强VW-Gorenstein复形_贾宏慧.pdf

山东大学学报（理学版）年 月 第 卷 第 期：（），：山东大学科技期刊社版权所有：收稿日期：；网络出版时间：网络出版地址：基金项目：国家自然科学基金资助项目（，）第一作者简介：贾宏慧（），女，硕士研究生，研究方向为环的同调理论：通信作者简介：赵仁育（），男，教授，研究方向为环的同调理论：文章编号：（）：强 复形贾宏慧，赵仁育（西北师范大学数学与统计学院，甘肃 兰州）摘要：设，是两个 模类。引入了强 复形的概念，证明了如果，关于扩张和有限直和封闭，并且 ，（），那么复形 是强 的当且仅当 是正合复形，并且对任意的，（）是 模。此外，我们得到了一些有意义的推论，这些结果统一和推广了一些已知的结论。关键词：模；强 复形；-复形；复形中图分类号：文献标志码：引用格式：贾宏慧，赵仁育强 复形 山东大学学报（理学版），（）：，（，）：，（），（），：；引言设，是两个模类。作为 投射、内射模，模，投射、内射模等的统一推广，和 在文献中引入并研究了 模。年，和 在文献中将 模的概念拓展到了复形范畴中，引入了 复形的概念，在，满足一些基本条件的情况下，证明了 复形就是 复形，即每个层次上的模都是 模的复形，该结论统一推广了关于 投射、内射复形、复形和 投射、内射复形的研究结果。众所周知，复形 是投射（内射）的当且仅当 是正合复形，并且 的每个循环都是投射（内射）模。和 在文献中研究了与投射复形相对应的 复形，证明了 是 投射复形并且对任意的 投射复形，复形（，），（，）都是正合复形当且仅当 是正合复形并且 的每个循环都是 投射模。进一步，在文献中引入了强 复形的概念，其中 是一个模类，证明了如果 是自正交的，那么 是强 复形当且仅当 是 复形，并 山 东 大 学 学 报（理 学 版）第 卷且对任意的 复形，（，）和（，）都是正合复形。作为应用，他证明了 是强 内射（投射）复形当且仅当 是正合复形，并且 的每个循环都是 内射（投射）模，命题。受文献和研究的启发，本文引入并研究强 复形。预备知识本文中，是有单位元的结合环，除特别申明外，所涉及的模是左 模。左 模的复形记为（，）或。用 表示 模的复形范畴。设，的平移复形 定义为：（）且（）。复形 第 层次的循环，边缘和同调模分别记为（），（）和（）。对任意的模，用 表示复形：，其中 在第 和第 层次；用 表示复形：，其中 在第 层次。设，。复形（，）定义为（，）（，），（，）（）（）。用（，）表示 到 的所有复形态射构成的 群。对任意的，用（，）表示（，）的第 个右导出函子。特别地，（，）是由短正合列 的等价类关于 和构成的群。用（，）表示（，）中的层次可裂的短正合列构成的 子群。下面的结论建立了（，）与 复形（，）之间的联系。引理，引理 设 和 是两个 复形，则对任意的，（，）（，）（，），其中是链同伦。特别地，（，）正合当且仅当对任意的 和任意的复形态射：，同伦于。设 是一个 模类，令 正合且，（），（），（），（），（），和（）中的复形分别称为 复形，复形和 复形，。设 是一个 范畴，是 的两个全子范畴。用 表示对任意的 和，（，）。特别地，如果，那么称 是自正交的。设 是 中的一个正合序列，如果对任意的（），序列（，）（，）正合，那么称 是（，）（，）正合的。定义，定义设，是两个 模类，是一个 模，如果存在（，）正合并且（，）正合的正合序列：，其中，使得（），那么称 是 模。记 模的类为 （）。定义 ，定义设，是两个 模类，是一个复形，如果存在（，）正合并且 第 期贾宏慧，等：强 复形 （，）正合的正合序列：，其中，使得（），那么称 是 复形。定义 设 是交换环，是一个 模，称 是半对偶模，如果（）有有限生成投射分解；（）（，）；（）（，）。设 是交换环，是一个半对偶 模，用 和 分别表示投射 模类和内射 模类。令，（，），称（）中的模为 投射（内射）模。定义 相对于半对偶模 的 类（）是由满足下列条件的所有 模 构成的类：（）（，）；（）（，）；（）自然赋值同态：（，）是同构。对偶地，相对于半对偶模 的 类（）是由满足下列条件的所有 模 构成的类：（）（，）；（）（，（，）；（）自然赋值同态：（，）是同构。强 复形下文中，是两个任意取定的 模类。定义 设 是一个复形，如果存在（），）正合并且（，（）正合的正合序列：，其中，使得（），那么称 是强 复形，称 是 的一个完全强 分解。下面给出强 复形的一些例子。注记 （）当 时，强 复形就是文献中的强 复形。特别地，如果 ，那么强 复形就是文献中的强 内射复形；如果 ，那么强 复形就是文献中的强 投射复形（）设 是交换环，是半对偶 模，则 （）中的模就是文献中的 投射模，（）中的模就是文献中的 内射模。相应地，我们称强 （）复形为强 投射复形（强 内射复形）。为了刻画强 复形，我们先做一些准备工作。引理，引理 设，是两个 模类，如果，那么：（）当且仅当；（）当且仅当。推论.设，是两个 模类，且，则：（）如果，那么（）；（）如果，那么（）。山 东 大 学 学 报（理 学 版）第 卷证明 由（），（）和引理.可得。推论 设 是一个复形，如果 ，并且对任意的，是 模，那么对任意的，（，）和（，）正合。证明 由文献，命题、引理 和引理 可得。引理，命题 设 是一个复形，是一个 模类，且，则（）当且仅当，其中，。下面给出本文的主要结果。定理 设 是一个复形，如果，关于扩张和有限直和封闭，并且 ，（），那么下列叙述等价：（）是强 复形；（）对任意的，是 模，并且对任意的（）和任意的（），（，）和（，）正合；（）对任意的，是 模，并且对任意的 和任意的 ，（，）和（，）正合。证明（）（）。因为 是强 复形，所以存在（），）-正合并且（，（）正合的正合序列：，其中，使得（）。因为，关于扩张封闭，所以?（），?（），从而 是 复形。于是由文献定理 知，对任意的，是 模。令（），（），则对任意的，和，有下面的正合序列：（，）（，）（，）（，）和（，）（，）（，）（，）。注意到（），（），所以由推论.知，（，），（，）。又因为 （），）正合，（，（）正合，所以（，），（，）。于是由引理 知（，），（，）正合。（）（）。由引理 和推论 可得。（）（）。设，因为 是 模，所以由文献推论 知存在正合列：，其中是 模，。于是有正合列。令 ，则。另一方面，显然存在层次可裂的正合列（，），其中 是 的微分。设：是（，）的合成，则 是满的。令 ，则由蛇引理可得正合列。第 期贾宏慧，等：强 复形 因为和 每个层次上的模都是 模，所以由文献推论 知，对任意的，（）是 模。设（），则对任意的，由文献命题 知，（，（），故有正合列（，（）（，（）（，）。从而有复形的正合列（，）（，）（，）。由推论 和引理 知，（，）正合。又由条件（，）正合，所以（，）正合。同理可证，对任意的（），（，）正合。设（），（），因为（，）和（，）正合，所以由文献命题 和引理 知，（，），（，），故正合列是（），）正合并且（，（）正合的。注意到 与 有完全相同的性质，故重复上述过程可得（），）正合并且（，（）正合的正合序列，（）其中。对偶地，可以构造（），）正合并且（，（）正合的正合序列：，（）其中。最后，将（）和（）拼接起来，就得到 的一个完全强 分解，因此 是强 复形。进一步，我们有下面的结论。定理 设 是一个复形，如果，关于扩张和有限直和封闭，（），并且 或 包含一个余生成子，那么 是强 复形当且仅当 正合并且对任意的，（）是 模。证明）因为 是强 复形，所以由定理 知，对任意的 ，（，），（，）正合。若 ，则（，）正合。若 包含余生成子，则由（，）正合可知 正合。进而由定理 和文献定理 知对任意的，（）是 模。）因为 是正合复形，并且对任意的，（）（），所以由文献命题 和推论 知，对任意的，（），并且对任意的 ，（，）和（，）正合，从而由定理 知 是强 复形。注记 （）若 （），则 ，满足定理.和定理.的条件。（）若 ，则由文献注记.（）、文献命题.和文献命题.知 ，满足定理.和定理.的条件。（）令 ，则由文献注记.（）、文献命题.和文献引理.知，满足定理.和定理.的条件。（）令 ，则由文献注记.（）、文献命题.、定理、引理.和推论.知，满足定理.和定理.的条件。（）令 ，则由文献注记.（）、文献命题.、定理.、引理.和推论.知，满足定理.和定理.的条件。最后我们给出定理.的一些推论。推论.设 是一个 模类，是一个复形，如果 关于扩张和有限直和封闭，并且 或 包含一个余生成子，那么 是强 复形当且仅当 是正合复形并且对任意的，（）是 模。推论 是文献命题 和定理 的统一推广。由注记（），注记（），（）和定理 可得 山 东 大 学 学 报（理 学 版）第 卷推论 设 是交换环，是半对偶模，是一个复形，则 是强 投射（内射）复形当且仅当 是正合复形，并且对任意的，（）是 投射（内射）模。由文献引理、定理 和定理 知（）（），（）（），于是由注记.（），（）和定理.可得如下推论。推论.设 是交换环，是半对偶模，是一个复形，则（）是强 复形当且仅当 是正合复形，并且对任意的，（）（）；（）是强 复形当且仅当 是正合复形，并且对任意的，（）（）。参考文献：，（）：，（）：，：，：，（）：，（）：，（）：，（）：，：，（）：，：，：，：，：，：，（）：（），：，：，（）：，（）：（编辑：李晓红）