1、9.1 9.1 二重积分的概二重积分的概念和性质念和性质柱体体积柱体体积=底面积底面积 高高特点特点：平顶：平顶.柱体体积柱体体积=？特点特点：曲顶：曲顶.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积问题的提出问题的提出曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为曲边梯形面积为播放播放 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、分割、求和、取极限取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示步骤如下：步骤如下：用若干个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，先分割曲顶柱体的底，并取典
2、型小区域，并取典型小区域，曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积求平面薄片的质量求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片，所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量二重积分的概念二重积分的概念积积积积分分分分区区区区域域域域积积积积分分分分和和和和被被被被积积积积函函函函数数数数积积积积分分分分变变变变量量量量被被被被积积积积表表表表达达达达式式式式面面面面积积积积元元元元素素素素对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体
3、的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值负值 在直角坐标系下用平在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划行于坐标轴的直线网来划分区域分区域D，故二重积分可写为故二重积分可写为D D则面积元素为则面积元素为性质性质当当 为常数时为常数时，（二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）二重积分的性质二重积分的性质性质性质3若若 为为D的面积，的面积，性质性质4若在若在D上上特殊地特殊地性质性质2对区域具有可加性对区域具有可加性则有则有性质性质5性质性质6（二重积分中值定理）（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）解解例例2.比较下列积分的大小比较下列积分的大小:其中其中解解:积分域积分域 D 的边界为圆周的边界为圆周它与它与 x 轴交于点轴交于点(1,0),而域而域 D 位位从而从而于直线的上方于直线的上方,故在故在 D 上上 作业作业9-1:3(1)
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