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专题提升7-相似图形中的分类讨论

专题提升7　相似图形中的分类讨论
1．已知△ABC与△DEF相似，△ABC的三边长分别为2 cm，3 cm，4 cm，△DEF的一边长是8 cm，则△DEF其余两边的长不可能是(B)
A．6 cm和4 cm　　 B．12 cm和10 cm
C．16 cm和12 cm　 D. cm和 cm
【解】　提示：分△DEF的最大边为8 cm，最小边为8 cm和最大边或最小边均不为8 cm这三种情况讨论．
2．在△ABC中，E是AB上一点，AE＝2，BE＝3，AC＝4.在AC上取一点D，使△ADE与△ABC相似，则AD的值是(C)
A　 B.　 C.或　 D.或
【解】　如解图．

(第2题解)
①若△ADE∽△ABC，则＝.
∵AE＝2，BE＝3，∴AB＝5.
∴＝，∴AD＝；
②若△AED∽△ABC，则＝，
∴＝，∴AD＝.
综上所述，AD的值是或.
3．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝2，BC＝5，DC＝8.若DC边上有一点P，使△PAD与△PBC相似，则符合条件的点P有(C)
A．1个　 B．2个
C．3个　 D．4个
【解】　设PD＝x，则PC＝8－x.
在△PAD与△PBC中，∠D＝∠C＝90°.
①若△PAD∽△PBC，则＝，即＝，
解得x＝，符合题意．
②若△PAD∽△BPC，则＝，即＝，
解得x＝4±，均符合题意．
综上所述，符合条件的点P有3个．

(第3题) (第4题)
4．将三角形纸片(△ABC)按如图的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF.已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长是或2．
【解】　易得△B′EF≌△BEF，∴可设B′F＝BF＝x，则CF＝4－x.
∵∠C＝∠C，∴分情况讨论：
①若△B′FC∽△ABC，则＝，即＝，∴x＝.
②若△FB′C∽△ABC，则＝，即＝，∴x＝2
综上所述，BF的长是或2.
5．(本溪中考)在△ABC中，AB＝6 cm，AC＝5 cm，点D，E分别在AB，AC上．若△ADE与△ABC相似，且S△ADE∶S四边形BCED＝1∶8，则AD＝或2cm.
【解】　∵S△ADE∶S四边形BCED＝1∶8，
∴S△ADE∶S△ABC＝1∶9，
∴△ADE与△ABC相似比为1∶3.
分情况讨论：
①若△AED∽△ABC，则＝.
∵AC＝5 cm，∴AD＝ cm；
②若△ADE∽△ABC，则＝.
∵AB＝6 cm，∴AD＝2 cm.
综上所述，AD＝ cm或2 cm.
6．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4 cmBC＝3 cm，点P由点B出发沿BA方向向终点A匀速运动，速度为1 cm/s；同时点Q由点A出发沿AC方向向终点C匀速运动，速度为2 cm/s.连结PQ，设点P，Q运动的时间为t(s)(0＜t＜2)，当以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似时，t的值为或．

　(第6题)
【解】　在Rt△ACB中，
∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝5.
由题意，得BP＝t，AQ＝2t，∴AP＝5－t.
∵∠A＝∠A，∴分两种情况：
①若△APQ∽△ABC, 则＝，即＝，解得t＝.
②若△AQP∽△ABC，则＝，即＝，解得t＝.
综上所述，t的值为或.
7．在△ABC中，P是AB上的动点点P异于A，B两点)，过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P(lx)(x为正整数)．
(1)如图①，∠A＝90°，∠B＝∠C，当BP＝2PA时，P(l1)，P(l2)都是过点P的△ABC的相似线[其中P(l1)⊥BC，P(l2)∥AC]，此外还有1条过点P的△ABC的相似线．

(第7题)
(2)如图②，∠C＝90°，∠B＝30°，当＝或或时，P(lx)截得的三角形面积为△ABC面积的.
【解】　(1)过点P作l3∥BC，则l3也是过点P的△ABC的相似线．
(2)分三种情况讨论：
①如解图①，P为斜边AB的中点，＝；
②如解图②，CP为AB的垂线，＝；
③如解图③，BP＝BC，＝.
综上所述，当BP＝或或时，P(lx)截得的三角形面积为△ABC面积的.

(第7题解)
8．已知矩形ABCD与长为30，宽为20的矩形相似，且AB＝15，求矩形ABCD的周长和面积．
【解】　若AB为长，则有＝，解得CB＝10.
此时矩形ABCD的周长＝2×(15＋10)＝50，矩形ABCD的面积＝15×10＝150；
若AB为宽，则有＝，解得CB＝22.5.
此时矩形ABCD的周长＝2×(15＋22.5)＝75，矩形ABCD的面积＝22.5×15＝337.5.
9．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋1交x轴于点A，交y轴于点B.试在y轴上找一点P，使△AOP与△AOB相似，你能找出几个这样的点(点P与点B不重合)？分别求出对应AP的长．

　(第9题)
【解】　易可求得点A(－2，0)，B(0，1)，∴＝.
∵点P在y轴上，且点P与点B不重合，
∴∠AOB＝∠AOP＝90°.
若△AOP与△AOB相似，则＝或＝，
∴OP＝4或OP＝1.
∴当OP＝4时，点P(0，4)或P(0，－4)，此时AP＝＝2；
当OP＝1时，点P(0，－1)，此时AP＝＝.
综上所述，共有3个点满足条件，分别为点P1(0，4)，P2(0，－4)，P3(0，－1)，AP1＝AP2＝2，AP3＝.
10．如图，已知CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，AB＝12 m，AC＝4 m．一只蚂蚁由点B向终点A爬行，每分钟前进1 m，另一只蚂蚁由点B向点D爬行，每分钟前进2 m．他们同时出发，点P，Q为它们在某一时刻的位置，则爬行几分钟后，以A，C，P为顶点的三角形与以B，P，Q为顶点的三角形相似？并说明理由．

　(第10题)
【解】　设爬行x(min)后，以A，C，P为顶点的三角形与以B，P，Q为顶点的三角形相似．
由题意，得PB＝x(m)，BQ＝2x(m)，∴AP＝(12－x)m.
∵∠A＝∠B＝90°，
∴分两种情况讨论：
①当△ACP∽△BPQ时，
＝，即＝解得x＝4.
②当△ACP∽△BQP时，
＝，即＝，解得x＝10.
由题意，得0≤x≤12，故两个x值均符合题意．
∴爬行4 min或10 min后，以A，C，P为顶点的三角形与以B，P，Q为顶点的三角形相似．
11．若一个矩形的一边是另一边的两倍，则称这个矩形为方形，如图①，在矩形ABCD中，BC＝2AB，则称矩形ABCD为方形．

(第11题)
(1)设a，b是方形的一组邻边长，写出a，b的值(一组即可)．
(2)如图②，在△ABC中，将AB，AC分别五等分，连结两边对应的等分点，以这些连线为一边作矩形，使这些矩形的边B1C1，B2C2，B3C3，B4C4的对边分别在B2C2，B3C3，B4C4，BC上．
①若BC＝25，BC边上的高线长为20，则以B4C4为一边的矩形是不是方形？为什么？
②若以B3C3为一边的矩形为方形，求BC与BC边上的高线长之比．
【解】　(1)答案不唯一，如a＝2，b＝4.
(2)①以B4C4为一边的矩形不是方形．理由如下：
过点A作AM⊥BC于点M，交B1C1于点E，交B2C2于点F，交B3C3于点G，交B4C4于点N，则AM⊥B4C4.
∵BC∥B4C4，∴△AB4C4∽△ABC，
∴＝＝＝.
∵BC＝25，AM＝20，
∴B4C4＝20，AN＝16，
∴MN＝4，即以B4C4为一边的矩形的另一边长为4.
∵4×2＝8≠20，4÷2＝2≠20，
∴以B4C4为一边的矩形不是方形．
②设AM＝h，则GN＝h.
同①可得，△AB3C3∽△ABC，
∴＝＝＝.
∵以B3C3为一边的矩形为方形，
∴当B3C3＝2GN＝h时，BC＝h，∴＝；
当B3C3＝GN＝h时，BC＝h，∴＝.
综上所述，BC与BC边上的高线长之比是或.