概念就不再总结，只声明：
当被积函数为常数1的时候，二重积分的物理意义是被积函数所围区域的面积，当被积函数是关于积分变量的一个函数时，二重积分的意义有很多，这与二重积分的应用有关。
1. 二重积分的性质
性质一(线性性质) 和差的积分等于积分的和差；
性质二（区域可加性） 若区域D由n个不重合的有界闭区域Di(i=1,2,3,……,n)组成，则
性质四（单调性） 若在区域D上恒有f(x,y)≤g(x,y),则
≤， 特别的有
性质五（估值定理） 设M，m分别为f(x,y)在有界闭区域上D上最大、最小值，A为区域D的面积，则 mA≤≤MA
性质六（积分中值定理） 设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，A为D的面积，则在D上至少存在一点，使=fA
2. 二重积分的计算（基本思想：将二重积分转化为二次积分）
一、 在直角坐标系下计算二重积分
（一） 先对Y，后对X的二次积分
设二重积分的积分区域D可以表示为
a≤x≤b,的形式，其中，在[a,b]上连续，这时程区域D为X型区域，这时二重积分的计算公式为
=
（二） 先对X，后对Y的二次积分
类似上边，若二重积分的积分区域D可以表示为
c≤y≤d,的形式，则称区域D为Y型区域，这时二重积分的计算公式为: =
二、 在极坐标系下计算二重积分
若积分区域D与圆域有关或者被积函数为，，f(xy)等形式，用极坐标计算更简便。
极坐标下的面积微元可以表示为：
直角坐标与极坐标有如下变换：,而两个坐标系的积分区域的形状不变，，因此有
==
常用的计算技巧：
1. 适当的拆分被积函数和积分区域（主要是利用分块积分和对称性）
2. 对称性质
若区域D关于X轴对称：
（1） 若f(x,y)是关于Y的偶函数，则：=2
（2） 若f(x,y)是关于Y的奇函数，则=0；
3.二重积分的一般换元法
设变量变换 ，将Oxy平面上的闭区域D一一对应地变到Ouv平面上的闭区域D‘，如果函数u,v在闭区域D内有连续偏导数， 且≠0 则，=
三、三重积分
三重积分的几何意义（涉及到四维空间，暂不讨论）略去。在特殊情况下，当被积函数恒等于1时，三重积分表示的为被积空间的体积大小。
1． 三重积分的计算
（一） 直角坐标系下三重积分的计算
方法一：投影法（又称先一后二法，先化三重积分为定积分，计算完定积分后就化为二重积分了）
设三重积分的积分区域Ω可表示为：
Ω：z1(x,y)≤z≤z2(x,y), (x,y)∈Dxy
其中Dxy为Ω在Oxy平面上的投影区域，它是Oxy平面上的有界闭区域，z1(x,y)和z2(x,y)都在Oxy上连续，则计算三重积分时，先将x,y看做常数，然后可得：
=
=先对Z积分，转化成关于X,Y的一个二重积分（事实上还是化为关于X,Y,Z的三次积分来计算了），然后在计算二重积分即可（下面不再叙述）。
若区域Dxy可以再极坐标系下表示，那么可以将上述公式化为先对Z，再对r，后对θ的三次积分。
方法二：截面法（又称先二后一法，事实上是先化三重积分为二重积分，计算完二重积分后就化为一个定积分了）
设空间区域Ω：c1≤z≤c2,(x,y)∈Dz,其中Dz是过点（0,0，z）且平行于Oxy平面的平面截Ω所得的平面区域，则
=，然后可根据Dz是坐标系下的X型或Y型区域化X,Y的二重积分为二次积分，然后转化为Z的定积分。
若Dz可以用极坐标系表示，则还可以化为关于先计算r,θ的二重积分（化为二次积分计算），再计算Z的定积分。
（由于这里公式繁杂，故不再详细书写，请谅解）
3. 三重积分的换元法
设变量变换
将Ouvw空间中的闭区域Ω‘一一对应地变换为Oxyz空间中的闭区域Ω，若函数x,y,z在Ω‘内具有连续的偏导数，且
≠0，则三重积分的换元公式为
=
4. 柱面坐标下三重积分的计算
柱面坐标与直角坐标的变换关系为：
,则易得（代入上边的换元公式中可得）：J=r≠0,所以=，然后计算三重积分。
注：当被积函数含有zf(x2+y2),zf(xy),的形式，或者积分区域由圆柱面（或一部分）锥面、抛物面所围成时，用柱面坐标系计算比较简便。
5. 球面坐标下三重积分的计算。
直角坐标和球面坐标之间的转换关系如下：

则代入上边的换元法的公式中可得J=r2sin≠0 故
=
注：当积分区域是与球面有关的区域时或者被积函数中含有等形式时，用球面坐标系计算比较简便。
三重积分的对称奇偶性：
若Ω关于Oxy平面对称，则当f为关于z的奇函数时，=0；当f为关于z的偶函数时，=2
6. 重积分的应用
一． 计算立体体积 V=
二． 计算空间曲面面积
设∑：z=f(x,y)为空间可求面积的曲面，∑在Oxy平面的投影区域为Dxy,任取Dxy上的小区域，则经过证明可得（证明过程略去，自己看书）：=dS,故
dS==,故
S=，然后计算二重积分。
三、 求质心
这里只介绍公式，推导过程不再叙述，自个儿看书。
设有一个有界闭区域D，它的密度在D上连续，下面给出这一平面区域的质心公式：（其中Mx,My分别为质点系对对X，Y轴的静距）。
，
特别的，当区域D的面密度为常值时，其质心坐标计算公式为：
，
同理可得空间有界区域Ω的形心的坐标公式：
，，
特别的，当空间区域所代表的例题均匀为时，其形心坐标公式为：

补充：
1. 若积分区域关于直线y=x对称，则根据轮换对称性可得：
=
2. 在计算重积分的时候，适当的交换积分顺序能帮助解题。
3. 利用质心、重心公式计算（当且仅当积分区域所代表的图形是均匀的）：
例如：（此公式是由质心公式变形得到的，使用此公式的前提是已知积分区域的质心坐标）
四、 计算转动惯量（公式推导过程略去）
设一个平面区域D，面密度为，下面给出其相对于X,Y,Z轴的转动惯量的计算的公式：
，
同理也可得到空间区域Ω所代表的例题相对于X,Y,Z轴的转动惯量分别为：

其中dx,dy,dz分别为点(xy,z)到x,y,z轴的距离。
五、 计算引力（推导过程略去，自个儿看书）
某薄片在平面Oxy上所占区域为D，面密度为，下面给出它对点（x0,y0,z0）处单位质点（单位质量的质点）的引力计算公式：（任取D上的小区域d，点M（x,y,z）为d上任意一点）
，

四、第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）
引入对弧长的曲线积分的时候首先探讨了怎样求曲线构件的质量（此过程不再叙述）。
1. 对弧长的曲线积分的定义
设函数f(x,y)在Oxy平面的光滑曲线弧L上有界，将L分成任意的n段，Δsi表示小狐段本身又表示它的长度，点是Δsi上任取的一点，令λ=maxΔsi,则定义第一类曲线积分：
，同时可定义在空间中的第一类曲线积分：
2. 对弧长的曲线积分的性质
性质一 ，其中l为弧长。
性质二（线性性质） 对弧长和差的积分等于积分的和差。
性质三（可加性） 将曲线弧分成n段补充和的小弧段，则

性质四（单调性） 若在曲线弧L上，f(x,y)≤g(x,y),则
，特别
3. 对弧长的曲线积分的计算
对弧长的曲线积分的计算思路就是将其化为定积分。（变量参数化，小值做下限）
设函数f(x,y)在光滑曲线弧L上连续，L的参数方程为
x=,y=，，则对弧长的曲线积分存在，且 （α<β）
特别的，当曲线弧L的方程为y=，(a≤x≤b)时，可以将x看做参数，故
同理也可写出将Y看做参数的计算公式。
当曲线弧L有极坐标方程时，由极坐标与直角坐标的变换关系，将θ看做参数，则
以上公式都给可以推广到空间曲线弧：
上，此时对弧长的曲线积分公式为：
五、第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）
引例：变力沿曲线做功（在此不再叙述）
1. 第二类曲线积分的定义（直接引入定义，不再阐述，实际上阐述过程和前边几种积分很相似）。
向量函数P(x,y)在有向曲线弧L上对坐标X的曲线积分，记做，向量函数Q(x,y)在有向曲线弧L上对坐标Y的曲线积分，记做：。若力F=（P(x,y),Q(x,y)）,则质点沿曲线弧从起点A到终点B是变力F做功可表示为：W=+，同理可推广到空间中的光滑曲线弧，故
W=
2. 对坐标的曲线积分的性质
性质一（线性性质） 对坐标的曲线积分具有线性（和差的积分等于积分的和差）
性质二（可加性） 对坐标的曲线积分具有积分曲线分段可加性。
性质三（有向性） 设L为有向光滑曲线弧，记L—为L的反向曲线弧，则，同理此结论也可推广到空间曲线弧的坐标积分。
3.对坐标的曲线积分的计算（变量参数化，起参值做下限）
与对弧长的曲线积分的计算方法一样，对坐标的曲线积分的计算方法也是将其化为定积分。
设函数P(x,y),Q(x,y)在有向光滑曲线弧L上连续，L的参数方程为
x=,y=，，其中，具有连续的一阶导数，又有当t由α变到β时，L上的电从起点变到终点，则对坐标的曲线积分存在，且
同理也可写出当X或Y作参数时的公式，还可写出曲线弧在极坐标系下时的公式（这里就不再叙述了），且以上公式都可以推广到空间曲线弧中。
注：在计算的时候，一定要特别注意曲线弧的方向和积分参变量的上下限。
3. 两类曲线积分之间的联系
设L：x=,y=，为从点A到点B的有向光滑曲线弧，其中点A处t=θ1,点B处t=θ2,又P(x,y),Q(x,y)在L上连续，令
，
== 同理可得：

=
4. 格林公式及其应用
格林公式的定义：
若平面有界闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P（x,y）Q(x,y)在D上具有连续的一阶偏导数，则有
。（证明略）
5. 平面上对坐标的曲线积分与路径无关的条件
设D是单连通区域，函数P(x,y),Q(x,y)在D内具有连续的一阶偏导数，则下面四个命题等价：
（1） 对D中任一分段光滑闭曲线C，有；
（2） 对D中任一有向分段光滑曲线L，曲线积分与路径无关，只与起点、终点有关；
（3） Pdx+Qdy在D内是某一函数u(x,y)的全微分，即在D内du(x,y)=Pdx+Qdy;
（4） 在D内恒有。（证明略）
6. 第二类曲线积分小结：
（1） 对封闭的第二类线积分，应首先考虑格林公式：
① 若D中无奇点（P,Q的骗到不存在的点），则：
；
② 若D内含有奇点（挖洞法，洞所在区域为D1），则取特殊l（逆时针）：
，特别的

当时，
（2）对非封闭的第二类线积分，首先考虑积分与路径的关系；
① 若积分与路径无关，则取特殊路径l，（l与L方向一致）；
故
② 若积分与路径有关，但是（k为常数），则用封口法，取特殊路径l与L构成闭合回路（闭合区域为D），
则。
补充:以上在在选择特殊路径l时，尽量选择折线路径（尽可能使得路径l的各条线段平行于坐标轴，这样能简化计算）。
7．求解全微分方程
已知du(x,y)=Pdx+Qdy,求u(x,y)=？
方法一：曲线积分法
由曲线积分可得，u(x,y)
方法二：凑微分法
即依据给定的Pdx+Qdy从形式上凑成u(x,y)的全微分；
方法三：不定积分法
由两边对X积分得u(x,y)=，
其中待定；再由：

六、 第一类曲面积分（对面积的曲面积分）
1． 引入概念及定义：求解空间曲面构件的质量（略去，不再叙述）
对面积的曲面积分记做：，，当f(x,y,z)≡1时，
所求对面积的曲面积分的结果就是曲面的面积。
2． 对面积的曲面积分的计算（先投影、再代入、最后
基本思路：化为二重积分
曲面∑的方程为z=z(x,y)，设其在Oxy平面上的投影为Dxy,因为被积函数f(x,y,z)在∑上积分，且(x,y,z)满足∑的方程，所以被积函数可写成：f(x,y,z(x,y)),故
=,同理也可以将曲面投影到Oyz,Oxz平面上。（在球面坐标系中，S的微元
dS=）
3.计算中也可以用到对称性，轮换对称性、可加性等性质，参照前面几个积分的总结即可。