三扭转77.pptx

第三章第三章第三章第三章 扭扭扭扭 转转转转 3-1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例 3-2 扭转内力的计算扭转内力的计算 3-3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 3-4 圆轴扭转的应力分析及强度条件圆轴扭转的应力分析及强度条件 3-5 圆杆在扭转时的变形圆杆在扭转时的变形 刚度条件刚度条件 3-6 密圈螺旋弹簧的应力和变形密圈螺旋弹簧的应力和变形 3-7 非圆截面杆的扭转非圆截面杆的扭转 3-8 开口和闭合薄壁截面杆的自由扭转开口和闭合薄壁截面杆的自由扭转 3-1 扭转的概念及实例扭转的概念及实例 一、工程实例一、工程实例一、工程实例一、工程实例(Torsion)(Torsion)MMe eMMe e 二、受力特点二、受力特点二、受力特点二、受力特点 杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶且作用平面垂直于杆件轴线的力偶且作用平面垂直于杆件轴线的力偶且作用平面垂直于杆件轴线的力偶.三、变形特点三、变形特点三、变形特点三、变形特点杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动.(Torsion)(Torsion)(Torsion)(Torsion)(Torsion)(Torsion)(Torsion)(Torsion)3-2 扭转的内力的计算扭转的内力的计算从动轮从动轮主动轮主动轮从动轮从动轮一、外力偶矩的计算一、外力偶矩的计算一、外力偶矩的计算一、外力偶矩的计算MMe e作用在轴上的力偶矩作用在轴上的力偶矩作用在轴上的力偶矩作用在轴上的力偶矩(N m)(N m)P P轴传递的功率轴传递的功率轴传递的功率轴传递的功率(kW)(kW)P Ps s 轴传递的功率轴传递的功率轴传递的功率轴传递的功率(PS)(PS)nn轴的转速轴的转速轴的转速轴的转速(r/min)(r/min)n nMMe2MMe1MMe3MMe在在在在n n n n 截面处假想将轴截开取左截面处假想将轴截开取左截面处假想将轴截开取左截面处假想将轴截开取左侧为研究对象侧为研究对象侧为研究对象侧为研究对象二、内力的计算二、内力的计算1 1、求内力、求内力截面法截面法截面法截面法T TMMeMMe(Torsion)(Torsion)MexnnMeMexT TMexT T 采用右手螺旋法则采用右手螺旋法则采用右手螺旋法则采用右手螺旋法则,当力偶矩矢的指当力偶矩矢的指当力偶矩矢的指当力偶矩矢的指 向背离截面时扭矩为正，反之为负向背离截面时扭矩为正，反之为负向背离截面时扭矩为正，反之为负向背离截面时扭矩为正，反之为负.2 2、扭矩符号的规定、扭矩符号的规定3 3、扭矩图、扭矩图用平行于杆轴线的坐标用平行于杆轴线的坐标用平行于杆轴线的坐标用平行于杆轴线的坐标 x x 表示横表示横表示横表示横截面的位置；用垂直于杆轴线的截面的位置；用垂直于杆轴线的截面的位置；用垂直于杆轴线的截面的位置；用垂直于杆轴线的坐标坐标坐标坐标 T T 表示横截面上的扭矩，正表示横截面上的扭矩，正表示横截面上的扭矩，正表示横截面上的扭矩，正的扭矩画在的扭矩画在的扭矩画在的扭矩画在 x x 轴上方，负的扭矩画在轴上方，负的扭矩画在轴上方，负的扭矩画在轴上方，负的扭矩画在 x x 轴下方轴下方轴下方轴下方.T Tx x+_ _MMe4e4A AB BC CD DMMe1e1MMe2e2MMe3e3n n例题例题例题例题1 1 一传动轴如图所示，其转速一传动轴如图所示，其转速一传动轴如图所示，其转速一传动轴如图所示，其转速 n n=300 r/min =300 r/min，主动轮，主动轮，主动轮，主动轮A A输输输输入的功率为入的功率为入的功率为入的功率为P P1 1=500 kW=500 kW.若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从动轮输出的功率分别为动轮输出的功率分别为动轮输出的功率分别为动轮输出的功率分别为P P2 2=150 kW=150 kW、P P3 3=150 kW=150 kW 及及及及 P P4 4=200=200 kW.kW.试做扭矩图试做扭矩图试做扭矩图试做扭矩图.解解解解:计算外力偶矩计算外力偶矩计算外力偶矩计算外力偶矩MMe4e4A AB BC CD DMMe1e1MMe2e2MMe3e3n n计算计算计算计算 CACA 段内任横一截面段内任横一截面段内任横一截面段内任横一截面 2-2 2-2 截截截截面上的扭矩面上的扭矩面上的扭矩面上的扭矩 .假设假设假设假设 T T 2 2为正值为正值为正值为正值.结果为负号，说明结果为负号，说明结果为负号，说明结果为负号，说明T T 2 2 应是负值扭矩应是负值扭矩应是负值扭矩应是负值扭矩由平衡方程由平衡方程由平衡方程由平衡方程A AB BC CD D MMe1e1MMe3e3MMe2e22 22 2同理，在同理，在同理，在同理，在 BCBC 段内段内段内段内B BC CxMe2Me3T2MMe4e4Me2x xA AB BC CD D同理，在同理，在同理，在同理，在 BCBC 段内段内段内段内在在在在 ADAD 段内段内段内段内11 133注意：若假设扭矩为正值，则注意：若假设扭矩为正值，则注意：若假设扭矩为正值，则注意：若假设扭矩为正值，则扭矩的实际符号与计算符号相同扭矩的实际符号与计算符号相同扭矩的实际符号与计算符号相同扭矩的实际符号与计算符号相同.Me4Me1Me3Me2Me2MMe4e4T T1 1T T3 3作出扭矩图作出扭矩图作出扭矩图作出扭矩图4780 Nm4780 Nm9560 Nm9560 Nm6370 N6370 Nmm+_ _从图可见，最大扭矩从图可见，最大扭矩从图可见，最大扭矩从图可见，最大扭矩在在在在 CACA段内段内段内段内.3-33-3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转1.1.1.1.实验前实验前实验前实验前1 1）画纵向线，圆周线；）画纵向线，圆周线；）画纵向线，圆周线；）画纵向线，圆周线；2 2）施加一对外力偶）施加一对外力偶）施加一对外力偶）施加一对外力偶.一、应力分析一、应力分析一、应力分析一、应力分析薄壁圆筒：壁厚薄壁圆筒：壁厚薄壁圆筒：壁厚薄壁圆筒：壁厚（r r0 0圆筒的圆筒的圆筒的圆筒的平均半径）平均半径）平均半径）平均半径）dxxMeMe2.2.2.2.实验后实验后实验后实验后 圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动；距均未改变，只是绕轴线作了相对转动；距均未改变，只是绕轴线作了相对转动；距均未改变，只是绕轴线作了相对转动；各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜了同一微小角度 ；所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形.3 3、推论、推论1)1)横截面上无正应力，只横截面上无正应力，只横截面上无正应力，只横截面上无正应力，只有切应力；有切应力；有切应力；有切应力；2)2)切应力方向垂直半径或与切应力方向垂直半径或与切应力方向垂直半径或与切应力方向垂直半径或与圆周相切圆周相切圆周相切圆周相切.dxt t 圆周各点处切应力的方向于圆周相切，圆周各点处切应力的方向于圆周相切，圆周各点处切应力的方向于圆周相切，圆周各点处切应力的方向于圆周相切，且数值相等，近似的认为沿壁厚方向且数值相等，近似的认为沿壁厚方向且数值相等，近似的认为沿壁厚方向且数值相等，近似的认为沿壁厚方向各点处切应力的数值无变化各点处切应力的数值无变化各点处切应力的数值无变化各点处切应力的数值无变化.MMe eMMe eABDC此式为薄壁筒扭转时横截面上切应力的计算公式此式为薄壁筒扭转时横截面上切应力的计算公式此式为薄壁筒扭转时横截面上切应力的计算公式此式为薄壁筒扭转时横截面上切应力的计算公式.4 4、推导公式、推导公式薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布，与半径垂直，薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布，与半径垂直，薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布，与半径垂直，薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布，与半径垂直，指向与扭矩的转向一致指向与扭矩的转向一致指向与扭矩的转向一致指向与扭矩的转向一致.T T (Torsion)(Torsion)x xd dy yd dz zd dx xy yz z二、切应力互等定理二、切应力互等定理二、切应力互等定理二、切应力互等定理 1 1、在单元体左、右面（杆的横截面）上、在单元体左、右面（杆的横截面）上、在单元体左、右面（杆的横截面）上、在单元体左、右面（杆的横截面）上只有切应力，其方向于只有切应力，其方向于只有切应力，其方向于只有切应力，其方向于 y y 轴平行轴平行轴平行轴平行.可知，两侧面的内力元素可知，两侧面的内力元素可知，两侧面的内力元素可知，两侧面的内力元素 d dy y d dz z 大小相等，方向相反，将组成大小相等，方向相反，将组成大小相等，方向相反，将组成大小相等，方向相反，将组成 一个力偶。一个力偶。一个力偶。一个力偶。由平衡方程由平衡方程由平衡方程由平衡方程其矩为其矩为其矩为其矩为(d dy y d dz z)d)dx xx xy yd dy yd dz zz zd dx x2、要满足平衡方程要满足平衡方程要满足平衡方程要满足平衡方程在单元体的上、下两平面上必有大小在单元体的上、下两平面上必有大小在单元体的上、下两平面上必有大小在单元体的上、下两平面上必有大小相等，指向相反的一对内力元素相等，指向相反的一对内力元素相等指向相反的一对内力元素相等，指向相反的一对内力元素它们组成力偶，其矩为它们组成力偶，其矩为它们组成力偶，其矩为它们组成力偶，其矩为此力偶矩与前一力偶矩此力偶矩与前一力偶矩此力偶矩与前一力偶矩此力偶矩与前一力偶矩数量相等而转向相反，从而可得数量相等而转向相反，从而可得数量相等而转向相反，从而可得数量相等而转向相反，从而可得(d dy y d dz z)d)dx x3 3、切应力互等定理、切应力互等定理、切应力互等定理、切应力互等定理单元体两个相互垂直平面上的切单元体两个相互垂直平面上的切单元体两个相互垂直平面上的切单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在，且大小相等，都应力同时存在，且大小相等都应力同时存在，且大小相等，都应力同时存在，且大小相等，都指相（或背离）该两平面的交线指相（或背离）该两平面的交线指相（或背离）该两平面的交线指相（或背离）该两平面的交线.纯剪切单元体：纯剪切单元体：纯剪切单元体：纯剪切单元体：单元体平面上只有切应力而无正应力，则称为纯剪切单元体单元体平面上只有切应力而无正应力，则称为纯剪切单元体单元体平面上只有切应力而无正应力，则称为纯剪切单元体单元体平面上只有切应力而无正应力，则称为纯剪切单元体.x xy yd dy yd dz zz zd dx xMMe eMMe el式中，式中，式中，式中，r r 为薄壁圆筒的外半经为薄壁圆筒的外半经为薄壁圆筒的外半经为薄壁圆筒的外半经.三、剪切胡克定律三、剪切胡克定律三、剪切胡克定律三、剪切胡克定律由图所示的几何关系得到由图所示的几何关系得到由图所示的几何关系得到由图所示的几何关系得到薄壁圆筒的扭转试验发现，当外力偶薄壁圆筒的扭转试验发现，当外力偶薄壁圆筒的扭转试验发现，当外力偶薄壁圆筒的扭转试验发现，当外力偶 MMe e 在某一范围内时，与在某一范围内时，与在某一范围内时，与在某一范围内时，与 MMe e （在数值上等于（在数值上等于（在数值上等于（在数值上等于 T T ）成正比）成正比）成正比）成正比.弹性模量弹性模量弹性模量弹性模量E E，剪切弹性模量，剪切弹性模量，剪切弹性模量，剪切弹性模量G G与泊松比与泊松比与泊松比与泊松比 的的的的 关系关系关系关系TO 从从从从 T T 与与与与 之间的线性关系，可推出之间的线性关系，可推出之间的线性关系，可推出之间的线性关系，可推出 与与与与 间间间间的线性关系的线性关系的线性关系的线性关系.该式称为材料的该式称为材料的该式称为材料的该式称为材料的剪切胡克律剪切胡克律剪切胡克律剪切胡克律.G G 剪切弹性模量剪切弹性模量剪切弹性模量剪切弹性模量O O 思考题：指出下面图形的切应变思考题：指出下面图形的切应变思考题：指出下面图形的切应变思考题：指出下面图形的切应变 2 2 切应变为切应变为切应变为切应变为切应变为切应变为切应变为切应变为0 0变变形形几几何何关关系系物物理理关关系系静静力力关关系系 观察变形观察变形 提出假设提出假设变形的分布规律变形的分布规律应力的分布规律应力的分布规律建立公式建立公式3-43-4 圆杆扭转的应力分析圆杆扭转的应力分析圆杆扭转的应力分析圆杆扭转的应力分析 强度条件强度条件强度条件强度条件1 1、变形现象、变形现象 1)1)轴向线仍为直线，且长度不变；轴向线仍为直线，且长度不变；轴向线仍为直线，且长度不变；轴向线仍为直线，且长度不变；2)2)横截面仍为平面且与轴线垂直；横截面仍为平面且与轴线垂直；横截面仍为平面且与轴线垂直；横截面仍为平面且与轴线垂直；一、变形几何关系一、变形几何关系 3)3)径向线保持为直线，只是绕轴径向线保持为直线，只是绕轴径向线保持为直线，只是绕轴径向线保持为直线，只是绕轴线旋转线旋转线旋转线旋转.2 2、平面假设、平面假设:变形前为平面的横截面变形前为平面的横截面变形前为平面的横截面变形前为平面的横截面 ，变形后仍，变形后仍，变形后仍，变形后仍保持为平面保持为平面保持为平面保持为平面.a aabbd dx xO O1O O23 3、几何关系、几何关系 倾角倾角倾角倾角 是横截面圆周上任一是横截面圆周上任一是横截面圆周上任一是横截面圆周上任一点点点点A A 处的切应变处的切应变处的切应变处的切应变,d,d 是是是是 b-bb-b截面相对于截面相对于截面相对于截面相对于a-a a-a 截面象刚性截面象刚性截面象刚性截面象刚性平面一样绕杆平面一样绕杆平面一样绕杆平面一样绕杆的的的的轴轴轴轴线线线线转动的转动的转动的转动的一个角度一个角度一个角度一个角度.经过半径经过半径经过半径经过半径 O O2 2D D 上任一点上任一点上任一点上任一点G G的的的的纵向线纵向线纵向线纵向线EGEG 也倾斜了一个角度也倾斜了一个角度也倾斜了一个角度也倾斜了一个角度 ，它也就是横截面半径上任一点它也就是横截面半径上任一点它也就是横截面半径上任一点它也就是横截面半径上任一点E E处的切应变处的切应变处的切应变处的切应变TTd d ADG DGE E同一圆周上各点剪应力同一圆周上各点剪应力同一圆周上各点剪应力同一圆周上各点剪应力 均相同均相同均相同均相同 ，且其值与，且其值与，且其值与，且其值与 成正比，成正比，成正比，成正比，与半径垂直与半径垂直与半径垂直与半径垂直.二、物理关系物理关系由剪切胡克定律由剪切胡克定律由剪切胡克定律由剪切胡克定律a aabATTd dx xDb DO O1O O2GG (Torsion)(Torsion)r rO Od dA Ad dA A T T三、静力关系三、静力关系1 1 1 1、公式的建立、公式的建立、公式的建立、公式的建立结论结论结论结论 代入物理关系中得到代入物理关系中得到代入物理关系中得到代入物理关系中得到式中：式中：式中式中：T T 横截面上的扭矩横截面上的扭矩横截面上的扭矩横截面上的扭矩 求应力的点到圆心的距离求应力的点到圆心的距离求应力的点到圆心的距离求应力的点到圆心的距离I IP P 为横截面对圆心的为横截面对圆心的为横截面对圆心的为横截面对圆心的 极惯性矩极惯性矩极惯性矩极惯性矩WWt t 称作抗扭截面系数，单位为称作抗扭截面系数，单位为称作抗扭截面系数，单位为称作抗扭截面系数，单位为 mmmm3 3 或或或或 mm3 3.2、的计算的计算r rO OT Td dA Ad dA A maxmax（1 1）实心圆截面）实心圆截面）实心圆截面）实心圆截面dO3 3 3 3、极惯性矩和、极惯性矩和、极惯性矩和、极惯性矩和抗扭截面系数的计算抗扭截面系数的计算抗扭截面系数的计算抗扭截面系数的计算dODdd（2 2）空心圆截面）空心圆截面）空心圆截面）空心圆截面其中其中例题例题例题例题2 2 图示空心圆轴外径图示空心圆轴外径图示空心圆轴外径图示空心圆轴外径D D=100mm=100mm，内径，内径，内径，内径d d=80mm=80mm，MM1 1=6kN=6kNmm，MM2 2=4kN=4kNmm，材料的剪切弹性模量，材料的剪切弹性模量，材料的剪切弹性模量，材料的剪切弹性模量 G G=80GPa.=80GPa.(1)(1)画轴的扭矩图；画轴的扭矩图；画轴的扭矩图；画轴的扭矩图；(2)(2)求轴的最大切应力，并指出其位置求轴的最大切应力，并指出其位置求轴的最大切应力，并指出其位置求轴的最大切应力，并指出其位置.M1M2ABCll（1 1）画轴的扭矩图）画轴的扭矩图）画轴的扭矩图）画轴的扭矩图M1M2ABCllBCBC段段段段1M2CT1T T1 1+MM2 2=0=02M2CM1BT2T T2 2+MM2 2-MM1 1=0=0T T2 2=2kN=2kNmm ABAB段段段段（+）（-）T T1 1=-4kN=-4kNmm最大扭矩发生在最大扭矩发生在最大扭矩发生在最大扭矩发生在BCBC段段段段T Tmaxmax=4kN=4kNmm4kNm2kNm+_T（2 2）求轴的最大切应力，）求轴的最大切应力，）求轴的最大切应力，）求轴的最大切应力，并指出其位置并指出其位置并指出其位置并指出其位置 max最大切应力发生在截面的周边上最大切应力发生在截面的周边上最大切应力发生在截面的周边上最大切应力发生在截面的周边上，且垂直于半径，且垂直于半径，且垂直于半径，且垂直于半径.M1M2ABCll max1 1 1 1、数学表达式数学表达式数学表达式数学表达式四、强度条件四、强度条件四、强度条件四、强度条件2 2 2 2、强度条件的应用、强度条件的应用、强度条件的应用、强度条件的应用强度校核强度校核强度校核强度校核设计截面设计截面设计截面设计截面确定许可核载荷确定许可核载荷确定许可核载荷确定许可核载荷(Torsion)(Torsion)(Torsion)(Torsion)(Torsion)(Torsion)ABC解解解解：作轴的扭矩图作轴的扭矩图作轴的扭矩图作轴的扭矩图MAMBMC22 kNkNmm14 kNkNmm+_分别校核两段轴的强度分别校核两段轴的强度分别校核两段轴的强度分别校核两段轴的强度例题例题例题例题3 3 图示阶梯圆轴，图示阶梯圆轴，图示阶梯圆轴，图示阶梯圆轴，ABABABAB段的直径段的直径段的直径段的直径d d d d1 1 1 1=120=120=120=120mmmm，BC BC BC BC 段的直径段的直径段的直径段的直径 d d d d2 2 2 2=100=100=100=100mmmm.扭转力偶矩为扭转力偶矩为扭转力偶矩为扭转力偶矩为MMA A=22 kNm=22 kNm，MMB B=36 kNm =36 kNm，MMC C =14 kNm.=14 kNm.已知材料的许用切应力已知材料的许用切应力已知材料的许用切应力已知材料的许用切应力 =80 MPa=80 MPa，试，试，试，试校核该轴校核该轴校核该轴校核该轴的强度的强度的强度的强度.因此，该轴满足强度要求因此，该轴满足强度要求因此，该轴满足强度要求因此，该轴满足强度要求.例题例题例题例题4 4 实心圆轴实心圆轴实心圆轴实心圆轴和空心圆轴和空心圆轴和空心圆轴和空心圆轴（图（图（图（图a a、b b）材料、扭转力偶矩）材料、扭转力偶矩）材料、扭转力偶矩）材料、扭转力偶矩 m m 和长度和长度和长度和长度 l l 均相等，最大切应力也相等均相等，最大切应力也相等均相等，最大切应力也相等均相等，最大切应力也相等.若空心圆轴的内外径若空心圆轴的内外径若空心圆轴的内外径若空心圆轴的内外径之比为之比为之比为之比为 =0.8=0.8，试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之，试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之，试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之，试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两轴的重量比比及两轴的重量比比及两轴的重量比比及两轴的重量比.ll(a)(b)分析：设实心圆截面直径为分析：设实心圆截面直径为分析：设实心圆截面直径为分析：设实心圆截面直径为d d1 1，空心圆，空心圆，空心圆，空心圆截面的内、外径分别为截面的内、外径分别为截面的内、外径分别为截面的内、外径分别为 d d2 2、D D2 2;又扭转又扭转又扭转又扭转力偶矩相等，则两轴的扭矩也相等，设力偶矩相等，则两轴的扭矩也相等，设力偶矩相等，则两轴的扭矩也相等，设力偶矩相等，则两轴的扭矩也相等，设为为为为 T T.已知：已知：已知：已知：dd2D2因此因此因此因此解得解得解得解得两轴材料、长度均相同，故两轴的重量比等于两轴的横截面面两轴材料、长度均相同，故两轴的重量比等于两轴的横截面面两轴材料、长度均相同，故两轴的重量比等于两轴的横截面面两轴材料、长度均相同，故两轴的重量比等于两轴的横截面面积之比积之比积之比积之比，在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻，即节省材料在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻，即节省材料在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻，即节省材料在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻，即节省材料.1 1 1 1、圆轴扭转时的变形是用相对扭转角、圆轴扭转时的变形是用相对扭转角、圆轴扭转时的变形是用相对扭转角、圆轴扭转时的变形是用相对扭转角 来度量的来度量的来度量的来度量的 3-5 杆在扭转时的变形杆在扭转时的变形 刚度条件刚度条件一、扭转变形一、扭转变形一、扭转变形一、扭转变形其中其中其中其中 d d 代表相距为代表相距为代表相距为代表相距为 d dx x 的两横截面间的相对扭转角的两横截面间的相对扭转角的两横截面间的相对扭转角的两横截面间的相对扭转角.长为长为长为长为 l l 的一段杆两端面间的相对扭转角的一段杆两端面间的相对扭转角的一段杆两端面间的相对扭转角的一段杆两端面间的相对扭转角 可按下式计算可按下式计算可按下式计算可按下式计算 称作许可称作许可称作许可称作许可单位长度扭转角单位长度扭转角单位长度扭转角单位长度扭转角 3 3 3 3、刚度条件、刚度条件、刚度条件、刚度条件 2 2 2 2、单位长度扭转角、单位长度扭转角、单位长度扭转角、单位长度扭转角 扭转角扭转角扭转角扭转角GIGIP P 称作抗扭刚度称作抗扭刚度称作抗扭刚度称作抗扭刚度 例题例题例题例题5 5 图示等直杆，已知直径图示等直杆，已知直径图示等直杆，已知直径图示等直杆，已知直径d d=40mm=40mm，a a=400mm=400mm，材料的，材料的，材料的，材料的剪切弹性模量剪切弹性模量剪切弹性模量剪切弹性模量G G=80GPa=80GPa，DBDB=1=1.试求：试求：试求：试求：（1 1）ADAD杆的最大切应力；杆的最大切应力；杆的最大切应力；杆的最大切应力；（2 2）扭转角）扭转角）扭转角）扭转角 CACA.a aa a2 2a aMM2 2MM3 3MMA AB BC CD+M2M3M解：画扭矩图解：画扭矩图解：画扭矩图解：画扭矩图计算外力偶矩计算外力偶矩计算外力偶矩计算外力偶矩MM DBDB=CBCB+DCDC=1=1T Tmaxmax=3=3MMe e（1 1）ADAD杆的最大杆的最大杆的最大杆的最大切切切切应力应力应力应力（2 2）扭转角）扭转角）扭转角）扭转角 CACAa aa a2 2a aMM2 2MM3 3MMA AB BC CD+M2M3M例题例题例题例题6 6 某汽车的主传动轴某汽车的主传动轴某汽车的主传动轴某汽车的主传动轴 是用是用是用是用 40 40 号钢的电焊钢管制成，钢管外号钢的电焊钢管制成，钢管外号钢的电焊钢管制成，钢管外号钢的电焊钢管制成，钢管外径径径径D D=76mm=76mm，壁厚，壁厚，壁厚，壁厚t t=2.5mm=2.5mm，轴传递的转矩，轴传递的转矩，轴传递的转矩，轴传递的转矩MM=1.98kNm,=1.98kNm,材料的许用剪应力材料的许用剪应力材料的许用剪应力材料的许用剪应力 =100MPa=100MPa，剪变模量为剪变模量为剪变模量为剪变模量为 G G=80GPa =80GPa，轴的轴的轴的轴的许可许可许可许可扭角扭角扭角扭角 =2 =2 /mm.试校核轴的试校核轴的试校核轴的试校核轴的强度和刚度强度和刚度强度和刚度强度和刚度.DdtMM解：轴的扭矩等于轴传递的转矩解：轴的扭矩等于轴传递的转矩解：轴的扭矩等于轴传递的转矩解：轴的扭矩等于轴传递的转矩轴的内，外径之比轴的内，外径之比轴的内，外径之比轴的内，外径之比由强度条件由强度条件由强度条件由强度条件 由刚度条件由刚度条件由刚度条件由刚度条件DdtMM将空心轴改为同一材料的实心轴，仍使将空心轴改为同一材料的实心轴，仍使将空心轴改为同一材料的实心轴，仍使将空心轴改为同一材料的实心轴，仍使 maxmax=96.1MPa=96.1MPad d=47.2mm=47.2mm实心轴的直径为实心轴的直径为实心轴的直径为实心轴的直径为两轴材料、长度均相同，故两轴重量比等于两轴的横截面积比两轴材料、长度均相同，故两轴重量比等于两轴的横截面积比两轴材料、长度均相同，故两轴重量比等于两轴的横截面积比两轴材料、长度均相同，故两轴重量比等于两轴的横截面积比，在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻，即节省材料在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻，即节省材料在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻，即节省材料在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻，即节省材料.其截面面积为其截面面积为其截面面积为其截面面积为空心轴的截面面积为空心轴的截面面积为空心轴的截面面积为空心轴的截面面积为例题例题例题例题7 7 两端固定的圆截面杆两端固定的圆截面杆两端固定的圆截面杆两端固定的圆截面杆ABAB，在截面，在截面，在截面，在截面C C处受一个扭转力偶处受一个扭转力偶处受一个扭转力偶处受一个扭转力偶矩矩矩矩MM 的作用，如图所示。已知杆的抗扭刚度的作用，如图所示。已知杆的抗扭刚度的作用，如图所示。已知杆的抗扭刚度的作用，如图所示。已知杆的抗扭刚度 GIGIP P，试求杆两，试求杆两，试求杆两，试求杆两端的支反力偶矩端的支反力偶矩端的支反力偶矩端的支反力偶矩.CMabABl解解解解：去掉约束，代之以支反力偶矩去掉约束，代之以支反力偶矩去掉约束，代之以支反力偶矩去掉约束，代之以支反力偶矩这是一次超静定问题，这是一次超静定问题，这是一次超静定问题，这是一次超静定问题，须建立一个须建立一个须建立一个须建立一个补充方程补充方程补充方程补充方程.ACBMMAMBC C截面相对于两固定端截面相对于两固定端截面相对于两固定端截面相对于两固定端A A和和和和B B的相对扭转角相等的相对扭转角相等的相对扭转角相等的相对扭转角相等.杆的变形相容条件是杆的变形相容条件是杆的变形相容条件是杆的变形相容条件是CMabABlCMabABl（1 1 1 1）变形几何方程）变形几何方程）变形几何方程）变形几何方程（2 2 2 2）由物理关系建立补充方程）由物理关系建立补充方程）由物理关系建立补充方程）由物理关系建立补充方程解得解得解得解得ACBMMAMB ACAC=BCBC例题例题例题例题8 8 图图图图 示一长为示一长为示一长为示一长为 l l 的组合杆，由不同材料的实心圆截面杆的组合杆，由不同材料的实心圆截面杆的组合杆，由不同材料的实心圆截面杆的组合杆，由不同材料的实心圆截面杆和空心圆截面杆组成，内外两杆均在线弹性范围内工作，其和空心圆截面杆组成，内外两杆均在线弹性范围内工作，其和空心圆截面杆组成，内外两杆均在线弹性范围内工作，其和空心圆截面杆组成，内外两杆均在线弹性范围内工作，其抗扭刚度抗扭刚度抗扭刚度抗扭刚度 GGa aI IPa Pa、G Gb bI IPb Pb.当此组合杆的两端各自固定在刚性板当此组合杆的两端各自固定在刚性板当此组合杆的两端各自固定在刚性板当此组合杆的两端各自固定在刚性板上，并在刚性板处受一对矩为上，并在刚性板处受一对矩为上，并在刚性板处受一对矩为上，并在刚性板处受一对矩为 MM 的扭转力偶的作用试求分别的扭转力偶的作用试求分别的扭转力偶的作用试求分别的扭转力偶的作用试求分别作用于内、外杆上的扭转偶矩作用于内、外杆上的扭转偶矩作用于内、外杆上的扭转偶矩作用于内、外杆上的扭转偶矩.MMlAB解：列平衡方程解：列平衡方程解：列平衡方程解：列平衡方程这是一次超静定问题这是一次超静定问题这是一次超静定问题这是一次超静定问题.变形相容条件是，内、外杆变形相容条件是，内、外杆变形相容条件是，内、外杆变形相容条件是，内、外杆的扭转变形应相同的扭转变形应相同的扭转变形应相同的扭转变形应相同.变形几何方程是变形几何方程是变形几何方程是变形几何方程是物理关系是物理关系是物理关系是物理关系是MMMlABMaMb代入变形几何方程，得代入变形几何方程，得代入变形几何方程，得代入变形几何方程，得补充方程补充方程补充方程补充方程MbMaMMMlAB弹簧的螺旋角弹簧的螺旋角弹簧的螺旋角弹簧的螺旋角 5,5,且且且且D Dd d,这样这样这样这样的弹簧称为密圈螺旋弹簧的弹簧称为密圈螺旋弹簧的弹簧称为密圈螺旋弹簧的弹簧称为密圈螺旋弹簧.推导这推导这推导这推导这种弹簧的应力与变形的计算公式种弹簧的应力与变形的计算公式种弹簧的应力与变形的计算公式种弹簧的应力与变形的计算公式.3-6 密圈螺旋弹簧的应力和变形密圈螺旋弹簧的应力和变形一、弹簧丝横截面上的应力一、弹簧丝横截面上的应力一、弹簧丝横截面上的应力一、弹簧丝横截面上的应力1 1 1 1、内力的计算、内力的计算、内力的计算、内力的计算F(Torsion)(Torsion)簧丝的横截面上有两个内力簧丝的横截面上有两个内力簧丝的横截面上有两个内力簧丝的横截面上有两个内力分量即分量即分量即分量即FSTFPF作为近似计算，通常可略去作为近似计算，通常可略去作为近似计算，通常可略去作为近似计算，通常可略去与剪力与剪力与剪力与剪力 F FS S相应的相应的相应的相应的 ，且，且，且，且 D D/d d 很大时很大时很大时很大时，还可略去还可略去还可略去还可略去簧圈曲率的影响，所以簧杆横截面上最大簧圈曲率的影响，所以簧杆横截面上最大簧圈曲率的影响，所以簧杆横截面上最大簧圈曲率的影响，所以簧杆横截面上最大切应力为切应力为切应力为切应力为2 2、应力的计算、应力的计算为便于分析，将杆的斜度为便于分析，将杆的斜度为便于分析，将杆的斜度为便于分析，将杆的斜度视为视为视为视为0 0.截面法截面法截面法截面法1 1、内力的计算、内力的计算公式修正的原因公式修正的原因公式修正的原因公式修正的原因：（：（：（：（1)1)1)1)当当当当D D/d d 较小较小较小较小,会引起很大的误差；会引起很大的误差；会引起很大的误差；会引起很大的误差；（2)2)2)2)假定剪切引起的切应力是均匀分布的假定剪切引起的切应力是均匀分布的假定剪切引起的切应力是均匀分布的假定剪切引起的切应力是均匀分布的.式中式中式中式中c c c c为弹簧指数为弹簧指数为弹簧指数为弹簧指数,k k k k为曲度系数为曲度系数为曲度系数为曲度系数,可查教材中的表可查教材中的表可查教材中的表可查教材中的表3.13.13.13.13 3、强度条件、强度条件等直圆杆扭转时的应变能等直圆杆扭转时的应变能等直圆杆仅在两端受外力偶矩等直圆杆仅在两端受外力偶矩等直圆杆仅在两端受外力偶矩等直圆杆仅在两端受外力偶矩 M Me e 作用且作用且作用且作用且 时时时时或或或或g gM Me e M Me e j jj jM Me e M Me e j j当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时或或或或j jABABj jCACAM M1 1M M3 3 B BA AC CM M2 2 dl lABABl lACACFSTFPF 若只考虑簧杆扭转的影响，若只考虑簧杆扭转的影响，若只考虑簧杆扭转的影响，若只考虑簧杆扭转的影响，可得簧杆内的应变能为可得簧杆内的应变能为可得簧杆内的应变能为可得簧杆内的应变能为二、弹簧的变形二、弹簧的变形二、弹簧的变形二、弹簧的变形 1 1、应变能的计算、应变能的计算、应变能的计算、应变能的计算3、功能原理、功能原理 v=W 当弹簧的变形为当弹簧的变形为当弹簧的变形为当弹簧的变形为 时，外力时，外力时，外力时，外力所做的功为所做的功为所做的功为所做的功为F FF FO2、外力做的功、外力做的功c c 弹簧刚度弹簧刚度弹簧刚度弹簧刚度例题例题例题例题9 9 某柴油机的气阀弹簧，簧圈平均半经某柴油机的气阀弹簧，簧圈平均半经某柴油机的气阀弹簧，簧圈平均半经某柴油机的气阀弹簧，簧圈平均半经R R=59.5 mm=59.5 mm，簧丝，簧丝，簧丝，簧丝横截面直径横截面直径横截面直径横截面直径d d=14mm=14mm，有效圈数，有效圈数，有效圈数，有效圈数n n=5.=5.材料的材料的材料的材料的 =350MPa=350MPa ，G=80GPa G=80GPa 弹簧工作是总压缩变形（包括预压弹簧工作是总压缩变形（包括预压弹簧工作是总压缩变形（包括预压弹簧工作是总压缩变形（包括预压变形）变形）变形）变形）为为为为 =55mm=55mm 试校核弹簧的强度试校核弹簧的强度试校核弹簧的强度试校核弹簧的强度.解：求出弹簧所受的压力解：求出弹簧所受的压力解：求出弹簧所受的压力解：求出弹簧所受的压力F F F F为为为为由由由由R R及及及及d d求出求出求出求出查表查表查表查表3.13.13.13.1查处弹簧的曲度系数查处弹簧的曲度系数查处弹簧的曲度系数查处弹簧的曲度系数k k=1.17=1.17=1.17=1.17弹簧满足强度要求弹簧满足强度要求弹簧满足强度要求弹簧满足强度要求.3-7 非圆截面杆的扭转非圆截面杆的扭转非圆杆，如矩形截面杆扭转后横截面将发生非圆杆，如矩形截面杆扭转后横截面将发生非圆杆，如矩形截面杆扭转后横截面将发生非圆杆，如矩形截面杆扭转后横截面将发生翘曲翘曲翘曲翘曲 而不再是平而不再是平而不再是平而不再是平面面面面.等直非圆杆在扭转时横截面虽发生翘曲等直非圆杆在扭转时横截面虽发生翘曲等直非圆杆在扭转时横截面虽发生翘曲等直非圆杆在扭转时横截面虽发生翘曲，但当等直杆在两端受外力偶作用但当等直杆在两端受外力偶作用但当等直杆在两端受外力偶作用但当等直杆在两端受外力偶作用，且端面且端面且端面且端面可以自由翘曲时，其相邻两横截面的翘曲可以自由翘曲时，其相邻两横截面的翘曲可以自由翘曲时，其相邻两横截面的翘曲可以自由翘曲时，其相邻两横截面的翘曲程度完全相同程度完全相同程度完全相同程度完全相同.横截面上仍然只有切应力而横截面上仍然只有切应力而横截面上仍然只有切应力而横截面上仍然只有切应力而没有正应力没有正应力没有正应力没有正应力.这一情况称为这一情况称为这一情况称为这一情况称为纯扭转纯扭转纯扭转纯扭转，或或或或自由自由自由自由扭转扭转扭转扭转 若杆的两端受到约束而不能自由翘曲，则相邻两横截面的翘曲若杆的两端受到约束而不能自由翘曲，则相邻两横截面的翘曲若杆的两