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专题3-圆与相似综合压轴题

专题三 圆压轴题
一、核心讲练
1. 如图，在⊙O的内接四边形ACDB中，AB为直径，AC：BC=1：2，点D为弧AB的中点，BE⊥CD垂足为E．
(1)求∠BCE的度数；
(2)求证：D为CE的中点；
(3)连接OE交BC于点F，若AB=，求OE的长度．

2.如图，半圆O中，将一块含60°的直角三角板的60°角顶点与圆心O重合，角的两条边分别与半圆圆弧交于C，D两点(点C在∠AOD内部)，AD与BC交于点E，AD与OC交于点F．
(1)求∠CED的度数；
(2)若C是弧的中点，求AF：ED的值；
(3)若AF=2，DE=4，求EF的长．

3.如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD=BC．延长AD到E，使得∠EBD=∠CAB．
(1)如图1，若BD=2，AC=6．①求证：BE是⊙O的切线；②求DE的长；
(2)如图2，连结CD，交AB于点F，若BD=2，CF=3，求⊙O的半径．

4.如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，AC=8，以C为圆心，4为半径作⊙C．
(1)试判断⊙C与AB的位置关系，并说明理由；
(2)点F是⊙C上一动点，点D在AC上且CD=2，试说明△FCD～△ACF；
(3)点E是AB边上任意一点，在(2)的情况下，试求出EF+FA的最小值．

二、满分突破
5.如图，已知△ABC内接于⊙O，点E在弧BC上，AE交BC于点D，EB2=ED•EA经过B、C两点的圆弧交AE于I．
(1)求证：△ABE∽△BDE；
(2)如果BI平分∠ABC，求证;
(3)设O的半径为5，BC=8，∠BDE=45°，求AD的长．

专题三 课堂小测
1.在实数-3，2，0，﹣4中，最大的数是(　　)
A.-3 B.2 C.0 D.-4
2.下列图形中是轴对称图形的是(　　)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.计算x6÷x2正确的是(　　)
A.3 B.x3 C.x4 D.x8
4.下列调查中，最适合采用全面调查(普查)方式的是(　　)
A.对重庆市初中学生每天阅读时间的调查 B.对端午节期间市场上粽子质量情况的调查
C.对某批次手机的防水功能的调查 D.对某校九年级3班学生肺活量情况的调查
5.若x=-，y=4，则代数式3x+y-3的值为(　　)
A.-6 B.0 C.2 D.6
6.要使分式有意义，x应满足的条件是(　　)
A.x＞3 B.x=3 C.x＜3 D.x≠3
7.若△ABC～△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为(　　)
A.3：2 B.3：5 C.9：4 D.4：9
8.如图，矩形ABCD的边AB=1，BE平分∠ABC，交AD于点E，若点E是AD的中点，以点B为圆心，BE长为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是(　　)
A.2- B.- C.2- D.-
9.下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为(　　)
A.73 B.81 C.91 D.109
10.“渝新欧”国际铁路联运大通道全长11000千米，成为服务“一带一路”的大动脉之一，将数11000用科学记数法表示为　 　．
11.如图，BC是⊙O的直径，点A在圆上，连接AO，AC，∠AOB=64°，则∠ACB=　 　．

12.某班体育委员对本班学生一周锻炼时间(单位：小时)进行了统计，绘制了如图所示的折线统计图，则该班这些学生一周锻炼时间的中位数是　 　小时．

13.如图，AB∥CD，点E是CD上一点，∠AEC=42°，EF平分∠AED交AB于点F，则∠AFE= 度．
14.A、B两地之间的路程为2380米，甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行，已知甲先出发5分钟后，乙才出发，他们两人在A、B之间的C地相遇，相遇后，甲立即返回A地，乙继续向A地前行．甲到达A地时停止行走，乙到达A地时也停止行走．在整个行走过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走，甲、乙两人相距的路程y(米)与甲出发的时间x(分钟)之间的关系如图所示，则乙到达A地时，甲与A地相距的路程是　 　米．
15.若数a使关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜-2，则符合条件的所有整数a的和为 .

参考答案
15 / 15

一、核心讲练
1. (1) 45°；(2)∵BE⊥CD，又∵∠ECB=45°，∴∠CBE=45°，∴CE=BE，∵四边形ACDB是圆O的内接四边形，∴∠A+∠BDC=180°，又∵∠BDE+∠BDC=180°，∴∠A=∠BD，又∵∠ACB=∠BED=90°，∴△ABC∽△DBE，∴DE：AC=BE：BC，∴DE：BE=AC：BC=1：2，又∵CE=BE，∴DE：CE=1：2，∴D为CE的中点；
(3)连接EO，∵CO=BO，CE=BE，∴OE垂直平分BC，∴F为BC中点，又∵O为AB中点，∴OF为△ABC的中位线，∴OF=AC，∵∠BEC=90°，EF为中线，∴EF=BC，在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2，∵AC：BC=1：2，AB=，∴AC=，BC=2，∴OE=OF+EF=．
2. (1) 120°，(2) AF：ED=3：2．
(3)连接CD，过点F作AC的垂线，垂足为H．设CE=x，则AC=x，AE=2x，EF=2x-2，
在Rt△AFH中，∠HAF=30°，AF=2，∴FH=1，AH=，CH=，∵∠FCE=∠OBC=∠CDF，∠CFE=∠DFC，∴△CFE∽△DFC，∴，∴FC2=EF•DF=(2x-2)(2x+2)=4x2-4，在Rt△FCH中，∵CH2+FH2=CF2，∴()2+12=4x2-4，解得x=-3或--3(舍)，∴EF=2x-2=2-8．
3. (1)①如图1，连接OB，∵BD=BC，∴∠CAB=∠BAD，∵∠EBD=∠CAB，∴∠BAD=∠EBD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°，OA=BO，∴∠BAD=∠ABO，∴∠EBD=∠ABO，∴∠OBE=∠EBD+∠OBD=∠ABD+∠OBD=∠ABD=90°，∵点B在⊙O上，∴BE是⊙O的切线；②∵四边形ACBD是圆的内接四边形，∴∠ACB=∠BDE，且∠EBD=∠CAB，∴△ACB∽△BDE，∴，即，解得DE=；
(2)如图2，延长DB、AC交于点H，∵AD为⊙O的直径，∴∠ABD=∠ABH=90°，∵BD=BC，∴∠DAB=∠HAB，∴△ABD≌△ABH(ASA)，∴BD=HB=2，∵∠DCH=∠FBD=90°，∴△DCH∽△DBF，∴，即，解得DF=5，设⊙O的半径为r，则AD=AH=2r，在Rt△DCH中，CH=4，∴AC=2r-4，在Rt△ACD中， AD2=AC2+CD2，∴(2r)2=(2r-4)2+82，解得r=5，即⊙O的半径为5．
4. (1)相切．理由：作CM⊥AB于M．在Rt△ACM中，∵∠AMC=90°，∠CAM=30°，AC=8，∴CM=AC=4，∵⊙O的半径为4，∴CM=r，∴AB是⊙C的切线．
(2)∵CF=4，CD=2，CA=8，∴CF2=CD•CA，∴，∵∠FCD=∠ACF，∴△FCD∽△ACF．
(3)作AE′⊥AB于E′，交⊙C于F′．∵△FCD∽△ACF，∴，∴DF=AC，∴EF+AF=EF+DF，∴欲求EF+AF的最小值，就是要求EF+DF的最小值，当E与E′，F与F′重合时，EF+DF的值最小，最小值=DE′=AD=3．
二、满分突破
5.(1)略； (2)∵△ABE∽△BDE，∴，∠BAE=∠DBE，∵BI平分∠ABC，∴∠ABI=∠DBI，
∵∠EBI=∠EBD+∠DBI，∠BIE=∠BAD+∠ABI，∴∠EBI=∠EIB，∴BE=EI，∴；
(3)连接EC、OB、OC、OE，设OE交BC于F，如图，∵∠BAE=∠EBC，∠EBC=∠EAC，∴∠BAE=∠EAC，∵∠BOE=2∠BAE∠COE=2∠CAE，∴∠BOE=∠COE，∴，∴EB=EC，∴EB=EC=EI，
∴点E是过点I的的圆心，EB是过点I的的半径，∵OB=OC，∠BOE=∠COE，∴BF=CF=BC=4，
在Rt△OFC中，∵OC=5，FC=4，∴OF=3，∴EF=OE﹣OF=5﹣3=2，∴BE=2，∵∠BDE=45°，∠DFE=90°，∴∠DEF=90°﹣45°=45°=∠FDE，∴DF=EF=2，∴BD=BF+DF=4+2=6，DE=2，
∵AE•DE=BE2，∴(AD+2)×2=(2)2，∴AD=3．
课堂小测
1.B；2.C；3.C；4.D；5.B；6.D；7.A；8.B；9.C；10.1.1×104；11.32°；12.11；13.69°；14.180；15.10；