高中数学必修2直线与平面的位置关系知识点总结与练习.pdf

第三节空间点、直线、平面间的位置关系知识能否忆起一、平面的基本性质名称图示文字表示符号表示公理 1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内Al，Bl，且A，Bl公理 2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理 3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P，且Pl，且Pl二、空间直线的位置关系1位置关系的分类Error!Error!2平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行3等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4异面直线所成的角(或夹角)(1)定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直线 aa，bb，把a与 b所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(2)范围：.(0，2三、直线与平面的位置关系位置关系图示符号表示公共点个数直线 l 在平面 内l无数个直线 l 与平面 相交lA一个直线 l 与平面 平行l0 个四、平面与平面的位置关系位置关系图示符号表示公共点个数两个平面平行0 个两个平面相交l无数个(这些公共点均在交线 l 上)1.三个公理的作用(1)公理 1 的作用：检验平面；判断直线在平面内；由直线在平面内判断直线上的点在平面内(2)公理 2 的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件(3)公理 3 的作用：判定两平面相交；作两相交平面的交线；证明多点共线2异面直线的有关问题(1)判定方法：反证法；利用结论即过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线，如图(2)所成的角的求法：平移法平面的基本性质及应用典题导入例 1(2012湘潭模拟)如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E为 AB 的中点，F 为 A1A 的中点，求证：CE，D1F，DA 三线共点自主解答EF 綊 CD1，12直线 D1F 和 CE 必相交设 D1FCEP，PD1F 且 D1F平面 AA1D1D，P平面 AA1D1D.又 PEC 且 CE平面 ABCD，P平面 ABCD，即 P 是平面 ABCD 与平面 AA1D1D 的公共点而平面 ABCD平面 AA1D1DAD.PAD.CE、D1F、DA 三线共点本例条件不变试证明 E，C，D1，F 四点共面证明：E，F 分别是 AB 和 AA1的中点，EF 綊 A1B.又 A1D1綊 B1C1綊 BC.12四边形 A1D1CB 为平行四边形A1BCD1，从而 EFCD1.EF 与 CD1确定一个平面E，C1，F，D 四点共面由题悟法1证明线共点问题常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上2证明点或线共面问题一般有以下两种途径：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余线(或点)均在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合以题试法1(1)(2012江西模拟)在空间中，下列命题正确的是()A对边相等的四边形一定是平面图形B四边相等的四边形一定是平面图形C有一组对边平行的四边形一定是平面图形D有一组对角相等的四边形一定是平面图形(2)对于四面体 ABCD，下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)相对棱 AB 与 CD 所在直线异面；由顶点 A 作四面体的高，其垂足是BCD 三条高线的交点；若分别作ABC 和ABD 的边 AB 上的高，则这两条高所在的直线异面；分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点解析：(1)由“两平行直线确定一个平面”知 C 正确(2)由四面体的概念可知，AB 与 CD 所在的直线为异面直线，故正确；由顶点 A 作四面体的高，只有当四面体 ABCD 的对棱互相垂直时，其垂足是BCD 的三条高线的交点，故错误；当 DADB，CACB 时，这两条高线共面，故错误；设 AB，BC，CD，DA 的中点依次为 E，F，M，N，易证四边形EFMN 为平行四边形，所以 EM 与 FN 相交于一点，易证另一组对棱中点的连线也过它们的交点，故正确答案：(1)C(2)异面直线的判定典题导入例 2(2012金华模拟)在图中，G，N，M，H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH，MN 是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)自主解答图中，直线 GHMN；图中，G，H，N 三点共面，但 M面 GHN，因此直线 GH 与 MN 异面；图中，连接 MG，GMHN，因此 GH 与 MN 共面；图中，G，M，N 共面，但 H面 GMN，因此 GH 与 MN 异面所以图中 GH 与 MN 异面答案由题悟法1异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面此法在异面直线的判定中经常用到2客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线以题试法2已知 m，n，l 为不同的直线，为不同的平面，有下面四个命题：m，n 为异面直线，过空间任一点 P，一定能作一条直线 l 与 m，n 都相交m，n 为异面直线，过空间任一点 P，一定存在一个与直线 m，n 都平行的平面，l，m，n，m，n 与 l 都斜交，则 m 与 n 一定不垂直；m，n 是 内两相交直线，则 与 相交的充要条件是 m，n 至少有一条与 相交则四个结论中正确的个数为()A1B2C3 D4解析：选 B错误，因为过直线 m 存在一个与直线 n 平行的平面，当点 P 在这个平面内且不在直线 m 上时，就不满足结论；错误，因为过直线 m 存在一个与直线 n 平行的平面，当点 P 在这个平面内时，就不满足结论；正确，否则，若 mn，在直线 m 上取一点作直线 al，由，得 an.从而有 n，则 nl；正确异面直线所成角典题导入例 3(2012大纲全国卷)已知正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为 BB1，CC1的中点，那么异面直线 AE 与 D1F 所成角的余弦值为_自主解答连接 DF，则 AEDF，D1FD 即为异面直线 AE 与 D1F 所成的角设正方体棱长为 a，则 D1Da，DFa，D1Fa，5252cosD1FD.(52a)2(52a)2a2252a52a35答案35由题悟法求异面直线所成的角一般用平移法，步骤如下：(1)一作：即找或作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角以题试法3(2012唐山模拟)四棱锥 PABCD 的所有侧棱长都为，底面 ABCD 是边长为 2 的5正方形，则 CD 与 PA 所成角的余弦值为()A.B.2 5555C.D.4535解析：选 B如图所示，因为四边形 ABCD 为正方形，故CDAB，则 CD 与 PA 所成的角即为 AB 与 PA 所成的角PAB，在PAB 内，PBPA，AB2，利用余弦定理可知：5cos PAB.PA2AB2PB22 PA AB5452 2 555小题能否全取1(教材习题改编)已知 a，b 是异面直线，直线 c 平行于直线 a，那么 c 与 b()A异面B相交C不可能平行 D不可能相交解析：选 C由已知直线 c 与 b 可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若 bc，则 ab.与 a，b 是异面直线相矛盾2(2012东北三校联考)下列命题正确的个数为()经过三点确定一个平面；梯形可以确定一个平面；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合A0 B1C2 D3解析：选 C错误，正确3已知空间中有三条线段 AB，BC 和 CD，且ABCBCD，那么直线 AB 与 CD的位置关系是()AABCDBAB 与 CD 异面CAB 与 CD 相交DABCD 或 AB 与 CD 异面或 AB 与 CD 相交解析：选 D若三条线段共面，如果 AB，BC，CD 构成等腰三角形，则直线 AB 与 CD相交，否则直线 AB 与 CD 平行；若不共面，则直线 AB 与 CD 是异面直线4(教材习题改编)如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，则异面直线 B1C 与 EF 所成的角的大小为_解析：连接 B1D1，D1C，则 B1D1EF，故D1B1C 为所求，又 B1D1B1CD1C，D1B1C60.答案：605(教材习题改编)平行六面体 ABCDA1B1C1D1中既与 AB 共面又与 CC1共面的棱的条数为_解析：如图，与 AB 和 CC1都相交的棱有 BC；与 AB 相交且与CC1平行的棱有 AA1，BB1；与 AB 平行且与 CC1相交的棱有CD，C1D1，故符合条件的棱共有 5 条答案：5第四节直线、平面平行的判定及性质知识能否忆起一、直线与平面平行1判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与此平面平行Error!Error!a2性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行Error!Error!ab二、平面与平面平行1判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行Error!Error!2两平面平行的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行Error!Error!ab1.平行问题的转化关系：判定性质线 线判定 性质线 面判定 性质面 面2在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在性质定理的应用中，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”3辅助线(面)是求证平行问题的关键，注意平面几何中位线，平行四边形及相似中有关平行性质的应用线面平行、面面平行的基本问题典题导入例 1(2011福建高考)如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中，AB2，点 E 为 AD 的中点，点 F 在 CD 上若 EF平面 AB1C，则线段EF 的长度等于_自主解答因为直线 EF平面 AB1C，EF平面 ABCD，且平面AB1C平面 ABCDAC，所以 EFAC.又因为点 E 是 DA 的中点，所以 F 是 DC 的中点，由中位线定理可得 EF AC.又因为在正方体 ABCDA1B1C1D1中，AB2，所以 AC2.所122以 EF.2答案2本例条件变为“E 是 AD 中点，F，G，H，N 分别是 AA1，A1D1，DD1与 D1C1的中点，若 M 在四边形 EFGH 及其内部运动”，则 M 满足什么条件时，有 MN平面 A1C1CA.解：如图，GN平面 AA1C1C，EG平面 AA1C1C，又 GN EGG，平面 EGN平面 AA1C1C.当 M 在线段 EG 上运动时，恒有 MN平面 AA1C1C.由题悟法解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意：(1)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽视(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断(3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确以题试法1(1)(2012浙江高三调研)已知直线 l平面，P，那么过点 P 且平行于直线 l 的直线()A只有一条，不在平面 内B有无数条，不一定在平面 内C只有一条，且在平面 内D有无数条，一定在平面 内解析：选 C由直线 l 与点 P 可确定一个平面，且平面，有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为 m，因为 l，所以 lm，故过点 P 且平行于直线 l 的直线只有一条，且在平面 内(2)(2012潍坊模拟)已知 m，n，l1，l2表示直线，表示平面若m，n，l1，l2，l1l2M，则 的一个充分条件是()Am 且 l1Bm 且 nCm 且 nl2 Dml1且 nl2解析：选 D由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项 D 可推知.直线与平面平行的判定与性质典题导入例 2(2012辽宁高考)如图，直三棱柱ABCABC，BAC90，ABAC，AA1，点2M，N 分别为 AB 和 BC的中点(1)证明：MN平面 AACC；(2)求三棱锥 AMNC 的体积(锥体体积公式 V Sh，13其中 S 为底面面积，h 为高)自主解答(1)证明：法一：连接 AB、AC，因为点 M，N 分别是 AB 和 BC的中点，所以点 M 为 AB的中点又因为点 N 为 BC的中点，所以 MNAC.又 MN平面 AACC，AC平面 AACC，因此 MN平面 AACC.法二：取 AB的中点 P.连接 MP.而点 M，N 分别为 AB与 BC的中点，所以MPAA，PNAC.所以 MP平面 AACC，PN平面 AACC.又MPPNP，因此平面 MPN平面 AACC.而 MN平面 MPN，因此 MN平面 AACC.(2)法一：连接 BN，由题意得 ANBC，平面 ABC平面BBCCBC，所以 AN平面 NBC.又 AN BC1，12故 VAMNCVNAMC VNABC VANBC.121216法二：VAMNCVANBCVMNBC VANBC.1216由题悟法利用判定定理证明线面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线，可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线以题试法2(2012淄博模拟)如图，在棱长为 2 的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 BD，BB1的中点(1)求证：EF平面 A1B1CD；(2)求证：EFAD1.解：(1)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，连接 B1D，在平面 BB1D 内，E，F 分别为 BD，BB1的中点，EFB1D.又B1D平面 A1B1CD.EF平面 A1B1CD，EF平面 A1B1CD.(2)ABCDA1B1C1D1是正方体，AD1A1D，AD1A1B1.又 A1DA1B1A1，AD1平面 A1B1D.AD1B1D.又由(1)知，EFB1D，EFAD1.平面与平面平行的判定与性质典题导入例 3如图，已知 ABCDA1B1C1D1是棱长为 3 的正方体，点E 在 AA1上，点 F 在 CC1上，G 在 BB1上，且AEFC1B1G1，H 是 B1C1的中点(1)求证：E，B，F，D1四点共面；(2)求证：平面 A1GH平面 BED1F.自主解答(1)在正方形 AA1B1B 中，AEB1G1，BGA1E2，BG 綊 A1E.四边形 A1GBE 是平行四边形A1GBE.又 C1F 綊 B1G，四边形 C1FGB1是平行四边形FG 綊 C1B1綊 D1A1.四边形 A1GFD1是平行四边形A1G 綊 D1F.D1F 綊 EB.故 E，B，F，D1四点共面(2)H 是 B1C1的中点，B1H.32又 B1G1，.B1GB1H23又，且FCBGB1H90，FCBC23B1HGCBF.B1GHCFBFBG.HGFB.GH面 FBED1，FB面 FBED1，GH面 BED1F.由(1)知 A1GBE，A1G面 FBED1，BE面 FBED1，A1G面 BED1F.且 HGA1GG，平面 A1GH平面 BED1F.由题悟法常用的判断面面平行的方法(1)利用面面平行的判定定理；(2)面面平行的传递性(，)；(3)利用线面垂直的性质(l，l)以题试法3(2012北京东城二模)如图，矩形 AMND 所在的平面与直角梯形 MBCN 所在的平面互相垂直，MBNC，MNMB.(1)求证：平面 AMB平面 DNC；(2)若 MCCB，求证：BCAC.证明：(1)因为 MBNC，MB平面 DNC，NC平面 DNC，所以 MB平面 DNC.又因为四边形 AMND 为矩形，所以 MADN.又 MA平面 DNC，DN平面 DNC.所以 MA平面 DNC.又 MAMBM，且 MA，MB平面 AMB，所以平面 AMB平面 DNC.(2)因为四边形 AMND 是矩形，所以 AMMN.因为平面 AMND平面 MBCN，且平面 AMND平面 MBCNMN，所以 AM平面 MBCN.因为 BC平面 MBCN，所以 AMBC.因为 MCBC，MCAMM，所以 BC平面 AMC.因为 AC平面 AMC，所以 BCAC.小题能否全取1(教材习题改编)下列条件中，能作为两平面平行的充分条件的是()A一个平面内的一条直线平行于另一个平面B一个平面内的两条直线平行于另一个平面C一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面解析：选 D由面面平行的定义可知，一平面内所有的直线都平行于另一个平面时，两平面才能平行，故 D 正确2已知直线 a，b，平面，则以下三个命题：若 ab，b，则 a；若 ab，a，则 b；若 a，b，则 ab.其中真命题的个数是()A0 B1C2 D3解析：选 A对于命题，若 ab，b，则应有 a 或 a，所以不正确；对于命题，若 ab，a，则应有 b 或 b，因此也不正确；对于命题，若 a，b，则应有 ab 或 a 与 b 相交或 a 与 b 异面，因此也不正确3(教材习题改编)若一直线上有相异三个点 A，B，C 到平面 的距离相等，那么直线 l 与平面 的位置关系是()Al BlCl 与 相交且不垂直 Dl 或 l解析：选 D由于 l 上有三个相异点到平面 的距离相等，则 l 与 可以平行，l 时也成立4平面 平面，a，b，则直线 a，b 的位置关系是_解析：由 可知，a，b 的位置关系是平行或异面答案：平行或异面5(2012衡阳质检)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 是 DD1的中点，则 BD1与平面ACE 的位置关系为_解析：如图连接 AC，BD 交于 O 点，连接 OE，因为 OEBD1，而 OE平面 ACE，BD1平面 ACE，所以 BD1平面 ACE.答案：平行第五节直线、平面垂直的判定与性质知识能否忆起一、直线与平面垂直1直线和平面垂直的定义直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，就说直线 l 与平面 互相垂直2直线与平面垂直的判定定理及推论文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直Error!Error!l推论如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面Error!Error!b3直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行Error!Error!ab二、平面与平面垂直1平面与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直Error!Error!2平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面Error!Error!l1.在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即：2在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决，如有平面垂直时，一般要用性质定理3几个常用的结论：(1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直(2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直垂直关系的基本问题典题导入例 1(2012襄州模拟)若 m，n 为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，给出下列命题：若 m，n 都平行于平面，则 m，n 一定不是相交直线；若 m、n 都垂直于平面，则 m，n 一定是平行直线；已知，互相垂直，m，n 互相垂直，若 m，则 n；m，n 在平面 内的射影互相垂直，则 m，n 互相垂直其中的假命题的序号是_自主解答显然错误，因为平面 平面，平面 内的所有直线都平行，所以 内的两条相交直线可同时平行于；正确；如图 1 所示，若 l，且 nl，当 m 时，mn，但 n，所以错误；如图 2 显然当 mn时，m 不垂直于 n，所以错误答案由题悟法解决此类问题常用的方法有：依据定理条件才能得出结论的，可结合符合题意的图形作出判断；否定命题时只需举一个反例寻找恰当的特殊模型(如构造长方体)进行筛选以题试法1(2012长春模拟)设 a，b 是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列四个命题：若 ab，a，b，则 b；若 a，a，则；若 a，则a 或 a；若 ab，a，b，则.其中正确命题的个数为()A1B2C3 D4解析：选 D对于，由 b 不在平面 内知，直线 b 或者平行于平面，或者与平面 相交，若直线 b 与平面 相交，则直线 b 与直线 a 不可能垂直，这与已知“ab”相矛盾，因此正确对于，由 a 知，在平面 内必存在直线 a1a，又 a，所以有a1，所以，正确对于，若直线 a 与平面 相交于点 A，过点 A 作平面、的交线的垂线 m，则 m，又，则有 am，这与“直线 a、m 有公共点 A”相矛盾，因此正确对于，过空间一点 O 分别向平面、引垂线 a1、b1，则有aa1，bb1，又 ab，所以 a1b1，所以，因此正确综上所述，其中正确命题的个数为 4.直线与平面垂直的判定与性质典题导入例 2(2012广东高考)如图所示，在四棱锥 PABCD 中，AB平面 PAD，ABCD，PDAD，E 是 PB 的中点，F 是DC 上的点且 DF AB，PH 为PAD 中 AD 边上的高12(1)证明：PH平面 ABCD；(2)若 PH1，AD，FC1，求三棱锥 EBCF 的体积；2(3)证明：EF平面 PAB.自主解答(1)证明：因为 AB平面 PAD，PH平面 PAD，所以 PHAB.因为 PH 为PAD 中 AD 边上的高，所以 PHAD.因为 PH平面 ABCD，ABADA，AB，AD平面 ABCD，所以 PH平面 ABCD.(2)如图，连接 BH，取 BH 的中点 G，连接 EG.因为 E 是 PB 的中点，所以 EGPH，且 EG PH.1212因为 PH平面 ABCD，所以 EG平面 ABCD.因为 AB平面 PAD，AD平面 PAD，所以 ABAD.所以底面 ABCD 为直角梯形所以 VEBCF SBCFEG FCADEG.131312212(3)证明：取 PA 中点 M，连接 MD，ME.因为 E 是 PB 的中点，所以 ME 綊 AB.12又因为 DF 綊 AB，所以 ME 綊 DF，所以四边形 MEFD 是平行四边形，所以 EFMD.12因为 PDAD，所以 MDPA.因为 AB平面 PAD，所以 MDAB.因为 PAABA，所以 MD平面 PAB，所以 EF平面 PAB.由题悟法证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)利用判定定理(2)利用判定定理的推论(ab，ab)(3)利用面面平行的性质(a，a)(4)利用面面垂直的性质当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面以题试法2(2012启东模拟)如图所示，已知 PA矩形 ABCD 所在平面，M，N 分别是 AB，PC 的中点(1)求证：MNCD；(2)若PDA45，求证：MN平面 PCD.证明：(1)连接 AC，AN，BN，PA平面 ABCD，PAAC，在 RtPAC 中，N 为 PC 中点，AN PC.12PA平面 ABCD，PABC，又 BCAB，PAABA，BC平面 PAB.BCPB.从而在 RtPBC 中，BN 为斜边 PC 上的中线，BN PC.12ANBN.ABN 为等腰三角形，又 M 为 AB 的中点，MNAB，又ABCD，MNCD.(2)连接 PM，MC，PDA45，PAAD，APAD.四边形 ABCD 为矩形，ADBC，APBC.又M 为 AB 的中点，AMBM.而PAMCBM90，PAMCBM.PMCM.又 N 为 PC 的中点，MNPC.由(1)知，MNCD，PCCDC，MN平面 PCD.面面垂直的判定与性质典题导入例 3(2012江苏高考)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E 分别是棱 BC，CC1上的点(点 D 不同于点 C)，且ADDE，F 为 B1C1的中点求证：(1)平面 ADE平面 BCC1B1；(2)直线 A1F平面 ADE.自主解答(1)因为 ABCA1B1C1是直三棱柱，所以 CC1平面 ABC，又 AD平面 ABC，所以 CC1AD.又因为 ADDE，CC1，DE平面 BCC1B1，CC1DEE，所以 AD平面 BCC1B1.又 AD平面 ADE，所以平面 ADE平面 BCC1B1.(2)因为 A1B1A1C1，F 为 B1C1的中点，所以 A1FB1C1.因为 CC1平面 A1B1C1，且 A1F平面 A1B1C1，所以 CC1A1F.又因为 CC1，B1C1平面 BCC1B1，CC1B1C1C1，所以 A1F平面 BCC1B1.由(1)知 AD平面 BCC1B1，所以 A1FAD.又 AD平面 ADE，A1F平面 ADE，所以 A1F平面 ADE.由题悟法1判定面面垂直的方法：(1)面面垂直的定义(2)面面垂直的判定定理(a，a)2在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直转化方法：在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直以题试法3(2012泸州一模)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD为菱形，BAD60，Q 为 AD 的中点(1)若 PAPD，求证：平面 PQB平面 PAD；(2)若点 M 在线段 PC 上，且 PMtPC(t0)，试确定实数 t 的值，使得 PA平面 MQB.解：(1)因为 PAPD，Q 为 AD 的中点，所以 PQAD.连接 BD，因为四边形 ABCD 为菱形，BAD60，所以 ABBD.所以 BQAD.因为 BQ平面 PQB，PQ平面 PQB，BQPQQ，所以 AD平面 PQB.因为 AD平面 PAD，所以平面 PQB平面 PAD.(2)当 t 时，PA平面 MQB.13证明如下：连接 AC，设 ACBQO，连接 OM.在AOQ 与COB 中，因为 ADBC，所以OQAOBC，OAQOCB.所以AOQCOB.所以.所以，即.AOOCAQCB12AOAC13OCAC23由 PM PC，知，所以，所以 APOM.13CMCP23CMCPOCAC因为 OM平面 MQB，PA平面 MQB，所以 PA平面 MQB.小题能否全取1(教材习题改编)已知平面，直线 l，若，l，则()A垂直于平面 的平面一定平行于平面 B垂直于直线 l 的直线一定垂直于平面 C垂直于平面 的平面一定平行于直线 lD垂直于直线 l 的平面一定与平面、都垂直解析：选 DA 中平面可与 平行或相交，不正确B 中直线可与 垂直或斜交，不正确C 中平面可与直线 l 平行或相交，不正确2.(2012厦门模拟)如图，O 为正方体 ABCDA1B1C1D1的底面ABCD 的中心，则下列直线中与 B1O 垂直的是()AA1D BAA1CA1D1 DA1C1解析：选 D易知 A1C1平面 BB1D1D.又 B1O平面 BB1D1D，A1C1B1O.3已知，是两个不同的平面，m，n 是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是()A若 m，n，则 mnB若 m，mn，则 nC若 m，n，则 mnD若，n，mn，则 m解析：选 C对于选项 A，若 m，n，则 mn，或 m，n 是异面直线，所以A 错误；对于选项 B，n 可能在平面 内，所以 B 错误；对于选项 D，m 与 的位置关系还可以是 m，m，或 m 与 斜交，所以 D 错误；由面面垂直的性质可知 C 正确4.如图，已知 PA平面 ABC，BCAC，则图中直角三角形的个数为_解析：由线面垂直知，图中直角三角形为 4 个答案：45(教材习题改编)如图，已知六棱锥 PABCDEF 的底面是正六边形，PA平面 ABC，PA2AB.则下列命题正确的有_PAAD；平面 ABC平面 PBC；直线 BC平面PAE；直线 PD 与平面 ABC 所成角为 30.解析：由 PA平面 ABC，PAAD，故正确；中两平面不垂直，中 AD 与平面 PAE 相交，BCAD，故不正确；中 PD 与平面 ABC 所成角为 45.答案：高考真题（19）（2012 安徽）安徽）如图，长方体中，底面是正方形，是的1111DCBAABCD 1111DCBAOBD中点，是棱上任意一点。E1AA（）证明：；1BDEC（）如果=2,=,=,求 的长.ABAE2AE21ECOE 1AA19.（）（）本题考察空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系判定，利用勾股定理求线段的长等基础知识和基本技能，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力.（）证明：）证明：连接 AC，A1B1.由底面是正方形知，BDAC.因为 AA1平面 ABCD，BD平面 ABCD,所以 AA1BD.又由 AA1AC=A,所以 BD平面 AA1C1C.再由 EC1平面 AA1C1C 知，BDEC1.第第（19）题图）题图（）解：）解：设 AA1的长是 h，连接 OC1.在 RtOAE 中，AE=，AO=22 故.222(2)(2)4OE 在 RtEA1C1中，1112,2 2AEhAC故.2221(2)(2 2)ECh在 RtOCC1中,，.2OC 1CCh2221(2)OCh因为，所以，即1OEEC2221OEECOC，22224(2)(2 2)(2)hh解得，3 2h 所以的长为.1AA3 2（18）（2013 安徽安徽）如图，四棱锥的底面是边长为 2 的菱形，.已知PABCDABCD60BADo.2,6PBPDPA（）证明：PCBD（）若为的中点，求三菱锥的体积.EPAPBCE【解析】（1）证明：连接交于点,BD ACO PBPDQPOBD 又是菱形 QABCDBDAC 而 面 ACPOOBDPACBDPC (2)由（1）面 BDPAC =45sin3262121PACPECSS32236 111132322P BECB PECPECVVSBO【考点定位】考查空间直线与直线，直线与平面的位置，.三棱锥体积等基础知识和基本技能，考查空间观念，推理论证能力和运算能力.（19）（2011 安徽）如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，ABEDFCABEDACFDOAD，OAB，OAC，ODE，ODF 都是正三角形。1OA 2OD（）证明直线；BCEF（）求棱锥的体积.FOBED（19）（本小题满分 13 分）本题考查空间直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，空间直线平行的证明，多面体体积的计算，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力.（I）证明：设 G 是线段 DA 与 EB 延长线的交点.由于OAB 与ODE 都是正三角形，所以，OG=OD=2，OBDE21同理，设是线段 DA 与 FC 延长线的交点，有G.2ODGO又由于 G 和都在线段 DA 的延长线上，所以 G 与重合.GG在GED 和GFD 中，由和 OC，可知 B 和 C 分别是 GE 和 GF 的OBDE21DF21中点，所以 BC 是GEF 的中位线，故 BCEF.（II）解：由 OB=1，OE=2，而OED 是边长为 2 的正23,60EOBSEOB知三角形，故.3OEDS所以.233OEDEOBOEFDSSS过点 F 作 FQDG，交 DG 于点 Q，由平面 ABED平面 ACFD 知，FQ 就是四棱锥FOBED 的高，且 FQ=，所以3.2331OBEDOBEDFSFQV(19)(2010 安徽)如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形，AB=2EF=2，EFAB,EFFB,BFC=90，BF=FC,H 为 BC 的中点，()求证：FH平面 EDB;（）求证：AC平面 EDB;（）求四面体 BDEF 的体积；（本小题满分 13 分）本题考查空间线面平行，线面垂直，面面垂直，体积的计=算等基础知识，同时考查空间想象能力与推理论证能力.()证：设 AC 与 BD 交于点 G，则 G 为 AC 的中点.连 EG，GH，由于 H 为BC 的中点，故 GHAB 且 GH=AB 又 EFAB 且 EF=AB1212EFGH.且 EF=GH 四边形 EFHG 为平行四边形.EGFH，而 EG 平面 EDB，FH平面 EDB.（）证：由四边形 ABCD 为正方形，有 ABBC.又 EFAB，EFBC.而 EFFB，EF平面 BFC，EFFH.ABFH.又 BF=FC H 为 BC 的中点，FHBC.FH平面 ABCD.FHAC.又 FHEG，ACEG.又 ACBD，EGBD=G，AC平面 EDB.（）解：EFFB，BFC=90，BF平面 CDEF.BF 为四面体 B-DEF 的高.又 BC=AB=2,BF=FC=21 11.1.2.23 23B DEFV20）09 安徽如图，ABCD 的边长为 2 的正方形，直线l与平面 ABCD 平行，E 和 F 是l上的两个不同点，且 EA=ED，FB=FC,E和F是平面 ABCD 内的两点，EE和FF都与平面 ABCD 垂直，（1）证明：直线E F 垂直且平分线段 AD：ABCDEF/F/El第 20 题图MABDCO（2）若EAD=EAB060,EF2,求多面体 ABCDEF 的体积。解：由EAED且/EE 面 ABCD点/E在线段 AD 的垂直平分线上，同理点/F在线段 BC 的垂直平分线上，又 ABCD 是正方形线段 BC 的垂直平分线就是线段 AD 的垂直平分线，即点/E、/F都在线段 AD 的垂直平分线，所以直线E F 垂直且平分线段 AD。（2）连接 EB、EC。由题设知，多面体 ABCDEF 可分割成正四棱锥 EABCD 和正四面体 EBCF 两部分。设 AD 的中点为 M，在 RtMEE/中，由于 ME/=1，ME=3，EE/=2/2114 222333E ABCDABCDVSEE正方形又/21112 2223323E BCFC BEFC BEAE ABCABCVVVVSEE多面体 ABCDEF 的体积为2 2E ABCDE BCFVV。（19）（08 安徽安徽如图，在四棱锥中，底面四边长为 1 的 OABCDABCD菱形，,为4ABCOAABCD 于于2OA M的中点。OA（）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小；（）求点 B 到平面 OCD 的距离。1 方法一（综合法）方法一（综合法）（1）CDQAB,为异面直线与所成的角（或其补角）MDCABMDQMABDCOP作连接,APCDP于MP于于ABCD于O AC DM P2,42ADPD P=，222MDMAAD1cos,23DPMDPMDCMDPMD 所以 与所成角的大小为ABMD3（）（）点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等，AB于于O C D,连接 OP,过点 A 作 于点 Q，AQOP,APCD OACDCDOAP 于于,AQOAPAQCD于于又,线段 AQ 的长,AQOPAQOCD 于于就是点 A 到平面 OCD 的距离2222213 24 122OPODDPOAADDP，22APDP，所以点 B 到平面 OCD 的距离为222233 22OA APAQOPgg23（19）（本小题满分 12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB=90，AC=BC=AA1，D 是棱12AA1的中点()证明：平面 BDC1平面 BDC（）平面 BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。17.（本小题满分 13 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，ADPD，BC=1，PC=2，PD=CD=2.3（I）求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值；（II）证明平面 PDC平面 ABCD；（III）求直线 PB 与平面 ABCD 所成