专题07+三角变换及解三角形(易错起源)-2018年高考数学(理)备考黄金易错点+Word版含解析.doc

专题07+三角变换及解三角形(易错起源)-2018年高考数学(理)备考黄金易错点+Word版含解析

1.【2017山东，理9】在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】
所以，选A.
2.【2017北京，理12】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，=___________.
【答案】

3.【2017浙江，14】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2． 点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．
【答案】
【解析】取BC中点E，DC中点F，由题意：，
△ABE中，，，
．
又，
，
综上可得，△BCD面积为，．
4.【2017课标II，理17】的内角所对的边分别为，已知，
（1）求；
（2）若，的面积为，求。
【答案】(1)； (2) b=2
【解析】b=2（1）由题设及，故

上式两边平方，整理得
解得
（2）由，故
又
由余弦定理 及得

所以b=2.
1.【2016高考新课标2理数】若，则（ ）
（A） （B （C） （D）
【答案】D
【解析】 ，
且，故选D.
2.【2016高考新课标3理数】若 ，则（ ）
(A) (B) (C) 1 (D)
【答案】A
【解析】
由，得或，所以，故选A．
7.【2016高考天津理数】在△ABC中，若,BC=3， ,则AC= （ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
【答案】A
【解析】由余弦定理得,选A.
8.【2016高考江苏卷】在锐角三角形中，若，则的最小值是 ▲
【答案】8.
【解析】，又，因即最小值为8.
9.【2016年高考四川理数】（本小题满分12分）
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.
（I）证明：；
（II）若，求.
【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）4.
【解析】

（Ⅱ）由已知，b2+c2–a2=bc，根据余弦定理，有
cos A==．
所以sin A==．
由（Ⅰ），sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B，
所以sin B=cos B+sin B，
故tan B==4．
10.【2016高考浙江理数】（本题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知b+c=2a cos B.
（I）证明：A=2B；
（II）若△ABC的面积，求角A的大小.
【答案】（I）证明见解析；（II）或．
【解析】
（Ⅰ）由正弦定理得，
故，
于是．
又，，故，所以或，
因此（舍去）或，
所以，．
（Ⅱ）由得，故有，
因为，所以．
又，，所以．
当时，；
当时，．
综上，或．

易错起源1、三角恒等变换
例1、(1)已知α为锐角，若cos＝，则cos＝________.
(2)已知sinα＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　(1)　(2)C
解析　(1)因为α为锐角，cos(α＋)＝>0，
所以α＋为锐角，sin(α＋)＝，
则sin(2α＋)＝2sin(α＋)cos(α＋)＝2××＝.
又cos(2α－)＝sin(2α＋)，
所以cos(2α－)＝.
(2)因为α，β均为锐角，
所以－<α－β<.
又sin(α－β)＝－，
所以cos(α－β)＝.
又sinα＝，所以cosα＝，
所以sinβ＝sin[α－(α－β)]
＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)
＝×－×(－)＝.
所以β＝.
【变式探究】(1)已知sin＝，cos2α＝，则sinα等于(　　)
A. B．－ C．－ D.
(2)－等于(　　)
A．4 B．2
C．－2 D．－4
答案　(1)D　(2)D
解析　(1)由sin＝，
得sinαcos－cosαsin＝，
即sinα－cosα＝，①
又cos2α＝，所以cos2α－sin2α＝，
即(cosα＋sinα)·(cosα－sinα)＝，
因此cosα＋sinα＝－.②
由①②得sinα＝，故选D.
(2)－＝－
＝＝
＝＝－4，
故选D.
【名师点睛】
　(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．
【锦囊妙计，战胜自我】
1．三角求值“三大类型”
“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”．
2．三角函数恒等变换“四大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等；
(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等；
(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；
(4)弦、切互化：一般是切化弦．
易错起源2、正弦定理、余弦定理
例2、(1)(2016·课标全国丙)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA等于(　　)
A.B.C．－D．－
(2)(2015·北京)在△ABC中，a＝3，b＝，A＝，则B＝________.
答案　(1)C　(2)
解析　(1)设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
则由题意得S△ABC＝a·a＝acsinB，∴c＝a.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB
＝a2＋a2－2×a×a×＝a2，
∴b＝a.
∴cosA＝＝＝－.
故选C.
(2)由正弦定理得sinB＝＝＝，
因为A为钝角，所以B＝.
【变式探究】如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．

(1)求；
(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．

(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝.
在△ABD和△ADC中，由余弦定理知
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.
故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6，
由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1.
【名师点睛】
关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．
【锦囊妙计，战胜自我】
1．正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2RsinA，sinA＝，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．
2．余弦定理：在△ABC中，
a2＝b2＋c2－2bccosA；
变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝.
易错起源3、解三角形与三角函数的综合问题
例3　(2015·山东)设f(x)＝sinxcosx－cos2.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．
解　(1)由题意知f(x)＝－
＝－＝sin2x－.
由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，
可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；
由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，
可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间是
(k∈Z)；
单调递减区间是(k∈Z)．
(2)由f＝sinA－＝0，得sinA＝，
由题意知A为锐角，所以cosA＝.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，
可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，
即bc≤2＋，且当b＝c时等号成立．
因此bcsinA≤.
所以△ABC面积的最大值为.
【变式探究】已知函数f(x)＝cos2x＋2sinxcosx－sin2x.
(1)求f(x)的最小正周期和值域；
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若f()＝2且a2＝bc，试判断△ABC的形状．
解　(1)f(x)＝cos2x＋2sinxcosx－sin2x
＝sin2x＋cos2x
＝2sin(2x＋)，
所以T＝π，f(x)∈[－2,2]．

【名师点睛】
解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求．
【锦囊妙计，战胜自我】
解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的面积或判断三角形的形状．