弦振动规律及MATLAB数据处理.doc

弦振动形成驻波的规律和数据的MATLAB处理

苗锟1，黄育红2, 本论文受陕西师范大学“大学生开放性实验基金项目”资助。
作者简介：黄育红（1980-），陕西宝鸡人，陕西师范大学物理学院讲师，从事物理实验教学；现为西北工业大学在读博士，主要从事半导体物理理论计算。
，李康1，宋翠1
（1陕西师范大学理工科基础教学部，陕西 西安，700062；
2陕西师范大学物理学与信息技术学院，陕西 西安，710062）

摘 要 本文通过对大量实验数据进行分析，同时采用MATLAB软件对数据进行系统处理，作出了数据间的关系图。借助软件使物理分析简单化，形象化，进而使实验者有更多的精力关注其内在的物理思想。并在此基础上，分析总结出弦振动形成驻波时波长与张力以及波长与振动频率的规律，提出检验判断实验数据的方法，可以使实验者在做实验的过程中随时判断数据的正确与否。

关键词 弦振动；驻波；MATLAB
中图分类号：O4-34 文献标识码：A

1 引言
“弦振动形成驻波”一直是高等学校普通物理实验中的传统力学实验之一，它是研究波的形成、传播和干涉的一个重要途径。在固定均匀弦振动实验中，利用XZDY—B型均匀弦振动仪，通有交流电的金属弦线在磁场中受到安培力的作用能够振动，在满足一定的条件下可形成驻波，通过观察驻波波形，测量相关的物理量，可测量弦线的线密度和横波传播的波长和波速，进而可以了解驻波传播的规律。有关学者在这方面做了不少讨论。
以前都是电动音叉受振动产生驻波的实验装置，现在改用均匀固定弦振动仪，使实验操作简化，物理现象明显，但是仪器仍然有些不尽人意的地方。另外这个实验数据多而繁杂，很容易引起混淆，且计算量大，在实验数据处理方面，到目前为止，还没有人提及对实验数据进行实时判断的具体方法，大量的实验数据极易引起混淆。
为了更清晰明确整个实验的体系和思路，作者系统研究弦振动产生驻波的各种情况，在取得大量实验数据的同时，用MATLAB软件处理实验数据并作图，使多而杂的实验数据所内含的物理规律清晰而形象化，并在此基础上，提出一种能实时检验判断数据的方法，使后来的实验者能随时判断自己测量数据的正确性，也为下一步的实验测量奠定了基础。
2 弦振动形成驻波的原理
驻波是两个振幅相同、频率相同的相干波在同一直线上沿相反方向传播的叠加，固定均匀弦振动在介质中的传播满足一定的条件就可形成驻波，如图1所示。弦振动是最直观、最简单的驻波模型。
正向传播的波为：
反向传播的波为：
式中x为质点位置坐标；t为时间；A为振幅；f为频率；w=2pf称为圆频率；l为波长；k=2p/l称为波矢； n=lf为波的传播速度。
两列波叠加的结果，任一点x的合成振动为：
由上式可见，入射波与反射波合成后，弦上各点都以同一频率作简谐振动，它们的振幅为，即驻波的振幅与时间t无关，与质点的位置x有关。
A
B
x
x
x
t=0
t=T/4
t=T/2
0
0
0
λ/2
波腹
波节

图1 相反方向传播的两列波形成驻波的示意图
波节处振幅为零，即通过简单计算可求得相邻两波节之间的距离为：

波腹处的质点振幅为最大，可计算出相邻两波腹间的距离也是半个波长。因此，在驻波实验中，只要测得相邻两波节（或相邻两波腹）间的距离，就能确定该波的波长。
由于固定弦的两端是用劈尖支住的，故两端处的点不会动，必为波节，所以，只有当弦线的两个固定端之间的距离（弦长）等于半波长的整数倍时，才能形成驻波，这就是均匀弦振动产生驻波的条件，其数学表示式为：

由此可得沿弦线传播的横波波长为：
(1)
式中的为弦线上驻波的段数。
波动理论指出，弦线中横波的传播速度为
(2)
式中为弦线中的张力，为单位长度弦线的质量(即弦线的线密度)。
根据波速、频率及波长的普遍关系式，可得
(3)
由(2)式和(3)式可得
(4)
由此可见，当给定、、时，频率只有满足上式的要求才能在弦上形成驻波。同理，当用外力（例如流过金属弦线上的交变电流在磁场中受到交变安培力的作用）去驱动弦线振动时，外力的频率必须与这个频率一致，才会促使弦振动的传播形成驻波。
3 实验数据记录及MATLAB处理
调整好实验装置，实验中分别测量频率一定和张力一定条件下相关的物理量，并利用MATLAB 处理实验数据，绘制各物理量之间的曲线图，使它们之间的关系更加明确和清晰化。（西安市的重力加速度值为）
3.1 在频率一定的条件下，改变张力的大小，测量弦上横波的传播速度。
选取频率，张力T由砝码挂在弦线的一端产生（需考虑托盘质量），以20.0g砝码为起点，逐次增加5.0g直至140.0g为止。同时调节相应的弦长，使弦线上出现、两个驻波段。记录相应的、、值，如表1所示，做测量曲线图，如图1所示。由(3)式计算弦上横波速度的测量值。

表1 频率一定时实验数据测量表
砝码
质量

张力

/N

20
29.720
44.30
64.80
20.50
25.80
64.50
38.70
39.85
25
34.720
44.40
64.20
19.80
36.00
79.40
43.40
41.50
30
39.720
37.40
60.80
23.40
26.35
71.80
45.45
46.13
35
44.720
35.50
60.10
24.60
20.02
69.41
49.39
49.30
40
49.720
39.60
65.88
26.28
24.82
76.55
51.73
52.15
45
54.720
40.90
68.00
27.10
30.10
84.38
54.28
54.24
50
59.720

39.65
68.05
28.40
22.40
79.38
56.98
56.89
55
64.720
39.32
69.10
29.78
20.14
79.20
59.06
59.31
60
69.720
39.80
70.65
30.85
26.90
88.60
61.70
61.70
65
74.720
36.78
68.69
31.91
7.50
71.23
63.73
63.78
70
79.720
34.00
67.30
33.30
10.00
75.80
65.80
66.20
75
84.720
34.74
68.82
34.08
10.00
78.15
68.15
68.16
80
89.720
34.58
69.59
35.01
8.10
77.90
69.80
69.91
85
94.720
36.30
72.11
35.81
9.00
81.08
72.08
71.85
90
99.720
35.05
71.60
36.55
9.00
83.10
74.10
73.60
95
104.720
36.00
73.95
37.95
5.45
81.75
76.30
76.10
100
109.720
31.85
70.68
38.83
5.05
83.00
77.95
77.81
105
114.720
32.42
71.55
39.13
3.86
83.20
79.34
78.80
110
119.720
34.47
74.62
40.15
3.70
84.89
81.19
80.75
115
124.720
23.80
65.10
41.30
5.51
88.72
83.21
82.91
120
129.720
27.00
69.30
42.30
3.28
88.40
85.12
8486
125
134.720
29.00
71.30
42.30
2.50
88.50
86.00
85.30
130
139.720
29.63
72.06
42.43
3.55
91.33
87.78
86.32
135
144.720
34.10
77.45
43.35
3.52
90.20
86.68
86.69
140
149.720
28.49
72.52
44.03
2.15
90.39
88.24
88.15

图 1 测量曲线
（注：其中包括砝码的质量和托盘的质量）
程序：Datax=[29.72，34.72，39.72，44.72，49.72，54.72，59.72，64.72，69.72，74.72，79.72，84.72，89.72，94.72，99.72，104.72，109.72，114.72，119.72，124.72，129.72，134.72，139.72，144.72，149.72];
Datay=[39.85，41.50，46.13，49.30，52.15，54.24，56.89，59.31，61.70，63.78，66.20，68.16，69.91，71.85，73.60，76.10，77.81，78.80，80.75，82.91，84.86，85.30，86.32，86.69，88.15];
plot (Datax(1:25),Datay(1:25),'k*-'),
xlabel('张力T/N'), ylabel('平均波长/cm')
3.2 在张力一定的条件下，改变频率，测量弦线上横波的传播速度.
将40.0 g砝码挂在弦线的一端，频率以60为起点，逐次增加5直至175为止，调节相应的弦长，仍使弦长出现、两个驻波段。记录相应的、、值，如表2所示，做测量曲线图，如图2所示。由(3)式计算出弦上横波传播的速度.

表2 张力一定时实验数据测量表

60
33.40
76.20
42.80
4.45
94.30
89.85
87.73
65
31.72
71.90
40.18
5.50
88.01
82.51
81.44
70
32.92
69.29
36.37
5.00
80.90
75.90
74.32
75
30.00
64.50
34.50
5.00
76.29
71.29
70.15
80
44.00
76.60
32.60
6.00
72.68
66.68
65.94
85
40.00
73.50
33.50
6.00
68.56
62.56
64.78
90

40.00
68.78
28.78
10.00
68.20
58.20
57.88
95
45.00
72.10
27.10
10.00
66.50
56.50
55.35
100
37.00
62.90
25.90
20.00
71.90
51.90
51.85
105
40.00
64.48
24.48
25.00
74.00
49.00
48.98
110
41.00
64.70
23.70
25.00
71.70
46.70
47.05
115
40.00
62.50
22.50
30.00
7470
44.70
44.85
120
40.00
61.50
21.50
22.20
65.27
43.07
43.04
125
39.80
60.50
20.70
22.11
64.12
42.01
41.71
130
38.60
58.41
19.81
23.38
63.61
40.23
39.93
135
39.31
58.62
19.31
25.09
63.86
38.77
38.70
140
40.28
58.91
18.63
27.25
64.53
37.28
37.27
145
39.00

56.49
17.49
27.19
63.17
35.98
35.48
150
39.38
57.02
17.64
27.34
61.40
34.06
34.67
155
39.50
56.01
16.51
29.28
62.38
33.10
33.06
160
40.26
56.10
15.84
31.89
63.90
32.01
31.85
165
46.00
61.84
15.84
33.35
65.14
31.79
31.74
170
44.51
59.78
15.27
34.38
65.03
30.65
30.60
175
44.10
58.88
14.78
32.85
62.59
29.74
29.65

图 2 测量曲线
程序：Datax=[60，65，70，75，80，85，90，95，100，105，110，115，120，125，130，135，140，145，150，155，160，165，170，175];
Datay=[87.73，81.44，74.32，70.15，65.94，64.78，57.88，55.35，51.85，48.98，47.05，44.85，43.04，41.71，39.93，38.7，37.27，35.48，34.67，33.06，31.85，31.74，30.6，29.65];
plot (Datax(1:24),Datay(1:24),'k*-'), axis([40,180,20,90]),
xlabel('频率/Hz'), ylabel('平均波长/cm')
4 弦振动形成驻波的规律
由(4)式 分析可知：
因铜丝线密度是一定值，也可以设计实验测量其大小。
当频率固定不变时，，张力越大波长越大，这也可由表1的计算数据和图1看出。此时，对表1中的数据横向比较，即在某一特定张力下，理论上也就一定了，两段驻波对应弦长之比：=2：1，推而广之，若实验条件允许，能测出段驻波，则各段驻波对应弦长之比为：：：…2：1。
当张力固定不变时，，频率越大波长越小，即某一段驻波下，频率越大，测得对应弦长越小。由表2和图2可以很直观的看到这个规律。对表2中的数据横向比较，即在某一固定频率下，理论上两段驻波对应弦长之比应为：=2：1，当然在实验过程中，由于各方面的误差，弦长之比近似为2：1，这也可以侧面检验我们实验数据的可靠性。
在学生掌握以上规律后，实验进行过程中若出现明显不符合此规律的数据时，即可很快判断引起该粗大误差的原因，分析导致此现象的深层次原因。该方法能有效避免因操作不当而记录的错误数据，通过提炼总结理论中的规律，也培养了学生理论联系实际，站在理论高度分析问题的能力。实践证明此法行之有效。

5 检验判断实验数据的方法
判断实验数据的有效性可通过以下几种方式进行：
(1) 列表法。使用数据表检验数据，表中未列出的可根据内插法推出。
(2) 作图法。通过简单运算，检验在一定的张力或频率下，所得的波长与图中对应的数据的差距，判断所测数据是否合理。
(3) 根据总结出的弦振动形成驻波的规律。
实际在做实验的时候，前两种方法实施起来比较麻烦，要实时初步判断数据的合理性与准确性，建议采用第三种方法，在误差范围内，该方法简单易行，可操作性强，能快速剔除粗差。

6 完善仪器方面的建议

1. 托盘的重量对张力的影响。建议把托盘制成标准的质量，如8g或10g等，方便张力的准确测量和计算。
2. 增大振幅。可以通过适当增大电流、提高磁场强度、减小金属丝电阻等方式，增大驻波振动的振幅，从而使驻波的现象更明显，使实验者更容易的观察判断出最大振幅的位置。
3. 稳定驻波波形。设法使电流更加稳定，使磁场更加均匀，并减弱托盘的摆动幅度，以达到短时间内使驻波波形稳定的目的。

7 结束语
本文通过对大量实验数据进行分析，总结出弦振动时驻波波长与张力，波长与振动频率的规律，提出了检验判断实验数据的方法，可以使实验者在做实验的过程中随时判断数据的正确与否，同时利用MATLAB软件处理数据和作图，使实验规律更加形象化，物理思想更加明确化。

参考文献：

[1] 吴俊林，袁胜利，刘志存，鲁百佐．基础物理实验 [M]．陕西：陕西师范大学出版社，2005，78~80．
[2] 钞曦旭，杨万民，唐纯青．MATLAB及其在大学物理课程中的应用[M]．西安：陕西师范大学出版社，2006．
[3] 余凤梅，潘玲珠，冯显灿．判定“弦振动研究”实验数据的两种方法[J]．仲恺农业技术学院学报，2005，18(3)：44~4．

The Law of Standing Wave During String Vibration and
Data Processing with MATLAB
Miao Kun1, Huang Yuhong2, Li Kang1, Song Cui1
( 1. Department of the Basic Teaching of Science and Engineering ,
Shaanxi Normal University, Xi’an Shaanxi, 700062;
2. College of Physics and Information Technology,
Shaanxi Normal University, Xi'an Shaanxi, 710062)

Abstract: In this paper, MATLAB software system is used to process a large number of experimental data. The physical analysis becomes simple and visual by means of this software, thus it can make experimenters pay more attention on the inner physical thought. Furthermore, the law of the wavelength and tension and the law of the wavelength and frequency are analyzed and summarized. The method to judge the validity of experimental data is putforward, which can help experimenters to judge the data in the process of conducting experiments at any time.
Key words: String vibration, Standing wave, MATLAB