数学运算素养培养的探索与思考_张兵源.pdf

数学运算素养培养的探索与思考张兵源(福建省漳州市教育科学研究院 3 6 3 0 0 0)1 问题的提出 普通高中数学课程标准(2 0 1 7年版)(以下简称 课标2 0 1 7年版)将数学核心素养定义为:“数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现,是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现”,提出“数学学科核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六大素养”1.数学运算素养是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.主要包括:理解运算对象,掌握运算法则,探究运算思路,选择运算方法,设计运算程序,求得运算结果等1.运算对象是体现数学运算素养的载体,运算对象来自其他学科与实际的抽象,深入地理解运算对象,可以不断地开发应用的领域,体现数学应用的广泛性;运算法则能保障运算结果的唯一性,同时有助于产生不同的思想方法,使得数学在广泛的应用中具有独特的位置;运算思路的产生是解决数学问题的关键,运算思路是在对运算对象深入分析、结合运算对象、灵活使用运算法则的基础上产生的,是体现数学运算素养的精华;运算方法不仅用于解决具体问题,还要不断地发掘这些具体问题的本质,进而拓展到解决一类问题,形成解决问题的通性通法;运算程序是运算方法的具体化,是解决一类问题可操作的步骤,也是借助计算机和外界力量解决问题的路线图;运算结果是运算程序实施的结果,可以是一个问题的结果,也可以是一类问题的结果.“理解运算对象,掌握运算法则,探究运算思路,求得运算结果”是一个有机整体,在解决问题的过程中相辅相成.从培养学生数学运算核心素养的视角看,如何全面理解运算素养?在数学教学中需要关注哪些要点?如何提升学生的数学运算素养水平?在数学教学过程中应该采取什么方式、方法和手段来促使学生发展数学运算素养,并达成课标与教材的要求?等等问题都是落实素养教学必须要面对和思考的.2 教学中落实数学运算素养的基本途径可以从四个方面理解运算素养,提升运算素养水平:深入认识和理解运算对象;掌握运算规则,感悟规则作用;明确应用范围,准确、清晰地阐述解决问题的运算思路;学会运用通性通法,感悟重要数学思想.下面阐述在数学概念的教学、数学公式的推导及数学解题教学中落实和发展学生数学运算素养的基本途径.2.1 通过数学概念的教学促进数学运算素养形成和发展数学概念是导出数学定理、法则的逻辑基础,数学概念之间互相联系、由简到繁形成了学科体系.数学概念是数学基础知识的重要组成部分,是发展思维、培养数学能力和素养的基础.下面以“向量”为例阐述如何通过概念教学促进学生数学运算素养的形成和发展.首先,深入理解平面向量的知识结构.教材是对一个向量的认识开始,过渡到两个向量的关系和运算,向量的加、减、数乘及坐标运算等均具有自身的几何形式特点,将线性运算结合起来就可探究出平面向量的基本定理,利用基本定理可将“陌生向量”分解成两个“已知向量”的线性组合形式,平面向量具有坐标表示形式,根据坐标可对两个向量进行运算,并能求出两个向量的夹角、判定两个向量是否共线、垂直等.其次,深入认识和理解运算对象.深入认识和理解运算对象是非常重要的,一切运算都是建立在对运算对象及其作用认识的基础上的.对向量概念的认识贯穿“向量”学习的始终,92 0 2 3年 第6 2卷 第2期 数学通报不是一两节课就可以完全掌握的.对向量概念整体认识包含两部分,一是向量概念本身的认识,二是向量的意义与作用.对向量概念本身的认识又可以分为两个阶段,第一阶段,依托实际情境,抽象出向量是一个既有方向又有大小的量,可以用坐标系中的有向线段直观地表示,无论有向线段在哪里,只要它们的大小相等,方向一致,这些向量都是一样的,我们把向量称为自由的.第二阶段,向量也可以看作一组“n个有顺序的实数”,我们称之为n维向量,三维向量是我们熟悉的空间向量.这样认识向量,为我们使用向量开辟了新的领域.因此,可以从以下四个角度来认识向量的作用:向量是代数对象;向量是几何对象;向量是连接几何与代数的桥梁;向量有丰富的背景 物理,向量是连接数学与物理(实际)的桥梁;所有这些会使我们充分感悟到向量是数学中重要的概念.向量是几何对象可以从两个方面阐述.首先,向量可以刻画基本的几何图形:点、直线、平面.例如,在空间直角坐标系中,以原点为起点的向量与空间中的点之间保持一一对应;给定一点和一个方向向量,可以唯一地确定过该点且与方向向量平行的直线;给定一点和一个法向量,可以唯一地确定过该点且与法向量垂直的平面.实际上,我们还可以给出表示直线、平面的向量方程,向量方程还可以帮助我们表示曲线、曲面.其次,向量可以帮助我们简捷地处理直线、平面的平行和垂直等基本位置关系;帮助我们处理度量关系,求距离、角度、面积、体积.向量是连接几何与代数的天然桥梁,这是运用向量解决问题的基本思路.例如,对于几何问题,依据它的特征,用向量的语言加以描述,转化为向量问题,通过向量的运算解决这些问题,得到向量的结果,再把向量语言转换为几何语言,从而解决几何问题.向量也是连接数学与物理的桥梁.在物理中,特别是力学、电学中有两种不同的量,一种是只有大小的量,如距离、质量等,我们称之为标量;另一种量不仅有大小,而且有方向,如位移、速度、力等,我们称之为矢量.这些就是学习向量的大背景.第三,掌握运算规则,感悟规则作用.我们知道运算规则是实施运算的基础,如何理解运算规则的作用?向量是代数对象,向量也是运算对象,它拥有丰富的运算形式.例如,用V2表示平面向量集合,R表示实数集.向量的加法(+):V2+V2V2,即向量加向量等于向量;向量的数乘():RV2V2,即数乘向量等于向量;向量的数量积():V2V2R,即向量乘向量等于数.向量运算的学习过程是培养学生逻辑推理、数学运算和直观想象素养的重要载体.中学数学中的平面向量运算主要包括向量的线性运算和向量的数量积.F克莱因说:“对比把长度、面积、体积考虑为绝对值的普通初等几何学,这样做(指 让几何量带上符号)有极大地好处.初等几何必须依照图形呈现的情况而区分许多情况,而现在用几 个 简 单 的 一 般 定 理 就 可 以 概 括.”这 几 个“一般定理”就是向量的加法与减法、数乘、数量积的运算及运算规则、几何意义(物理意义),以及向量基本定理及坐标表示.也可以从逆运算的角度深入理解向量运算.数乘运算及其逆运算得到一维向量基本定理:给定非零向量a,对每一个实数p,数乘运算得到的向量pa与a共线;反之,对与a共线的任何向量,都存在实数p,使得它可以表示为pa.向量的加法与数乘运算的结合可以形成向量的线性组合,给定两个不共线向量,对于任意两个实数p,q,它们的线性组合p+q可以表示与、共面的任何向量;反之,任意与,共面的向量都可以用向量,的线性组合表示.这就是平面向量基本定理,还可以得到空间向量基本定理.这些都是在运算及其规则下得到的主要结论.第四,明确应用范围,准确、清晰地阐述解决问题的运算思路.高中教师应该清楚向量运算的应用范围,做到心中有数.我们不仅需要了解向量应用的范围,还需要准确、清晰地阐述应用向量解决问题的思路.例如,运用向量求解线与线、线与面、面与面的距离问题.解决距离问题的思路:距离反映的是图形之间长度的最小值;最小值体现在两个图形的法方向上.这样,距离问题就有两个基本步骤:一是求法向量;二是求投影.01数学通报 2 0 2 3年 第6 2卷 第2期第五,学会运用通性通法,感悟重要数学思想.例如,向量的基底体现的思想就是非常重要的数学思想,向量的基底思想无论在几何、代数还是函数的应用中都发挥着基本、重要的作用.向量既是代数研究对象,也是几何研究对象,是沟通几何与代数的桥梁.通过向量及其运算的学习,有助于用向量语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题.在应用向量运算解决问题的过程中,蕴含着一些解决问题的通性通法,也蕴含着一些重要的数学思想.学会运用通性通法,感悟重要数学思想是提升运算素养和能力的重要方法.在这里,学生经历了向量概念的学习和应用过程,发展了数学运算素养.2.2 通过数学公式的推导促进数学运算素养形成和发展点到直线的距离是在研究“两点间的距离”的基础上的进一步研究,它对今后在判断直线与圆,直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系和求相应最值的过程中有着重要的引领启发作用.本节知识渗透了数形结合和转化与化归的数学思想,在公式推导过程中对提升学生数学运算等数学素养是一个很好的途径.根据以上分析,点到直线的距离公式的推导教学可依据教材教学内容的两个任务按如下几步进行设计.任务一:用自然思路推导点到直线的距离公式d=A x0+B y0+CA2+B2.按如下三步进行:第一步:研究了两点间的距离之后,请同学们思考:接下来该研究什么?第二步:请根据右图列出研究 点P0 x0,y0()到 直 线l:A x+B y+C=0的距离的自然思路及步骤.第三步:请根据思路推导出点到直线的距离公式d=A x0+B y0+CA2+B2.若学生能完成第一步,则说明学生在“知识与技能”方面能够在熟悉的情境下,用图形描述由一维(两点)类比到二维(一点一线)来发现数学问题(点到直线的距离),则我们可以认为学生达到了数学运算和逻辑推理素养的水平一.若学生顺利完成第二步,即梳理出推导步骤:(1)由直线l:A x+B y+C=0可得垂线P Q的斜率;(2)写出垂线P Q的方程;(3)由直线l:A x+B y+C=0和垂线P Q的方程联立方程组,求出垂足Q的坐标;(4)由两点间的距离公式求得点P到直线l的距离.如果学生能够用图形来描述和表达数学问题,针对这个数学问题,能够合理选择运算方法,设计出运算程序,则说明在“思维与表达”方面,学生达到了直观想象素养的水平一、数学运算素养的水平二.如果学生能准确算出点Q的坐标为QB2x0-A B y0-A CA2+B2,A2y0-A B x0-B CA2+B2(),则说明在“知识与技能”方面,学生能够了解运算法则及其适用范围,得出正确运算结果.所以我们可以认为学生达到了数学运算素养的水平一.如果学生能用两点间的距离公式算出P0Q=x0-B2x0-A B y0-A CA2+B2()2+y0-A2y0-A B x0-B CA2+B2()2=A x0+B y0+CA2+B2,则说明在“知识与技能”方面,学生能够针对长度的计算问题,选择合理的运算方法,设计运算程序,解答得到点到直线的距离公式.所以我们可以认为学生达到了数学运算素养的水平二.任务二:探究几何思路并推导点到直线的距离公式d=A x0+B y0+CA2+B2.回答下列问题:两点间的距离公式是怎样推导出来的?请类比两点间距离公式的推导方法来探究点到直线的距离的思路;请设计出点到直线的距离的几何思路及步骤;请根据几何思路及步骤推导出点到直线的距离公式d=A x0+B y0+CA2+B2;112 0 2 3年 第6 2卷 第2期 数学通报还有其他推导思路吗?比较这几种思路,你有什么体会?如果学生能根据两点间的距离公式的推导思路,探究出求点到直线的距离公式的几何思路:把点到直线的距离转化为三角形的高,用等面积法来计算高,则说明在“知识与技能”方面,学生能选择合适的数学模型表达所要解决的数学问题,可以认为学生达到了数学建模和数学运算素养的水平二;学生把三角形构造成直角三角形,用等面积法来求解距离,可见学生在“思维与表达”方面能用图形来描述和表达熟悉的数学问题,启迪解决问题的思路,并体会数形结合,可以认为学生达到了数学运算及直观想象素养的水平一.如果学生能够解决问题,即得到推导步骤:第一步:构造出直角三角形P0R S.第二步:写出直线P0S和P0R的方程,求出交点R,S的坐标.第 三 步:用 两 点 间 的 距 离 公 式 计 算 出P0R,P0S,R S.第四 步:用 等 面 积 法 算 出 点 到 直 线 的 距离P0Q.学生针对用面积法求解点到直线的距离这个数学问题,能够选择合理的运算方法,设计出正确、简捷的运算程序,则说明在“思维与表达”方面,学生达到了数学运算素养的水平二.如果学生能写出下面内容,则说明在“知识与技能”方面,学生能够针对具体问题,选择合理的运算方法,设计运算程序,推导出点到直线的距离公式,故可认为学生达到了数学运算素养的水平二.如果学生顺利完成问题,根据直线P0Q:B x-x0()-A y-y0()=0与直线l:A x+B y+C=0,得到A x-x0()+B y-y0()=-A x0+B y0+C(),所以x-x0=-A A x0+B y0+C()A2+B2,y-y0=-B A x0+B y0+C()A2+B2,故P0Q=x-x0()2+y-y0()2=A x0+B y0+CA2+B2.则说明在“问题与情境”方面,学生能够在关联的情境中,确定运算对象,提出计算问题,在“知识与技能”方面,学生能够针对运算问题,合理地选择运算方法,设计运算过程,推导出点到直线的距离公式,因此可以认为学生达到了数学运算素养的水平二.在点到直线的距离公式的探索过程中,会探究出公式的多种发现角度和推导思路;不同的思路,所需计算的复杂程度有很大的差别,无论哪种思路都有不少的计算,但思路不同(用几何知识的多少不同),计算量和计算的复杂程度就有很大的区别.所以点到直线的距离公式的推导可以很好去落实和发展学生的数学运算素养.2.3 通过数学解题教学促进数学运算素养形成和发展复数的引入是为了解决x2+1=0这样的方程在实数系中无解的问题,而数系的每一次扩充都是与实际需求紧密相关的.高中教材关于复数代数形式的加减运算及其几何意义这部分内容主要包括如下三部分.第一部分:教材规定复数加法法则,探究复数加法是否满足交换律和结合律,并讨论复数加法的几何意义.第二部分:教材类比实数集中的减法,规定复数减法是加法的逆运算,并探究减法的几何意义.第三部分:用一道巩固复数加减运算的题目,让学生看到复数代数形式的加减运算与多项式的加减运算是类似的.由此可知复数是一类重要的运算对象,主要是为了解决一些方程在实数系中无解的问题,所以复数相关内容的学习对培养数学运算素养的提升是一个很好的途径.下面以2 0 2 2年的一道复数高考题为例通过解题教学培养学生学会“分析数学命题的条件与结论”、学会“理解和构建相关数学知识之间的联系”、学会“通过数学对象及其运算或关系理解数学的抽象结构”、学会“运用多种形式表示数学命题的条件与结论,并建立相关命题的联系”、学会“创造或灵活运用数学方法解决问题”,从而促进学生数学运算素养形成和发展.21数学通报 2 0 2 3年 第6 2卷 第2期例1 若i(1-z)=1,则z+?z=().A.-2 B.-1 C.1 D.2 首先,要求学生通过已知条件,联想到不同数系扩充后运算的一致性,从而自然给出复数代数形式的加、减运算的法则,并明确运算方向,进而应用待定系数法求解复数z.解法1 设z=a+bi,a,bR,则由i(1-z)=1,得i(1-a-bi)=1,得b+(1-a)i=1,得a=b=1,所以z=1+i,?z=1-i,所以z+?z=2.解法2 对原式两边同除以i,得1-z=1i=ii2=-i,得z=1+i,所以?z=1-i,所以z+?z=2.这种用复数代数形式的加、减运算及其几何意义的通解通法教学在“知识与技能”方面应达到数学运算的数学学科核心素养的水平一.另一方面能够在复数的运算过程中,体会运算法则的意义和作用及虚数单位i的概念,得到如下解答:解法3 对原式两边同乘以i,得z-1=i,所以z=1+i,所以?z=1-i,所以z+?z=2.这样根据复数代数形式的加减运算及其几何意义的解题教学在“思维与表达”方面应达到数学运算的数学学科核心素养的水平一.其次,利用复数相关基本概念从结论分析,得到如下解法:解法4 因为z+?z的意义是复数实部的两倍,则只需要求复数z的实部.由i(1-z)=1,知1-z必为纯虚数,则z的实部为1,则z+?z=2.根据问题的选项想到复数的加减运算及其定义解答问题,在“交流与反思”方面达到数学运算的数学学科核心素养的水平二.最后,要求学生借助运算,探讨数系扩充的过程和复数运算性质的一致性,得到如下解法:解法5 因为i(1-z)=1,所以i(1-z)=1,所以(-i)(1-z)=1,所以i(1-?z)=-1,所以i(1-z)+i(1-?z)=1-1=0,所以i2-(z+?z)=0,所以z+?z=2.这样根据复数性质想到复数的运算整体一致性的解题教学在“情境与问题”方面应达到数学运算的数学学科核心素养的水平三.3 问题启示数学运算是一种特殊的逻辑推理,它是一种演绎推理,运算的每一步都需要依据运算的规则,并通过三段论实现的,运算过程是严密的,并保证运算结果是准确无误的.数学运算鲜明地凸显了数学的特点,数学运算是小学、初中数学课程学习的主要内容,学生在数学运算方面已经积累了大量的、丰富的经验,在高中数学课程的学习中,学生不仅需要进一步发展数、字母(代数式)运算的能力,还需要学习新的运算对象 向量、复数等,感悟运算对象的多样性和数学运算应用的广泛性.通过高中数学课程的学习,学生能进一步发展数学运算能力,有效借助运算解决实际问题.从运算对象出发借助运算规则,可以把各种规律予以清晰、准确地表示,可以解决各样不同领域的问题,直观感受数学无处不在.数学思维训练的载体就是推理和运算.因此,我们要把落实数学核心素养贯彻到具体的数学问题解决过程中.对于具体的数学运算,我们要结合问题情境,深刻理解运算对象的特征,挖掘其内涵;在具体的运算过程中,通过对比不同的解题方法,在设计、比较、操作、反思中优化运算思路,简化运算程序;在确定运算思路和运算程序后,还需要不断培养良好的运算习惯,准确、快捷地求得运算结果,进而养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.总之,通过数学概念的教学、数学公式的推导以及数学解题教学有助于促进学生数学运算素养的形成和发展,是有效解决学生数学运算能力不强这一“老大难”问题的一把钥匙.参考文献1 中华人民共和国教育部.普通高中 数学课程标准(2 0 1 7年版)M.北京:人民教育出版社,2 0 1 8312 0 2 3年 第6 2卷 第2期 数学通报