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一题多解突破无棱二面角的求法

一题多解突破无棱二面角的求法
河北石家庄市平山实验中学 齐艳霞

2008年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷第19题
已知△ABC所在平面与直角梯形ACEF所在平面垂直，AF⊥AC,EB⊥AB,AF∥CE,AB=BC=CE=2AF=2,O为AC中点。如下图1
﹙1﹚ 求证：面OBE⊥面ACEF
﹙2﹚ 求面EFB与面ABC所成二面角的大小
图2
B
C
E
F
O
A
图1

B
M
O
C
A
F
E
H
图2

试卷给出的答案
解：（1）在△ABC中，AB=BC, O为AC中点，∴OB⊥AC。∵平面ABC⊥平面ACEF，且平面ABC∩平面ACEF=AC，OB平面ABC，∴OB⊥平面ACEF，
又OB平面OBE，∴面OBE⊥面ACEF

(2)延长EF交CA的延长线于点M，连接BM，则面EFB∩面ABC=BM，作AH⊥BM于H，连接HF，∵平面ABC⊥平面ACEF，且平面ABC∩平面ACEF=AC，AF⊥AC, ∴AF⊥平面ABC，由三垂线定理得FH⊥BM，因此∠FH A为面EFB与面ABC所成二面角的平面角。如图2。
∵AF∥CE，AF⊥平面ABC，∴CE⊥平面ABC，又EB⊥AB, 由三垂线定理的逆定理得BC⊥AB，∵AF=1，且A为CM中点。在△MBO中，MO=3，OB=，所以MB==2，Rt△MAH∽Rt△MBO,所以=，即AH===。在△FAH中，tan∠FH A===，所以面EFB与面ABC所成二面角的大小为arctan。
此答案是最常用的找另一个公共点做棱，然后利用三垂线定理作出二面角的平面角。因为题设条件中面EFB与面ABC有一个公共点B，根据公理2，它们还有其他的公共点，且公共点的集合是一条直线。又因为除共点B外，面EFB内的点E、点F与面ABC内的点A、点B同在平面ACEF内，且直线AC与直线EF不平行，由公理3的推论可知，它们一定相交，因此找到面EFB与面ABC的另一个公共点M，得到棱BM，所以才有了以上的解题的思路与过程。

此题（2）还可以用其它方法来解决。

求无棱二面角的关键是作出棱，根据面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行。把其中的一个半平面平移，与另一个半平面相交，交线即棱。
Ⅰ 平移半平面EFB，如图3

B
A
C
E
O

P
R
Q
G
图3
F

解析：
在平面ABC内过点B作直线B P，使B P∥AC ，且B P= AC ，连接C P 。取CE中点Q，连接FQ，P Q，则FQ∥B P，且FQ= B P。故四边形F B PQ为平行四边形，∴ F B∥Q P。取BC中点R，连接QR，则QR∥BE，故面QR P∥面EFB，所以面QR P与面ABC所成二面角即面EFB与面ABC所成二面角，显然面QR P∩面ABC=R P，过点C作直线C G⊥R P，垂足为G，连接Q G。
∵平面ABC⊥平面ACEF，且平面ABC∩平面ACEF=AC，AF⊥AC, ∴AF⊥平面ABC，又∵AF∥CE，∴CE⊥平面ABC，由三垂线定理的定理得Q G⊥R P，因此
∠Q GC为面QR P与面ABC所成二面角的平面角即面EFB与面ABC所成二面角的大小。
∵CE⊥平面ABC，EB⊥AB，由三垂线定理的逆定理得BC⊥AB，由以上证明可得：在△RC P中，∠RC P=∠ABC=，CR=BC=1，C P= AB=2，∴R P=
==，C G=，在Rt△Q C G中，tan∠Q GC===，∴∠Q GC=arctan。所以面EFB与面ABC所成二面角的大小为arctan。

Ⅱ 平移半平面ABC，如图4

C
图4
O
Q
N
E
A
F
B
W

解析：
取CE中点Q，连接FQ，取BE中点N，连接FN，NQ，则FQ∥AC，NQ∥BC，∴面FNQ∥面ABC，故∴面FNQ与面ABC所成二面角即面EFB与面ABC所成二面角，显然面FNQ∩面ABC= FN，过点Q作Q W⊥FN，垂足为W，连接E W。
∵平面ABC⊥平面ACEF，且平面ABC∩平面ACEF=AC，AF⊥AC, ∴AF⊥平面ABC，又∵AF∥CE，∴CE⊥平面ABC，由三垂线定理的定理得E W⊥FN，因此
∠E WQ为面FNQ与面ABC所成二面角的平面角即面EFB与面ABC所成二面角的大小。
∵CE⊥平面ABC，EB⊥AB，由三垂线定理的逆定理得BC⊥AB，由以上证明可得：在△FNQ中，FQ= AC=2，NQ=BC=1，∠FQN=∠ACB=，由余弦定理得：FN===，由面积相等得：×FQQNsin=×FNQ W，即：×2×1×=×Q W，∴Q W=。
在Rt△E WQ中，tan∠E WQ===，∴∠E WQ= arctan。所以面EFB与面ABC所成二面角的大小为arctan。
此题还可以用空间向量来完成，利用法向量求二面角，理由如下：
设,分别是二面角α—l—β的两个半平面α、β的法向量，则二面角α—l—β的平面角大小θ＝〈或θ＝π－。当,同时指向二面角内侧或外侧时，θ＝π－，如图５。当,分别指向二面角的内侧与外侧时，θ＝，如图６。
β
α
l

〈，〉
θ
A
B
如图５
β
α
l

〈，〉
θ
A
B
如图５
β
α
l
B
A
θ

如图６

解析：由（1）知，OB⊥平面ACEF，故以O为原点，建立空间坐标系O—xyz如图７

C
图7
E
F
O
B
A
x
y
z

则易知点坐标 O（０，0，０）；A（０，—，０）；B（，０，０）；C（０，，０）；E（０，，２）；F（０，—，１），向量＝（０，２，１），向量＝（—，，２）　
面ABC的一个法向量是=（0，0，1），设平面EFB的一的法向量＝（x，y，z）
则＝０

　　＝０
即（x，y，z）（０，２，１）=０　　　　　　２ y＋z＝０　　　　　　　　　
（x，y，z）（—，，２）＝０　　　　　— x＋ y＋２z＝０
不妨令y＝－１则z＝２，x＝3　

　因此　＝（３，－１，２）　　所以　　cos＝＝＝
因为指向面EFB与面ABC所成二面角的外侧，指向二面角的内侧，所以面EFB与面ABC所成二面角的大小为arccos

如果此题是以填空题的形式出现，我们还可以利用射影面积公式：
解析：易知△EFB在面ABC内的射影是△CAB，设所成二面角的大小为β，则cosβ=,这也是一种方法，同学们不防一试。
对于无棱二面角的求法，我们根据题设条件的不同，多角度的分析，会发现多种不同的解法，从而起到触类旁通的作用，达到“山重水尽疑无路，柳暗花明又一村”的效果。总结无棱二面角的求法，最常用的有：（1）找另一个公共点做棱 （2）平移半平面作棱 (3) 利用法向量求二面角（4）利用射影面积公式 ⑸虚设棱。同学们可以思考此题能用⑸虚设棱完成吗？
练习：已知正方体ABCD— ，M是A的中点，则截面MC与底面ABCD所成二面角的大小为
提示：至少可用五种方法完成，答案：arccos=arctan。