高数1全套公式-(1).pdf

一、三角函数一、三角函数 1公式公式 同角三角函数间的基本关系式：同角三角函数间的基本关系式：平方关系：sin2()+cos2()=1;tan2()+1=sec2();cot2()+1=csc2()商的关系：tan=sin/cos cot=cos/sin倒数关系：tancot=1;sincsc=1;cossec=1 三角函数恒等变形公式：三角函数恒等变形公式：两角和与差的三角函数：cos(+)=coscos-sinsincos(-)=coscos+sinsinsin()=sincoscossintan(+)=(tan+tan)/(1-tantan)tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan)倍角公式：sin(2)=2sincoscos(2)=cos2()-sin2()=2cos2()-1=1-2sin2()tan(2)=2tan/1-tan2()半角公式：sin2(/2)=(1-cos)/2cos2(/2)=(1+cos)/2tan2(/2)=(1-cos)/(1+cos)tan(/2)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin万能公式：sin=2tan(/2)/1+tan2(/2)cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2)tan=2tan(/2)/1-tan2(/2)积化和差公式：sincos=(1/2)sin(+)+sin(-)cossin=(1/2)sin(+)-sin(-)coscos=(1/2)cos(+)+cos(-)sinsin=-(1/2)cos(+)-cos(-)和差化积公式：sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2.sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2cos-cos=-2sin(+)/2sin(-)/22特殊角的三角函数值)(f0)0(o 6)30(o 4)45(o 3)60(o 2)90(ocos12/32/22/10sin02/12/22/31tan03/113不存在cot不存在313/10只需记住这两个特殊的直角三角形的边角关系，依照三角函数的定义即可推出上面的三角值 1。3 诱导公式：函数角 Asincostgctg-sincos-tg-ctg90-cossinctgtg90+cos-sin-ctg-tg180-sin-cos-tg-ctg180+-sin-costgctg270-cos-sinctgtg270+-cossin-ctg-tg360-sincos-tg-ctg360+sincostgctg记忆规律：竖变横不变（奇变偶不变），符号看象限（一全，二正弦割，三切，四余弦割即第一象限全是正的，第二象限正弦、正割是正的，第三象限正切是正的，第四象限余弦、余割是正的）二、一元二次函数、方程和不等式二、一元二次函数、方程和不等式acb42000)0(2一元二次函数acbxaxy 2.1x1o4521o4512o30o6032x1x.02cbxax一元二次方程aacbbx2422,1有二互异实根abx2)(2,1有一根有二相等实根无实根02cbxax2121)(xxxxxx或abx2Rx)0(式等不次二元一a02cbxax21xxxxx三、三、因式分解与乘法公式因式分解与乘法公式22222222332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(abab abaabbabaabbababab aabbabab aabbaa babbabaa babbababcabbcca21221)(9)()(),(2)nnnnnnabcabab aababbnL四、等差数列和等比数列四、等差数列和等比数列11111 22nnnnaandn aan nnSSnad1.等差数列 通项公式：前项和公式或1100nnnGPaa qaq2.等比数列 通项公式，11.1111nnnaqqSqnaq前项和公式五、常用几何公式五、常用几何公式.平面图形平面图形名称符号周长 C 和面积 S正方形a边长C4aSa2长方形a 和 b边长C2(a+b)Sab三角形a,b,c三边长ha 边上的高s周长的一半A,B,C内角其中 s(a+b+c)/2Sah/2 ab/2sinC s(s-a)(s-b)(s-c)1/2 a2sinBsinC/(2sinA)平行四边形a,b边长ha 边的高两边夹角Sah absin菱形a边长夹角D长对角线长d短对角线长SDd/2 a2sin梯形a 和 b上、下底长h高m中位线长S(a+b)h/2 mh圆r半径d直径Cd2rSr2 d2/4扇形r扇形半径a圆心角度数C2r2r(a/360)Sr2(a/360)圆环R外圆半径r内圆半径D外圆直径d内圆直径S(R2-r2)(D2-d2)/4椭圆D长轴d短轴SDd/4立方图形立方图形名称符号表面积 S 和体积 V正方体a边长S6a2Va3长方体a长S2(ab+ac+bc).b宽c高Vabc圆柱r底半径h高C底面周长S底底面积S侧侧面积S表表面积C2rS底r2S侧ChS表Ch+2S底=Ch+2r2VS底h r2h圆锥r底半径h高Vr2h/3球r半径d直径V4/3r3d3/6S=4r2d2基本初等函数基本初等函数名称表达式定义域 图 形 特 性常数函数Cy RyC0 x幂函数xy 随而异，但在上R均有定义00.20.40.60.811.21.41.61.800.20.40.60.811.21.41.61.8y=xy=x-1y=x1/3y=x-2y=x3过点(1，1);时在0R单增；时在0R单减 指 数 函 数10aaayxR-2.5-2-1.5-1-0.500.511522.5-0.500.511.522.533.544.5(0,1)y=axy=axx0a10a1O(1,0)xy过点1,0 单增1a 单减 10 aloglog1,log 10,0logloglog,logloglog,loglog,loglog0,1,loglog(0)(0)aaaaaaaaapaacacxaxaM NMNMNMMNNMPMbbcaax xax x 正 弦 函 数xysin R-/2Oxy1-1/23/22奇函数 2T1y 余 弦 函 数xycos ROxy1-1/23/22-/2偶函数 2T1y 正 切 函 数xytan2 kx ZkOxy/2-/2奇函数T在每个周期内单增 余 切 函 数xycot,kxZk-Oyx奇函数T在每个周期内单减.反 正 弦 函 数xyarcsin1,1-/2/21-1yxo奇函数单增22y 反 余 弦 函 数xyarccos1,1/21-1yxo单减 y0 反 正 切 函 数 xyarctanR/2-/2yxo奇函数单增22y 反 余 切 函 数xycotarc Ryxo/2单减 y0极限的计算方法极限的计算方法一、初等函数：一、初等函数：1.lim(2.lim0lim0,:lim03.lim0,:0lim004.lim00CC Cf xMf xf xf xCCf xf xMf xCf xC CCCC是常值函数）若（即是有界量）即是无穷小量），特别若（即是有界量）特别.5.010.,.(sin,1,ln1 )xABxx exxx未定式型分子分母含有相同的零因式消去零因式等价无穷小替换常用 .,lim,limlimfxf xfxCfxgxgxg xgx洛必达法则：要求存在且存在此时 2.,.,.ABC型忽略掉分子分母中可以忽略掉的较低阶的无穷大保留最高阶的无穷大再化简计算分子分母同除以最高阶无穷大后再化简计算洛必达法则 型型或转化为数有理化通过分式通分或无理函型00,3 00100104转化为 .1lim17060051000或求对数来计算通过型型型求对数求对数exxx 二、分段函数：二、分段函数：,.分段点的极限用左右极限的定义来求解基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式(1)，是常数0)(CC(2)1)(xx(3)，特别地，当时，aaaxxln)(ea xxee(4)，特别地，当时，axxaln1)(logea xx1ln(5)xxcos)(sin(6)xxsin)(cos(7)xxx22seccos1)(tan(8)xxx22cscsin1)(cot(9)xxxtan)(sec)(sec.(10)xxxcot)(csc)(csc(11)(arcsin x211x(12)211)(arccosxx(13)211)(arctanxx(14)21(arccot)1xx 基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式(1)、(为常数)；0dc c(2)、(为任意常数)；1()d xxdx(3)、，特别地，当时，；()lnxxd aaadxea()xxd ee dx(4)、，特别地，当时，；1(log)lnadxdxxaea 1(ln)dxdxx(5)、；(sin)cosdxxdx(6)、；(cos)sindxxdx(7)、；2(tan)secdxxdx(8)、；2(cot)cscdxxdx(9)、；(sec)sec tandxxxdx(10)、；(csc)csc cotdxxxdx(11)、；21(arcsin)1dxdxx(12)、；21(arccos)1dxdxx(13)、；21(arctan)1dxdxx(14)、21(cot)1d arcxdxx 曲线曲线的切线方程的切线方程000()()yyfxxx幂指函数的导数幂指函数的导数.极限、可导、可微、连续之间的关系极限、可导、可微、连续之间的关系极限连续可导可微条件 A 条件 B，A 为 B 的充分条件条件 B 条件 A，A 为 B 的必要条件条件 A 条件 B，A 和 B 互为充分必要条件边际分析边际分析边际成本 MC=；边际收益 MR=；()C q()R q边际利润 ML=，=MRMC()L q()()()L qR qC q弹性分析弹性分析在点处的弹性，)(xfy 0 x特别的，需求价格弹性：()EDpD pEpD罗尔定理罗尔定理若函数满足：(1)在闭区间连续；)(xf,ba(2)在开区间可导；),(ba(3)，则在内至少存在一点，使)()(bfaf),(ba0)(f拉格朗日定理拉格朗日定理设函数满足:)(xf (1)在闭区间连续；,ba(2)在开区间可导，),(ba则在上至少存在一点，使得),(baabafbff)()()(基本积分公式基本积分公式(1)0dxC(2)特别地：kCkxkdxdxxC lnv xv xuxu xu xvxu xv xu x0000()x xxEyy xExy.(3)111Cxdxx(4)（有时绝对值符号也可忽略不写）Cxdxx|ln1(5)Caadxaxxln(6)Cedxexx(7)Cxxdxsincos(8)Cxxdxcossin(9)Cxxdxxdxtanseccos22(10)Cxxdxxdxcotcscsin22(11)Cxxdxxsectansec(12)Cxxdxxcsccotcsc(13)（或）Cxxdxarctan12Cxarcxdxcot12(14)（或）Cxxdxarcsin12Cxxdxarccos12(15)，Cxxdx|cos|lntan(16)，Cxxdx|sin|lncot(17)，Cxxxdx|tansec|lnsec(18)，Cxxdxx|cotcsc|lncot(19)，Caxaxadxarctan122)0(a(20)，Caxaxaxadxln2122(0)a(21)，Caxxadxarcsin22)0(a(22)，Caxxaxdx2222ln)0(a常用凑微分公式常用凑微分公式(1)、0,1ababaxdadx.xy0ab()yg x()yf xy0 xcd()xy()xy(2)、221xdxdx(3)、xddxx112(4)、xddxx21(5)、xddxxln1(6)、xxdedxe(7)、sincosxdxdx(8)、xdxdxsincos(9)、xdxdxtansec2(10)、xdxdxcotcsc2(11)、21arcsin1dxdxx(12)、xddxxarctan112一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程的通解的通解为()()()P x dxP x dxyeQ x edxC平面图形面积的平面图形面积的计算公式计算公式 1)区域 D 由连续曲线 和直线 x=a,x=b 围成,其中 （右图）2)区域 D 由连续曲线 和直线 x=c,x=d 围成,其中()()dyP x yQ xdx()()()f xg x axb()()baAg xf x dxD 的面积(),()yf xyg x(),()xy xy()()yycyd.（右图）平面图形绕旋转轴旋转得到的旋转体体积公式平面图形绕旋转轴旋转得到的旋转体体积公式 1、绕 x 轴的旋转体体积（右图）注意：此时的曲边梯形必须紧贴旋转轴 2、绕 y 轴的旋转体体积（右图）注意：此时的曲边梯形必须紧贴旋转轴 由边际函数求总函数由边际函数求总函数 000()()(0)qC qf x dxCCC为固定成本）0()()qR qg x dx总利润函数为。00()()()()()qL qR qC qg xf x dxC多元复合函数的导数公式多元复合函数的导数公式设函数 u=(x,y)、v=(x,y)在点(x，y)有偏导数，函数 z=f(u,v)在对应点(u,v)处可微，则复合函数 z=f(x,y),(x,y)在点(x，y)的偏导数,.zzuzvzzuzvxuxvxyuyvy两个特例：z=f(u,v)，：(),()ut vtdzz duu dvdtu dtv dtz=f(u)，u=u(x,y)：(),().zdzuuzdzuuf uf uxduxxyduyy隐函数导数公式隐函数导数公式二元方程所确定的隐函数：(,)0F x y xyFdydxF()()dcAyy dyD 的面积 2()bxaVfx dx2()dycVgy dy.三元方程 F(x,y,z)=0 所确定的二元隐函数：，xzFzxF yzFzyF 1.确定函数定义域的主要依据：(1)当 f(x)是整式时，定义域为 R；(2)当 f(x)是分式时，定义域是使分母不等于 0 的 x 取值的集合；(3)当 f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负值的 x 取值的集合；(4)当 f(x)是零指数幂或负数指数幂时，定义域是使幂的底数非零或大于 0 的 x 取值范围；(5)当 f(x)是对数式时，定义域是使真数大于 0 的 x 取值的集合；(6)正切函数的定义域是；余切函数的定义域是x|xk，kZ；Zkkxx,2|(7)当 f(x)表示实际问题中的函数关系时还应考虑在此实际问题中 x 取值的实际意义.2.求函数值域常用的方法有配方、换元、不等式、判别式、图像法等等.单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善 教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。