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二维傅里叶变换二维傅里叶变换 函数函数f(x,y)在整个在整个x-y平面上绝对可积且满足狄氏条件平面上绝对可积且满足狄氏条件(有有有限个间断点和极值点有限个间断点和极值点,没有无穷大间断点没有无穷大间断点),定义函数定义函数为函数为函数f(x,y)的傅里叶变换的傅里叶变换,记作记作:F(fx,fy)=f(x,y)=F.T.f(x,y),或或 f(x,y)F(fx,fy)F.T.f(x,y):原函数原函数,F(fx,fy)是是f(x,y)的的频谱函数频谱函数F(fx,fy)一般是复函数一般是复函数,F(fx,fy)=A(fx,fy)e jf f(fx,fy)振幅谱振幅谱位相谱位相谱线性系统线性系统线性系统的定义线性系统的定义:设设:g1(x2,y2)=f1(x,y)，g2(x2,y2)=f2(x,y),且对于且对于任意复常数任意复常数a1 和和a2，有：，有：若系统对几个激励的线性组合的整体响应，等于单个激若系统对几个激励的线性组合的整体响应，等于单个激励所产生的响应的线性组合，则该系统称为线性系统。励所产生的响应的线性组合，则该系统称为线性系统。则称该系统则称该系统 为为线性系统线性系统。a1 f1(x,y)+a2 f2(x,y)=a1 g1(x2,y2)+a2 g2(x2,y2)系统对输入的脉冲函数产生的输出称为系统对输入的脉冲函数产生的输出称为脉冲响应脉冲响应.若输入脉冲发生位移时若输入脉冲发生位移时,线性系统的响应函数形式不线性系统的响应函数形式不变，仅造成响应函数相应的位移，即：变，仅造成响应函数相应的位移，即：d d(x-x x,y-h h)=h(x-x x,y-h h)这样的系统称为这样的系统称为线性空不变系统线性空不变系统。线性不变系统线性不变系统 频域：频域：G(fx,fy)=F(fx,fy)H(fx,fy)传递函数传递函数输出频谱输出频谱输入频谱输入频谱脉冲响应函数的脉冲响应函数的F.T.称为称为传递函数传递函数=h(x,y)线性空不变系统的输入输出关系：线性空不变系统的输入输出关系：空域：空域：抽样定理抽样定理抽样定理：抽样定理：若函数若函数g(x,y)不包括高于不包括高于Bx 和和By 的频率分量的频率分量,则此函则此函数可以由一系列间隔数可以由一系列间隔(X,Y)等于或小于等于或小于1/(2Bx)和和1/(2By)处的函数值完全决定处的函数值完全决定.原函数抽样时原函数抽样时,在在x方向和方向和y方向抽样点的最大间隔方向抽样点的最大间隔 X 1/(2 Bx)和和Y 1/(2 By)，称为称为奈奎斯特奈奎斯特(Niquest)间隔间隔.或者说，抽样频率不能低于或者说，抽样频率不能低于2Bx和和2By平面波的空间频率平面波的空间频率 u(P,t)=a(P)cos2pnt-j(P)对于携带信息的光波对于携带信息的光波,感兴趣的是其空间变化部分感兴趣的是其空间变化部分.故引入复振幅故引入复振幅U(P):将光场用复数表示将光场用复数表示,有利于将时空变量分开、简化运算有利于将时空变量分开、简化运算:=ea(P)e jj(P).e-j2pnt U(P)=a(P)e jj(P)U(P)同时表征了空间各点的同时表征了空间各点的振幅振幅|U(P)|=|a(P)|和相对位相和相对位相arg(U)=j j(P)对于单色平面波，对于单色平面波，j(P)=k.r对于单色球面波，对于单色球面波，j(P)=kr平面波在平面波在x和和y方向的方向的空间频率空间频率分别为分别为:cosa a,cosb b 为波为波矢的方向余弦矢的方向余弦复振幅变化空间周期的倒数称为复振幅变化空间周期的倒数称为空间频率空间频率菲涅耳衍射的三种表示菲涅耳衍射的三种表示U(x0,y0)*hF(x,y)=U(x,y)F.T.F.T.F.T.A0(fx,fy)HF(fx,fy)=A(fx,fy)F.T.表达表达 U(x,y)F.T.空域空域孔径平面孔径平面 脉冲响应脉冲响应观察平面观察平面频域频域菲涅耳衍射菲涅耳衍射（求衍射场的表达式及其强度分布的近似方法）求衍射场的表达式及其强度分布的近似方法）菲涅耳衍射等效于线性空不变系统菲涅耳衍射等效于线性空不变系统系统的脉冲响应是系统的脉冲响应是:系统的传递函数是系统的传递函数是:exp(jkz)exp-jplz(fx2+fy2)夫琅禾费衍射夫琅禾费衍射除了一个与传播距离除了一个与传播距离z及观察面坐标有关的位相因子以外及观察面坐标有关的位相因子以外,在给在给定距离定距离z的平面上衍射场的分布正比于衍射屏透射光场的傅里的平面上衍射场的分布正比于衍射屏透射光场的傅里叶变换叶变换,其其振幅振幅及及变换的尺度变换的尺度与距离与距离z有关有关.衍射图样的光强分布衍射图样的光强分布:正比于孔径透射函数的功率谱正比于孔径透射函数的功率谱:衍射图样的复振幅分布：衍射图样的复振幅分布：透镜的位相变换作用透镜的位相变换作用定义透镜的复定义透镜的复振幅透过率振幅透过率:P2面是会聚球面波分布面是会聚球面波分布:P1P2qpS S S S SSx-yO1O2zP1面是发散球面波分布：面是发散球面波分布：透镜的相位透镜的相位变换因子变换因子：透镜的傅里叶变换性质透镜的傅里叶变换性质 不管衍射物体位于何种位置，只要观察面是照明光源的共轭不管衍射物体位于何种位置，只要观察面是照明光源的共轭面，则物面（输入面）和观察面（输出面）之间的关系都是傅里面，则物面（输入面）和观察面（输出面）之间的关系都是傅里叶变换关系，即观察面上的衍射场都是夫琅和费型。叶变换关系，即观察面上的衍射场都是夫琅和费型。我们特别关注物在透镜前焦面我们特别关注物在透镜前焦面,平面波照明（平面波照明（q=f,dq=f,d0 0=f=f）的特殊情形。此时的特殊情形。此时 用单色平面波照明物体，用单色平面波照明物体，物体置于透镜的前焦面，则在物体置于透镜的前焦面，则在透镜的后焦面上得到物体的准确的傅里叶变换。透镜的后焦面上得到物体的准确的傅里叶变换。透镜的后焦透镜的后焦面称为频谱面。面称为频谱面。132若成像系统的若成像系统的像像质仅受有限大小光瞳的衍射效应所限制质仅受有限大小光瞳的衍射效应所限制,则称为则称为“衍射受限衍射受限”系统系统(diffraction-limited system)衍射受限的衍射受限的相干成像系统点扩展函数相干成像系统点扩展函数是是光瞳函数的光瞳函数的傅里叶变换傅里叶变换衍射受限系统衍射受限系统 线性空不变的成像系统线性空不变的成像系统像的复振幅分布像的复振幅分布是是几何光学理想几何光学理想像像和和系统点扩展函数系统点扩展函数的的卷积卷积：衍射受限的成像系统衍射受限的成像系统相干传递函数相干传递函数:相干成像系统点扩展函数相干成像系统点扩展函数的傅里叶变换的傅里叶变换Hc 与系统结构与系统结构 参数的关系参数的关系:对于实际光学系统，有一个由光瞳大小决定的有限对于实际光学系统，有一个由光瞳大小决定的有限通频带。比例变化通频带。比例变化(difx,dify)决定了决定了截止频率截止频率f0.Hc(fx,fy)=h(xi,yi)非非相干成像系统点扩展函数相干成像系统点扩展函数，也称为，也称为强度脉冲响应、强度强度脉冲响应、强度点扩展函数，是点物产生的衍射斑的强度分布。点扩展函数，是点物产生的衍射斑的强度分布。强度点扩展函数与强度点扩展函数与相干成像相干成像系统点扩展函数的关系：系统点扩展函数的关系：非相干成像的物像关系非相干成像的物像关系:光学传递函数（光学传递函数（OTF）:强度点扩展函数的归一化频谱强度点扩展函数的归一化频谱OTF的一般性质的一般性质1 (0,0)=13|(fx,fy)|(0,0)|2 *(fx,fy)=(-(-fx,-fy),即即 (fx,fy)是厄米函数。是厄米函数。实偶函数的实偶函数的F.T.是实偶函数是实偶函数 4.(fx,fy)一般为复函数一般为复函数,可写为可写为 (fx,fy)=fx,fy)|e jf f(fx,fy)调制传递函数调制传递函数（MTF）：）：光学传递函数的模，即光学传递函数的模，即|(fx,fy)|像的调制度像的调制度V的定义的定义:IM:最大光强最大光强;Im:最小光强最小光强对于中心对称的光瞳对于中心对称的光瞳(光瞳函数为实偶函数光瞳函数为实偶函数),OTF=MTF.空频为空频为f0,调制度为调制度为m的余弦条纹，经过非相干成像系统后的余弦条纹，经过非相干成像系统后,成为成为空频空频f0,调制度为调制度为 m|OTF|fx=f0的余弦条纹的余弦条纹.这也是这也是OTF的物理意义的物理意义由于由于|MTF|MTF(0,0)|=1,所以成像后的对比度一定下降。所以成像后的对比度一定下降。全息的基本的思路全息的基本的思路物物光光:O,O,参参考考光光:R;R;二二者者干干涉涉后后形形成成干干涉涉条条纹纹的的光光强强度度 I I：I I (O+R)(O+R)(O*+R*)(O*+R*)将二波干涉图样记录下来就成为全息图。将二波干涉图样记录下来就成为全息图。全全息息图图的的复复振振幅幅透透过过率率:t t (O+R)(O+R)(O*+R*).(O*+R*).展展开开后后有有4 4项项,我们关注其中的我们关注其中的2 2项：项：R*OR*O和和RO*.RO*.平面波形成的全息图称为全息光栅全息光栅平面波与球面波，或球面波与球面波，形成的全息图称为全息波带片全息波带片设读出的照明光为C,则包含初始物光波的项CR*O称为原始像原始像项,包含物光波的复共轭的项CRO*称为共轭像共轭像项。全息图的分类全息图的分类 按记录介质的厚度分类按记录介质的厚度分类:薄（平面型）全息图薄（平面型）全息图厚（体积厚（体积厚（体积厚（体积型）全息图型）全息图型）全息图型）全息图 按透射率函数的性质分类按透射率函数的性质分类:振幅型振幅型 位相型位相型 混合型混合型 按记录和再现的光路配置分按记录和再现的光路配置分类：类：透射型透射型反射型反射型 按再现照明条件分类：按再现照明条件分类：激光再现激光再现白光再现白光再现 按记录介质相对物体的位置按记录介质相对物体的位置分类：分类：菲涅耳全息图菲涅耳全息图菲涅耳全息图菲涅耳全息图（记录介（记录介质相对物体的距离满足菲涅质相对物体的距离满足菲涅耳近似，得到的全息图）耳近似，得到的全息图）像面全息图像面全息图夫琅和费全息图夫琅和费全息图傅里叶变换全息图傅里叶变换全息图傅里叶变换全息图傅里叶变换全息图（利（利用透镜的傅里叶变换性质，用透镜的傅里叶变换性质，产生物体的频谱，并引入参产生物体的频谱，并引入参考波与之干涉，得到的全息考波与之干涉，得到的全息图）图）相干光学信息处理相干光学信息处理最基本的系统：最基本的系统：4f系统系统准直准直变换变换成像成像 滤波器滤波器空间滤波空间滤波空间滤波空间滤波：在频谱面放置滤波器，改变物的空间频：在频谱面放置滤波器，改变物的空间频：在频谱面放置滤波器，改变物的空间频：在频谱面放置滤波器，改变物的空间频谱结构谱结构谱结构谱结构,进而改变像的分布进而改变像的分布进而改变像的分布进而改变像的分布低通滤波器低通滤波器:允许通过的频率有一上限允许通过的频率有一上限截止频率截止频率f0在在|频率频率|f0 的区间内信号能无畸变地通过的区间内信号能无畸变地通过,此外全部阻塞此外全部阻塞.高通滤波器高通滤波器:允许通过的频率有一下限允许通过的频率有一下限带通滤波器带通滤波器:只通过某特定频带内的频率分量只通过某特定频带内的频率分量 滤波器的分类和应用举例滤波器的分类和应用举例简单的振幅滤波器简单的振幅滤波器简单的振幅滤波器简单的振幅滤波器复杂的滤波器复杂的滤波器复杂的滤波器复杂的滤波器低通滤波器低通滤波器:允许通过的频率有一上限允许通过的频率有一上限截止频率截止频率f0在在|频率频率|0,上式代表从 S 发散的球面波.如果 z Wg，那，那么要使自相关和互相关分么要使自相关和互相关分开，应满足开，应满足 2WgWh+WgWh+Wg2WhYY7-3在照相时，若照片的模糊只是由于物体在曝光过程中的匀在照相时，若照片的模糊只是由于物体在曝光过程中的匀速直线运动造成的，运动的结果使像点在底片上的位移为速直线运动造成的，运动的结果使像点在底片上的位移为0.5mm。试写出造成模糊的点扩展函数；如果要对该相片进。试写出造成模糊的点扩展函数；如果要对该相片进行逍模糊处理，试写出逆滤波器的透过率函数。行逍模糊处理，试写出逆滤波器的透过率函数。解：由于物体做匀速运动，一个点便模糊成一条线，因此在归解：由于物体做匀速运动，一个点便模糊成一条线，因此在归一化条件下，具有模糊缺陷的点扩展函数：一化条件下，具有模糊缺陷的点扩展函数：其传递函数为：其传递函数为：其逆滤波器函数为：其逆滤波器函数为：