第五章-线性方程组.pdf

一、一、n n维向量的定义及运算维向量的定义及运算一、一、n n维向量的定义及运算维向量的定义及运算二、向量空间二、向量空间二、向量空间二、向量空间第二节 线性方程组解的性质、结构与解法第一节 线性方程组解的存在性第二节 线性方程组解的性质、结构与解法第一节 线性方程组解的存在性齐次线性方程组形如齐次线性方程组形如Ax=0,或或x1a1+x2a2+xnan=0 ,方程组显然有零解方程组显然有零解 x=(0,0)T=0.当系数矩阵为方阵的时候已经进行讨论。当系数矩阵为方阵的时候已经进行讨论。问题：问题：对一般的系数矩阵对一般的系数矩阵 A 满足什么条件时满足什么条件时Ax=0 有非零解？如有非零解有非零解？如有非零解,其通解的形式如何？其通解的形式如何？定理1设定理1设A为为mn阶矩阵阶矩阵,x 为为n 元未知数向量，以下命题互为元未知数向量，以下命题互为充要条件充要条件：(1).Ax=0 有非零解有非零解(只有零解只有零解)；(2).A的列向量组线性相关的列向量组线性相关(线性无关线性无关)；(3).r(A)n(=n).证证证证().,1110aa0aa=+=nnnxxAxAA?可写为那么列分块将矩阵().2()1(,111=+=关。因此的列向量组线性相，也就是说，即，使得向量有非零解，即存在非零显然AccAccAxnnTn0aa0cc0?).3()2()()(=因此。的列向量组线性相关，即的列向量组线性无关由于nArAnArA例例 1解解解当解当 为何值时，方程组为何值时，方程组x1+x2+x3=0,x1 x2+x3=0,x1+x2+2x3=0,(1)有非零解有非零解;(2)只有零解只有零解.设方程系数矩阵为设方程系数矩阵为 A,则则=2111111A+210111010.200010111+当当=2 或或=1 时，时，r(A)=2 3,方程组有非零解方程组有非零解.当当 2 且且 1 时，方程组只有零解时，方程组只有零解.对非齐次线性方程组对非齐次线性方程组Ax=b,当系数矩阵为方阵的时候已经进行讨论当系数矩阵为方阵的时候已经进行讨论.问题：问题：对一般的系数矩阵对一般的系数矩阵 A 满足什么条件时满足什么条件时Ax=b 有解？其解是否唯一？若解不唯一，其通解的形式如何？有解？其解是否唯一？若解不唯一，其通解的形式如何？定理2设定理2设A为为mn 阶矩阵阶矩阵,对于非齐次线性方程组对于非齐次线性方程组Ax=b有如下结论：有如下结论：(1).Ax=b 有解有解?r(A,b)=r(A)；(2).Ax=b 有唯一解有唯一解?r(A,b)=r(A)=n；证证证证，那么的解，即为设有解。由已知，显然有设bububb=AAxArArAx).(),().1(,uubEAAAA=).(),()(),(ArArArAr=bb，因此可得于因子的秩，有因此由乘积的秩小于等可由它们线性表示为，因此向量列向量组的极大无关组矩阵组，并且它们一定也为的列向量组的极大无关为。设均为的列秩和理，。那么，由三秩相等定假设bbaabb,)(),(1AArAArArArr?=,11rrccaab+=?,00111nrrrccAaaaabb+=+?的列向量组线性表示为能由从而向量()有解。因此方程组满足那么向量bbcc=AxAccTr,0,0,1?.)(),()1().2(nArArAx=bcb结论，有。由有唯一解设时，有无穷多个解。当时，解唯一；当时，无解；当阶方程组对于nArbArnArbArArbArbAxnm=)(),().3()(),().2()(),().1(:,)(,1,)(bccucuu0=+=+=AAAAAxnAr那么有非零解，齐次方程组那么由定理假设。此的解，与已知矛盾，因的不同于也是这说明nArAx=+)(cbcu有唯一解。因此方程组表示，并且表示唯一。的列向量组线性可由因此向量列向量组必线性相关，矩阵，并且的列向量组必线性无关。那么假设bbbb=AxAAAnArAr,)(),(例例 2解解解当解当 k 为何值时，方程组为何值时，方程组kx1+x2-x3=k,x1 +k x2+x3=1,x1+x2-kx3=k,(1)有无穷多解有无穷多解;(2)解唯一解唯一;(3)无解无解=kkkkkbA1111111,当当 k=1 或或 k=1 时，时，r(A)=r(A,b)=2 3,方程组有无穷多解方程组有无穷多解.当当 k 0 且且 k 1 时，时，r(A)=r(A,b)=3,方程组解唯一方程组解唯一.当当 k=0 时，时，r(A)=2，r(A,b)=3,方程组无解方程组无解.本节作业：本节作业：习题习题5-1：1(1),2(1),3,10011101122cBkkkkkkkk=+初等行变换一、线性方程组解的性质一、线性方程组解的性质一、线性方程组解的性质一、线性方程组解的性质三、用初等行变换解线性方程组三、用初等行变换解线性方程组三、用初等行变换解线性方程组三、用初等行变换解线性方程组二、线性方程组解的结构二、线性方程组解的结构二、线性方程组解的结构二、线性方程组解的结构一、线性方程组解的性质一、线性方程组解的性质一、线性方程组解的性质一、线性方程组解的性质性质1性质1性质1性质1(1)设设 v1,vr为为Ax=0 的解，则的解，则v=c1v1+crvr(ciR,i=1,2,r)也是也是Ax=0的解；的解；(2)设设 v为为Ax=0 的解，的解，u为为Ax=b 的解的解，则则u+v 也是也是Ax=b 的解；的解；(3)Ax=b 的两个解的两个解u1,u2之差之差u1-u2 是是Ax=0 的解；的解；(4)设设 u1,us为为Ax=b 的解，则的解，则(i)u=k1u1+ksus是是Ax=b的解?的解?k1+ks=1；(ii)u=k1u1+ksus是是Ax=0的解?的解?k1+ks=0.二、线性方程组解的结构二、线性方程组解的结构二、线性方程组解的结构二、线性方程组解的结构Ax=b 的所有解的一般表达形式称为的所有解的一般表达形式称为Ax=b 的的通解（一般解）通解（一般解）.找到线性方程组的通解就是本节的主要目的。那么找到线性方程组的通解就是本节的主要目的。那么寻找齐次线性方程组的通解的问题寻找齐次线性方程组的通解的问题就转化为就转化为寻找基础解系的问题寻找基础解系的问题。定义1定义1定义1定义1线性方程组线性方程组 Ax=0 的解集（所有解的集合）的一个极大无关组称为的解集（所有解的集合）的一个极大无关组称为 Ax=0 的的基础解系基础解系基础解系基础解系.设设 Ax=0 的解集的解集S的一个基础解系为的一个基础解系为v1,vr.那么那么S任一向量任一向量(方程的解方程的解)v 都可表示为都可表示为 v=c1v1+crvr,ciR,i=1,2,r再由性质再由性质1（1），对），对 Ax=0 的基础解系的基础解系v1,vr.那么向量那么向量v=c1v1+crvr（ciR,i=1,2,r）必定还是）必定还是Ax=0 的解向量。的解向量。定理 1定理 1mn型齐次方程组型齐次方程组 Ax=0 的解集的解集S的秩是的秩是 n r(A)(即即Ax=0 的基础解系含的基础解系含 n r(A)个解向量个解向量).证明（证明（证明（略）证明（略）注意：注意：上述定理提供了求通解的方法上述定理提供了求通解的方法.方法：方法：对于对于 n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组Ax=0,(1)当当 r(A)=n 时，方程组只有零解；时，方程组只有零解；(2)当当 r(A)=r n 时，方程组有穷多组解，且基础解系含时，方程组有穷多组解，且基础解系含 n r 个解向量个解向量.那么那么求解求解 Ax=0 的通解的问题归结为的通解的问题归结为求求 Ax=0 的的 n-r 个线性无关解向量的问题个线性无关解向量的问题。(3)若若 v1,v2,vn r是是 Ax=0 的基础解系，则的基础解系，则 Ax=0 的的通解通解为为:x=c1v1+c2v2 +cn rvn r,其中其中 c1,c2,cn r为任意实数为任意实数.例例 1设设mn 矩阵矩阵A，证明证明:r(ATA)=r(A).证明：由定理证明：由定理1，只需证明方程组，只需证明方程组 Ax=0与与ATAx=0 同解即可。设同解即可。设u 为方程组为方程组 Ax=0的任一解，即的任一解，即Au=0,那么就有那么就有ATAu=0,因此因此u也是方程组也是方程组ATAx=0的解。设的解。设w 为方程组为方程组 ATAx=0的任一解，即的任一解，即ATAw=0,那么就有那么就有wTATAw=0,因此因此(Aw)T(Aw)=0。则向量。则向量Aw=0,因此因此w也是方程组也是方程组Ax=0的解。这就证明了方程组的解。这就证明了方程组 Ax=0与与ATAx=0 解集相同，由定理解集相同，由定理1，可知，可知n-r(A)=n-r(ATA)这就证明了结论。这就证明了结论。定理 2非齐次线性方程组定理 2非齐次线性方程组 Ax=b 的的通解通解为为 Ax=b 的一个特解的一个特解与相应与相应齐次线性方程组齐次线性方程组 Ax=0 的通解的通解之和之和.证证证设证设 是是 Ax=b 的一个解的一个解,r(A)=r,A=b,Av i=0,i=1,2,n r,从而对于任意常数从而对于任意常数 c1,c2,cn r有有A(+c1v1+cn rvn r)=A+c1Av1+cn rAvn r=b ,v1,v2,vn r是是 Ax=0 的一个基础解系，则有即的一个基础解系，则有即 x=+c1v1+cn rvn r是是 Ax=b 的解的解.又设又设 1(1 )为为Ax=b 的任一解的任一解,即即 A 1=b.则则 A(1 )=A 1 A=b b=0,即即 1 是是 Ax=0 的解的解.即即:Ax=b 的通解的通解=Ax=b 的特解的特解+Ax=0 的通解的通解.1 =l1 v1+l2 v2+ln r vn r.即即 1=+l1 v1+l2 v2+ln r vn r.这就证明了这就证明了Ax=b 的任意解可表示成的任意解可表示成 Ax=b 的一个特解与的一个特解与 Ax=0 的基础解系的解向量的线性组合之和的基础解系的解向量的线性组合之和.所以，存在不全为零的常数所以，存在不全为零的常数 l1,l2,ln r,使使x=+k1 v1+k2 v2+kn r vn r由定理由定理2，Ax=b 的通解结构式：其中的通解结构式：其中 为为 Ax=b 的一个的一个特解特解,r(A,b)=r(A)=r,k1,k2,kn r 为任意实数为任意实数,v1,v2,vn r 为为 Ax=0 的一个的一个基础解系基础解系.定理 3对线性方程组定理 3对线性方程组 Ax=b，若增广矩阵若增广矩阵A,b通过初等行变换化为矩阵通过初等行变换化为矩阵B,c,则方程组则方程组Bx=c 与与Ax=b 同解。同解。三、用初等行变换解线性方程组三、用初等行变换解线性方程组三、用初等行变换解线性方程组三、用初等行变换解线性方程组1.求求 Ax=0 的通解或基础解系的通解或基础解系步骤：步骤：(1)写出系数矩阵写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为并对其作初等行变换化为行最简形式行最简形式（同时得到（同时得到r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；(2)由行最简形式确定由行最简形式确定自由未知量自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；并写出与原方程组同解的方程组；(3)对自由未知量赋值，对自由未知量赋值，求出基础解系求出基础解系（有几个自由未知量，就应赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）（有几个自由未知量，就应赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.2.求求 Ax=b 的通解的通解(1)(,)()(,).A br Ar A b步骤：写出增广矩阵并用初等行变换将其化为行最简形式，求出及，判断是否有解 当有解时，则(2)由行最简形式写出同解方程组，求出由行最简形式写出同解方程组，求出 Ax=0 的基础解系的基础解系及及 Ax=b 的一个特解的一个特解；(3)写出通解写出通解.例例 2求线性方程组的基础解系与通解。求线性方程组的基础解系与通解。x1 x2+5x3 x4=0,x1+x2 2x3+3x4=0,3x1 x2+8x3+x4 =0,x1+3x2 9x3+7x4=0.解解解解=7931181332111511 A00000000472015118144047204720151100000000227101511.000000002271012301所以所以 r(A)=2 4，原方程组有无穷多组解。，原方程组有无穷多组解。43123xxx=432227xxx=x3,x4为任意实数。为任意实数。上一页上一页由行最简形矩阵可写出等价方程组，由行最简形矩阵可写出等价方程组，方法方法：非台阶位置非台阶位置对应的为对应的为自由未知量自由未知量,放在方程右侧；放在方程右侧；台阶未知台阶未知对应的未知量放到等式左侧。因此设对应的未知量放到等式左侧。因此设 x3,x4 为自由未知量，其等价方程组为：为自由未知量，其等价方程组为：的基础解系。个线性无关的解。即为因此可以生成个自由变量，剩余非台阶对应个台阶，对应0.)(=AxrnrnrArr取取 x3=1,x4=0,得得,231=x.272=x取取 x3=0,x4=1,得得,11=x.22=x再由再由 n-r(A)=4-2=2,所以它们就是原方程组的基础解系。所以它们就是原方程组的基础解系。=1021,012/72/321vv.,102101272321212211Rkkkkkkx+=+=vv因此原方程组通解为：因此原方程组通解为：上一页上一页为原方程组两个线性无关解。为原方程组两个线性无关解。例例 3下列方程组是否有解？若有则求其通解下列方程组是否有解？若有则求其通解.2x1+3x2+x3=1,x1+x2 2 x3=2,4x1+7x2+7x3=1,x1+3x2+8x3=4.解一解一解一解一=4831177422111132,bA61020915303510221148311774113222110000000035102211.,0000000035105701cB=因此因此r(A,b)=r(A)=2 3，原方程组有无穷多组解，原方程组有无穷多组解.x1=5+7x3,x2=3 5x3,x3 为任意实数为任意实数.取取 x3=0,得到得到Bx=c也就是也就是Ax=b的一个特解方程组的一个特解方程组Bx=c为：为：上一上一页页().0,3,5T=方程组方程组Bx=0为：为：x1=7x3,x2=5x3,x3 为任意实数为任意实数.不要将常数加进去不要将常数加进去解二解二解二解二x1=5+7x3,x2=3 5x3,x3 为任意实数为任意实数.=321xxxx+=+=035575375kkkkkk.,035157Rkk+=取取 x3=k,则则Bx=c 即即Ax=b 的 通解为方程组的 通解为方程组Bx=c为：为：上一页上一页齐次方程组基础解系齐次方程组基础解系.,Rkk+=vx取取 x3=1,得到得到Bx=0也就是也就是Ax=0的基础解系为则的基础解系为则Ax=b的通解为：的通解为：().1,5,7T=v注注：在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为行最简形式行最简形式，这样有利于求解，这样有利于求解.上一页上一页例例 4设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知已知 1,2,3 是它的三个解向量，且是它的三个解向量，且 1=(2,3,4,5)T,2+3=(1,2,3,4)T,求该方程组的通解求该方程组的通解.设四元非齐次方程组为设四元非齐次方程组为 Ax=b,则则 A 1=b,A 2=b,A 3=b.又又323221212 AAA+=+bbb=+=2121解解解解则则2321 +是是 Ax=0 的非零解的非零解.().,3 ,25 ,2 ,235 ,4 ,3 ,2TRkkT+=)2(3211+=kx因此因此 Ax=b 的通解为由于的通解为由于 r(A)=3,故故Ax=0的基础解系只含一个解向量，的基础解系只含一个解向量，例例 5 1=1+t 2,2=2+t 3,3=3+t 4,4=4+t 1,讨论实数讨论实数 t 满足什么关系时，满足什么关系时，1,2,3,4 也是也是 Ax=0 的一个基础解系的一个基础解系.已知已知 1,2,3,4是线性方程组是线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，若的一个基础解系，若由于齐次线性方程组的解的线性组合仍是该方程组的解，故 1,2,3,4 还是 Ax=0 的解.因此，当且仅当 1,2,3,4 线性无关，1,2,3,4 是基础解系.解解解解(1,2,3,4)=(1,2,3,4)100010001001tttt(1,2,3,4)C.=由于记 B=(1,2,3,4),A=(1,2,3,4),又 1,2,3,4 线性无关,即 r(A)=4.所以 1,2,3,4 线性无关 r(B)=4 C 可逆.即.01 100010001001|4=tttttC故 t 1 时，1,2,3,4 是 Ax=0 的基础解系.显然 1,2,3,4 是 Ax=0 的解.设 k1 1+k2 2+k3 3+k4 4 =0,则有 k1(1+t 2)+k2(2+t 3)+k3(3+t 4)+k4(4+t 1)=0,即(k1+t k4)1+(k2+t k1)2+(k3+t k2)3+(k4+t k3)4=0。另另另另 解解解解由于 1,2,3,4 线性无关，则有k1+t k4=0t k1+k2=0t k2+k3=0t k3+k4=0要 1,2,3,4线性无关，则须上述关于k1,k2,k3,k4的齐次线性相关组只有零解.故系数行列式.01 100010001001|4=tttttC所以 t 1 时，1,2,3,4 是 Ax=0 的基础解系.例 6.132 032 321321的全部解的基础解系，并求求=+=+nnnxxxxnxxxx?().1 01)(,2,1 :个解向量的基础解系含，方程组，故解=nAxArnA?，取因为)32(321nnxxxx+=?,100,010,00132=?nxxx.100,0103,0012 121为一个基础解系则=?nvvvn-.132 ,0)(1,0,321的一个特解是显然=+=nTnxxxx?.1,2,1,1111=+=niRkvkvkxinn?的通解为那么 132 321=+nnxxxx?例 7.,1554,2 ,1 2 321321321并在有无穷解时求其解穷多解？无解、有唯一解、有无为何值时，方程组=+=+=+xxxxxaxxaxxa),45)(1(5541112 +=aaaa原方程组的系数行列式解.54 1 时，方程组有惟一解且故当aa=+=+=+=.1554,2 ,1 2 1 321321321xxxxxxxxxa时，原方程组为当.000011101001000011102111155421111112?行变换化为：对其增广矩阵施行初等.)0,1,1()1,1,0(1 为任意实数）（组解，其通解为时，原方程组有无穷多因此，当kkaTT+=+=+=.1554,01554,55410 54 321321321xxxxxxxxxa程组为时，原方程组的同解方当,9000105545541015541055455410?行变换化为：对其增广矩阵施行初等时，原方程组无解。则当 54=a本节作业本节作业：习题：习题5-2：2(1),3(1)(3),6