二项式定理时.pptx

考点考点搜索搜索二项式定理，二项展开式及其通项二项式定理，二项展开式及其通项公式公式二项式系数及其性质二项式系数及其性质高考高考猜想猜想1.1.利用通项公式解决二项展开式中利用通项公式解决二项展开式中的项与系数问题的项与系数问题.2.2.利用二项式定理求近似值、求余利用二项式定理求近似值、求余数、证明不等式等数、证明不等式等.1.对于于nN*，(a+b)n=_，这个公式个公式所表示的定理叫做二所表示的定理叫做二项式定理，等式右式定理，等式右边的的多多项式叫做式叫做(a+b)n的的_.2.二二项展开式中各展开式中各项的系数的系数 (r=0，1，2，n)叫做叫做_；二；二项展开式展开式的第的第r+1项叫做二叫做二项展开式的通展开式的通项，用，用Tr+1表表示，示，Tr+1=_.3.与首末两端与首末两端_的两个二的两个二项式系数式系数相等相等.二项展开式二项展开式二项式系数二项式系数等距离等距离4.二二项式式系系数数的的前前半半部部分分是是_，后后半半部分是部分是_，且在中，且在中间取得取得_.5.当当n为偶偶数数时，二二项展展开开式式的的项数数为奇奇数数，正正中中间一一项的的二二项式式系系数数是是_；当当n为奇奇数数时，二二项展展开开式式的的项数数为偶偶数数，正正中中间两两项的的二二项式系数是式系数是_.6._；_(所所有有偶偶数数项的的二二项式式系系数数之之和和等等于于所所有有奇奇数数项的的二二项式式系数之和系数之和).递增的递增的递减的递减的最大值最大值2n2n-11.的展开式中的常数的展开式中的常数项是是()A.14 B.-14 C.42 D.-42解：解：设 的展开式中的第的展开式中的第r+1项为 ，当当 ，即，即r=6时，它，它为常数常数项，所以常数所以常数项为 .A2.已知已知(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+a9x9，则|a0|+|a1|+|a2|+|a9|等于等于()A.29 B.49C.39 D.1解：解：x的奇数次方的系数都是的奇数次方的系数都是负值，所以所以|a0|+|a1|+|a2|+|a9|=a0-a1+a2-a3+-a9.所以已知条件中只需令所以已知条件中只需令x=-1即可即可.故故选B.B3.已知已知 的展开式中各的展开式中各项系数的系数的和是和是128，则展开式中展开式中x5的系数是的系数是 _.解：解：因因为 的展开式中各的展开式中各项系数系数和和为128，所以令所以令x=1，即得所有，即得所有项系数和系数和为2n=128，所以，所以n=7.设该二二项展开式中的第展开式中的第r+1项为 ，令，令 ,即即r=3时，x5项的系数的系数为 =35.351.如果在如果在 的展开式中的展开式中,前三前三项系系数成等差数列数成等差数列,求展开式中的有理求展开式中的有理项.解：解：展开式中前三展开式中前三项的系数分的系数分别为1，,由由题意得意得 ,解得解得n=8.题型题型1 求二项展开式中的项求二项展开式中的项设第第r+1项为有理有理项，则r是是4的倍数，所以的倍数，所以r=0，4，8.所以展开式中的有理所以展开式中的有理项为T1=x4，.点点评：熟熟记二二项展开式的通展开式的通项公式是求公式是求指定指定项的基的基础，求解，求解过程中注意程中注意项的符的符号、系数、字母、字母指数四个方面号、系数、字母、字母指数四个方面.已知已知 的第五的第五项的二的二项式系式系数与第三数与第三项的二的二项式系数的比是式系数的比是14 3，求展开式中，求展开式中的常数的常数项.解解:依依题意有意有 =14 3,化化简得得 (n-2)(n-3)=56,解得解得n=10或或n=-5(不符合不符合题意意,舍去舍去).设该展开式中第展开式中第r+1项为所求的所求的项，则 .令令 ,得得r=2.故展开式中的常数故展开式中的常数项为第三第三项,且且 .2.(1)求求(1+2x-x2)(1-x)10的展开式中的展开式中x4的系数的系数.(2)求求(1+x)+(1+x)2+(1+x)15的展开式中的展开式中x3的系数的系数.解解：(1)因因为为(1-x)10展开式中展开式中x4，x3，x2的系的系数分数分别为别为 ，所以展开式中合并同所以展开式中合并同类项类项后后x4的系数是的系数是 .题型题型2 求二项展开式中指定项的系数求二项展开式中指定项的系数(2)原式原式=.因因为为(1+x)16的二的二项项展开式中展开式中x4的系数是的系数是 =1820，所以原式的展开式中，所以原式的展开式中x3的系数是的系数是1820.点点评:多个二多个二项式运算式运算结果中的指定果中的指定项的系数的系数求解求解问题,涉及到多个涉及到多个项的搭配的搭配,在配凑在配凑过程中程中,一一是注意不要是注意不要遗漏某些漏某些对应项,如第如第(1)问中的第一个中的第一个式子中的常数式子中的常数项、一次、一次项、二次、二次项分分别对应第二第二个式子中的四次个式子中的四次项、三次、三次项、二次、二次项;二是注意一二是注意一些公式的些公式的转化化变形形;如第如第(2)问中的多个求和式子可中的多个求和式子可利用求和公式将其利用求和公式将其转化化.求求 的展开式中的常数的展开式中的常数项.解法解法1：.得到常数得到常数项的情况有：的情况有：三个括号中全取三个括号中全取-2，得，得(-2)3；一个括号中取一个括号中取|x|，一个括号中取，一个括号中取 ,一个括号中取一个括号中取-2，得，得 ，所以展开式中的常数所以展开式中的常数项为(-2)3+(-12)=-20.解法解法2：.设设第第r+1项为项为常数常数项项，则则 令令6-2r=0，得，得r=3.所以展开式中常数所以展开式中常数项为项为 .3.(1)求求(1-3x)8的展开式中各的展开式中各项系数的系数的绝对值之和之和.(2)求求(1+2x)12(2-x)8的展开式中的展开式中x的奇次的奇次幂的系数之和的系数之和.解解:(1)设(1-3x)8=a0+a1x+a2x2+a8x8.其中其中a0,a2,a4,a6,a80,a1,a3,a5,a70.取取x=-1，则|a0|+|a1|+|a2|+|a8|=a0-a1+a2-a3+a8 =(1+3)8=48.题型题型3 求展开式中的系数和求展开式中的系数和(2)因因为(1+2x)12(2-x)8的展开式中的展开式中x的的最高次最高次幂为20,从而可从而可设(1+2x)12(2-x)8=a0+a1x+a2x2+a20 x20.取取x=1,则a0+a1+a2+a20=312.取取x=-1,则a0-a1+a2-+a20=38.-,得得a1+a3+a5+a19=312-382=4038.故展开式中故展开式中x的奇次的奇次幂的系数之和的系数之和为4038.点点评:求求展展开开式式中中的的系系数数和和问题,一一般般采采用用赋值法法:即即把把式式子子看看成成某某字字母母的的函函数数,再再结合合所所求求系系数数式式子子的的特特点点,分分别令令字字母母取取一些常数一些常数0,1,-1等等,便可求得系数和便可求得系数和.已知已知(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)8=a0+a1x+a2x2+a3x3+a8x8，则a1+a2+a3+a8=_.解：解：令令x1，则a0+a1+a2+a8=2+22+28=510.令令x=0，则a0=8，所以，所以a1+a2+a8=502.502(1)已知已知(1+2x)6的展开式中第的展开式中第2项大于大于它的相它的相邻两两项，求，求x的取的取值范范围；(2)已知已知(1+x+mx2)10的展开式中的展开式中x4的的系数大于系数大于-330，求，求m的取的取值范范围.题型题型 求二项式中参数的取值范围求二项式中参数的取值范围解：解：(1)因因为 ，由已知由已知 ，所以，所以 ，即即 ，解得，解得 ，所以所以x的取的取值范范围是是().(2)因因为 .由此可知由此可知,上式中只有第三、四、五上式中只有第三、四、五项的展开的展开式中含有式中含有x4项,其系数分其系数分别为：.由已知由已知,-330.化化简整理整理,得得m2+8m+120,即即(m+2)(m+6)0.所以所以m-2或或m-6,故故m的取的取值范范围是是 (-，-6)(-2，+).1.展展开开式式中中常常数数项项、有有理理项项的的特特征征是是通通项项式式中中未未知知数数的的指指数数分分别别为为零零和和整整数数，解解决决这这类类问问题题时时，先先要要合合并并通通项项式式中中同同一一字字母母的的指指数数，再再根根据据上述特征上述特征进进行分析行分析.2.二二项项展展开开式式中中各各项项的的系系数数与与二二项项式式系系数数是是不不同同的的概概念念.一一般般地地，某某一一项项的的系系数数是是指指该该项项中中字字母母前前面面的的常常数数值值(包包括括正正负负符符号号)，它它与与a、b的的取取值值有关，而二有关，而二项项式系数与式系数与a、b的取的取值值无关无关.3.有有关关求求二二项项展展开开式式中中的的项项、系系数数、参参数数值值或或取取值值范范围围等等，一一般般要要利利用用通通项项公公式式求求解解，结结合合方方程程思思想想进进行行求求值值，通通过过解解不等式求取不等式求取值值范范围围.4.求求展展开开式式中中的的系系数数和和，一一般般通通过过对对a、b适适当当赋赋值值来来求求解解；对对求求非非二二项项式式的的展展开开式式系系数数和和，可可先先确确定定其其展展开开式式中中的的最最高高次次数数，按按多多项项式式形形式式设设出出其其展展开开式式，再再赋赋值值求系数和求系数和.