018数学总复习全套讲义108.pdf

天天向上1/202高中数学复习讲义高中数学复习讲义 第一章第一章 集合与简易逻辑集合与简易逻辑第第 1 1 课时课时 集合的概念及运算集合的概念及运算【考点导读】1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义3.理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用4.集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想【基础练习】1.集合(,)02,02,x yxyx yZ用列举法表2.设集合21,Ax xkkZ，2,Bx xk kZ，则AB3.已知集合0,1,2M，2,Nx xa aM，则集合MN_4.设全集1,3,5,7,9I，集合1,5,9Aa，5,7IC A，则实数a的值为_【范例解析】例.已知R为实数集，集合2320Ax xx.若RBC AR，01RBC Axx或23x，求集合B.【反馈演练】1设集合 2,1A，3,2,1B，4,3,2C，则CBAU=_2设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=,5,2,0,|PQbPaba若6,2,1Q，则P+Q中元素的个数是_个3设集合260Px xx，23Qxaxa.（1）若PQP，求实数a的取值范围；天天向上2/202（2）若PQ，求实数a的取值范围；（3）若 03PQxx，求实数a的值.第第 3 3 课时课时 充分条件和必要条件充分条件和必要条件【考点导读】1.理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；会判断充分条件，必要条件和充要条件2.从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论：若集合PQ，则P是Q的充分条件；若集合PQ，则P是Q的必要条件；若集合PQ，则P是Q的充要条件3.会证明简单的充要条件的命题，进一步增强逻辑思维能力【基础练习】1.若pq，则p是q的充分条件若qp，则p是q的必要条件若pq，则p是q的充要条件2.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.（1）已知:2p x，:2q x，那么p是q的_充分不必要_条件（2）已知:p两直线平行，:q内错角相等，那么p是q的_充要_条件（3）已知:p四边形的四条边相等，:q四边形是正方形，那么p是q的_必要不充分_条件3.若xR，则1x 的一个必要不充分条件是0 x【范例解析】例.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.天天向上3/202（1）2,2.xy是4,4.xyxy的_条件；（2）(4)(1)0 xx是401xx的_条件；（3）是tantan的_条件；（4）3xy是1x 或2y 的_条件.分析：从集合观点“小范围大范围”进行理解判断，注意特殊值的使用.点评：判断p是q的什么条件，实际上是判断“若p则q”和它的逆命题“若q则p”的真假，若原命题为真，逆命题为假，则p为q的充分不必要条件；若原命题为假，逆命题为真，则p为q的必要不充分条件；若原命题为真，逆命题为真，则p为q的充要条件；若原命题，逆命题均为假，则p为q的既不充分也不必要条件.在判断时注意反例法的应用.在判断“若p则q”的真假困难时，则可以判断它的逆否命题“若q则p”的真假.【反馈演练】1设集合30|xxM，20|xxN，则“Ma”是“Na”的_ 条件2已知p1x2，q：x(x3)0，则p是q的 条件3已知条件2:10p AxR xax，条件2:320q BxR xx若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围天天向上4/20220122012 高中数学复习讲义高中数学复习讲义 第二章第二章 函数函数 A A【知识导读】【方法点拨】函数是中学数学中最重要，最基础的内容之一，是学习高等数学的基础高中函数以具体的幂函数，指数函数，对数函数和三角函数的概念，性质和图像为主要研究对象，适当研究分段函数，含绝对值的函数和抽象函数；同时要对初中所学二次函数作深入理解1.活用“定义法”解题定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点利用定义，可直接判断所给的对应是否满足函数的条件，证明或判断函数的单调性和奇偶性等2.重视“数形结合思想”渗透“数缺形时少直观，形缺数时难入微”当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议：画个图像！利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题3.强化“分类讨论思想”应用分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”4.掌握“函数与方程思想”函数与方程思想是最重要，最基本的数学思想方法之一，它在整个高中数学中的地位与作用很高函数的思想包括运用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题映射特殊化函数具体化一般化概念图像表 示 方 法定义域 值域单调性 奇偶性基本初等函数幂函数指数函数对数函数二次函数指数对数互 逆函数与方程应用问题天天向上5/202第第 1 1 课课 函数的概念函数的概念【考点导读】1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上，通过集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域2.准确理解函数的概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数【基础练习】1设有函数组：yx，2yx；yx，33yx；yx，xyx；1(0),1(0),xyx，xyx；lg1yx，lg10 xy 其中表示同一个函数的有_ 2.设集合 02Mxx，02Nyy，从M到N有四种对应如图所示：其中能表示为M到N的函数关系的有_ 3.写出下列函数定义域：(1)()1 3f xx 的定义域为_；(2)21()1f xx的定义域为_；(3)1()1f xxx 的定义域为_；(4)0(1)()xf xxx的定义域为_4已知三个函数:(1)()()P xyQ x；(2)2()nyP x(*)nN；(3)()log()Q xyP x写出使各函数式有意义时)P x，()Q x的约束条件：(1)_；(2)_；(3)_5.写出下列函数值域：(1)2()f xxx，1,2,3x；122xyOy122xO122xOy122xOy天天向上6/202(2)2()22f xxx；(3)()1f xx，(1,2x 【范例解析】例 1.设有函数组：21()1xf xx，()1g xx；()11f xxx，2()1g xx；2()21f xxx，()1g xx；()21f xx，()21g tt其中表示同一个函数的有 分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看函数的三要素是否相同例 2.求下列函数的定义域：2112yxx；12()log(2)xf xx；例 3.求下列函数的值域：（1）242yxx，0,3)x；（2）221xyx()xR；（3）21yxx【反馈演练】1函数 f(x)x21的定义域是_2函数)34(log1)(22xxxf的定义域为_3.函数21()1yxRx的值域为_天天向上7/2024.函数23134yxx 的值域为_5函数)34(log25.0 xxy的定义域为_6.记函数 f(x)=132xx的定义域为 A，g(x)=lg(xa1)(2ax)(a1)的定义域为 B(1)求 A；(2)若 BA，求实数 a 的取值范围第第 2 2 课课 函数的表示方法函数的表示方法【考点导读】1.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法，列表法，解析法）表示函数2.求解析式一般有四种情况：（1）根据某个实际问题须建立一种函数关系式；（2）给出函数特征，利用待定系数法求解析式；（3）换元法求解析式；（4）解方程组法求解析式【基础练习】1.设函数()23f xx，()35g xx，则()f g x_；()g f x_2.设函数1()1f xx，2()2g xx,则(1)g _；(2)f g；()f g x3.已知函数()f x是一次函数，且(3)7f，(5)1f,则(1)f_第 5 题天天向上8/2024.设 f(x)2|1|2,|1,1,|11xxxx，则 ff(21)_5.如图所示的图象所表示的函数解析式为_【范例解析】例 1.已知二次函数()yf x的最小值等于 4，且(0)(2)6ff，求()f x的解析式分析：给出函数特征，可用待定系数法求解例 2.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是 2km，甲 10 时出发前往乙家如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程 y（km）与时间 x（分）的关系试写出()yf x的函数解析式分析：理解题意，根据图像待定系数法求解析式【反馈演练】1若()2xxeef x，()2xxeeg x，则(2)fx（）2()f x2()()f xg x2()g x 2()()f xg x2已知1(1)232fxx，且()6f m，则 m 等于_3.已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称，且 f(x)x22x求函数 g(x)的解析式xyO123410 20 30 40 50 60例 2天天向上9/202第第 3 3 课课 函数的单调性函数的单调性【考点导读】1.理解函数单调性，最大（小）值及其几何意义；2.会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性【基础练习】1.下列函数中：1()f xx；221f xxx；()f xx；()1f xx其中，在区间(0，2)上是递增函数的序号有_2.函数yx x的递增区间是_ _3.函数223yxx的递减区间是_4.已知函数()yf x在定义域 R 上是单调减函数，且(1)(2)f afa，则实数 a 的取值范围_5.已知下列命题：定义在R上的函数()f x满足(2)(1)ff，则函数()f x是R上的增函数；定义在R上的函数()f x满足(2)(1)ff，则函数()f x在R上不是减函数；定义在R上的函数()f x在区间(,0上是增函数，在区间0,)上也是增函数，则函数()f x在R上是增函数；定义在R上的函数()f x在区间(,0上是增函数，在区间(0,)上也是增函数，则函数()f x在R上是增函数其中正确命题的序号有_【范例解析】例.求证：（1）函数2()231f xxx 在区间3(,4上是单调递增函数；（2）函数21()1xf xx在区间(,1)和(1,)上都是单调递增函数例 2.确定函数1()1 2f xx的单调性【反馈演练】天天向上10/2021已知函数1()21xf x，则该函数在R上单调递_，（填“增”“减”）值域为_2已知函数2()45f xxmx在(,2)上是减函数，在(2,)上是增函数，则(1)f_.3.函数22yxx的单调递增区间为.4.函数2()1f xxx的单调递减区间为 5.已知函数1()2axf xx在区间(2,)上是增函数，求实数 a 的取值范围第第 4 4 课课 函数的奇偶性函数的奇偶性【考点导读】1.了解函数奇偶性的含义，能利用定义判断一些简单函数的奇偶性；2.定义域对奇偶性的影响：定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要但不充分条件；不具备上述对称性的，既不是奇函数，也不是偶函数【基础练习】天天向上11/2021.给出 4 个函数：5()5f xxx；421()xf xx；()25f xx；()xxf xee其中奇函数的有_；偶函数的有_；既不是奇函数也不是偶函数的有_2.设函数 xaxxxf1为奇函数，则实数a 3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A.Rxxy,3 B.Rxxy,sin C.Rxxy,D.Rxxy,)21(【范例解析】例 1.判断下列函数的奇偶性：（1）2(12)()2xxf x；（2）2()lg(1)f xxx；（3）221()lglgf xxx；（4）1()(1)1xf xxx；（5）2)11f xxx；（6）22(0),()(0).xx xf xxxx例 2.已知定义在R上的函数()f x是奇函数，且当0 x 时，2()22f xxx，求函数()f x的解析式，并指出它的单调区间点评：（1）求解析式时0 x 的情况不能漏；（2）两个单调区间之间一般不用“”连接；（3）利用奇偶性求解析式一般是通过“x”实现转化；（4）根据图像写单调区间【反馈演练】天天向上12/2021已知定义域为 R 的函数 xf在区间,8上为减函数，且函数8xfy为偶函数，则（）A 76ff B 96ff C 97ff D 107ff2.在R上定义的函数 xf是偶函数，且 xfxf2，若 xf在区间 21是减函数，则函数 xf（）A.在区间1,2 上是增函数，区间 4,3上是增函数B.在区间1,2 上是增函数，区间 4,3上是减函数C.在区间1,2 上是减函数，区间 4,3上是增函数D.在区间1,2 上是减函数，区间 4,3上是减函数3.设3,21,1,1，则使函数xy 的定义域为 R 且为奇函数的所有的值为_4设函数)(Rxxf为奇函数，),2()()2(,21)1(fxfxff则)5(f_5若函数)(xf是定义在 R 上的偶函数，在0,(上是减函数，且0)2(f，则使得0)(xf的 x 的取值范围是 6.已知函数21()axf xbxc(,)a b cZ是奇函数又(1)2f，(2)3f求 a，b，c 的值；第第 5 5 课课 函数的图像函数的图像天天向上13/202【考点导读】1.掌握基本初等函数的图像特征，学会运用函数的图像理解和研究函数的性质；2.掌握画图像的基本方法：描点法和图像变换法【基础练习】1.根据下列各函数式的变换，在箭头上填写对应函数图像的变换：（1）2xy 12xy 123xy；（2）2logyx 2log()yx 2log(3)yx2.作出下列各个函数图像的示意图：（1）31xy；（2）2log(2)yx；（3）21xyx3.作出下列各个函数图像的示意图：（1）12log()yx；（2）1()2xy ；（3）12logyx；（4）21yx解：（1）作12logyx的图像关于 y 轴的对称图像，如图 1 所示；（2）作1()2xy 的图像关于 x 轴的对称图像，如图 2 所示；（3）作12logyx的图像及它关于 y 轴的对称图像，如图 3 所示；（4）作21yx的图像，并将 x 轴下方的部分翻折到 x 轴上方，如图 4 所示1Oyx图 11Oyx图 21Oyx图 31向右平移 1 个单位向上平移 3 个单位作关于 y 轴对称的图形向右平移 3 个单位1Oyx图 4天天向上14/2024.函数()|1|f xx的图象是（）【范例解析】例 1.作出函数2()223f xxx 及()fx，()f x，(2)f x，()f x，()fx的图像分析：根据图像变换得到相应函数的图像例 2.设函数54)(2xxxf.（1）在区间6,2上画出函数)(xf的图像；（2）设集合),64,02,(,5)(UUBxfxA.试判断集合A和B之间的关系，并给出证明.A1xyOB1xyOC1xyOD1xyO-1-1-1-11111天天向上15/202【反馈演练】1函数111xy的图象是（）2.为了得到函数xy)31(3的图象，可以把函数xy)31(的图象 得到3已知函数kxyxy与41log的图象有公共点 A，且点 A 的横坐标为 2，则k=4设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 y=f(x)的图象关于直线21x对称，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=_ 5.作出下列函数的简图：（1）2(1)yxx；（2）21xy；（3）2log 21yxOyx11COy11DxOyx11AOy11Bx天天向上16/20220122012 高中数学复习讲义高中数学复习讲义 第二章第二章 函数函数 B B第第 6 6 课课 二次函数二次函数【考点导读】1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的图像和性质；2.能结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系【基础练习】1.已知二次函数232yxx,则其图像的开口向_；对称轴方程为 ；顶点坐标为 ，与x轴的交点坐标为(1,0),(2,0)，最小值为142.二次函数2223yxmxm 的图像的对称轴为20 x,则m _，顶点坐标为，递增区间为，递减区间为3.函数221yxx的零点为4.实系数方程20(0)axbxca两实根异号的充要条件为 ；有两正根的充要条件为 ；有两负根的充要条件为5.已知函数2()23f xxx在区间0,m上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围是_【范例解析】例 1.设a为实数，函数1|)(2axxxf，Rx（1）讨论)(xf的奇偶性；（2）若2a 时，求)(xf的最小值例 2.函数()f x212axxa()aR在区间 2,2的最大值记为)(ag，求)(ag的表达式分析：二次函数在给定区间上求最值，重点研究其在所给区间上的单调性情况【反馈演练】1函数,02xcbxxy是单调函数的充要条件是2已知二次函数的图像顶点为(1,16)A，且图像在x轴上截得的线段长为 8，则此二次函数的解析式为天天向上17/2023.设0b，二次函数122abxaxy的图象为下列四图之一：则 a 的值为（）A1B1C251D2514若不等式210 xax 对于一切1(0,)2x成立，则 a 的取值范围是5.若关于 x 的方程240 xmx在 1,1有解，则实数 m 的取值范围是 6.已知函数2()223f xxax在 1,1有最小值，记作()g a（1）求()g a的表达式；（2）求()g a的最大值7.分别根据下列条件,求实数 a 的值：（1）函数2()21f xxaxa 在在0,1上有最大值 2；（2）函数2()21f xaxax在在 3,2上有最大值 48.已知函数2(),()f xxa xR（1）对任意12,x xR，比较121()()2f xf x与12()2xxf的大小；（2）若 1,1x 时，有()1f x，求实数 a 的取值范围天天向上18/202第第 7 7 课课 指数式与对数式指数式与对数式【考点导读】1.理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算性质；2.理解对数的概念，掌握对数的运算性质；3.能运用指数，对数的运算性质进行化简，求值，证明，并注意公式成立的前提条件；4.通过指数式与对数式的互化以及不同底的对数运算化为同底对数运算【基础练习】1.写出下列各式的值：(0,1)aa 2(3)；238 _；3481；log 1a_；logaa _；12log4 _2.化简下列各式：(0,0)ab（1）2111333324()3a ba b；（2）2222(2)()aaaa3.求值：（1）3512log(84)_；（2）33(lg2)3lg2 lg5(lg5)_；（3）234567log 3 log 4 log 5 log 6 log 7 log 8_【范例解析】例 1.化简求值：（1）若13aa，求1122aa及442248aaaa的值；（2）若3log 41x，求332222xxxx的值例 2.（1）求值：11lg9lg240212361lg27lg35；（2）已知2log 3m，3log 7n，求42log56（2）由2log 3m，得31log 2m；所以天天向上19/20233342333log 563log 2log 73log56log 421 3log 2log 71mnmmn 点评：在对数的求值过程中，应注意将对数化为同底的对数例 3.已知35abc，且112ab，求 c 的值【反馈演练】1若21025x，则10 x2设lg321a，则lg0.3213已知函数1()lg1xf xx，若()f ab，则()fa4设函数0,0,12)(,21xxxxfx若1)(0 xf，则 x0的取值范围是 5设已知 f(x6)=log2x，那么 f(8)等于6若618.03 a，)1,kka，则 k=_7已知函数21(0)()21(1)xccxxcf xcx，且89)(2cf（1）求实数 c 的值；（2）解不等式182)(xf第第 8 8 课课 幂函数、指数函数及其性质幂函数、指数函数及其性质【考点导读】1.了解幂函数的概念，结合函数yx，2yx，3yx，1yx，12yx的图像了解它们的变化情况；2.理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调天天向上20/202性；3.在解决实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型【基础练习】1.指数函数()(1)xf xa是 R 上的单调减函数，则实数 a 的取值范围是2.把函数()f x的图像分别沿 x 轴方向向左，沿 y 轴方向向下平移 2 个单位，得到()2xf x 的图像，则()f x 3.函数220.3x xy 的定义域为_；单调递增区间是 ；值域 是4.已知函数1()41xf xa是奇函数，则实数 a 的取值5.要使11()2xym的图像不经过第一象限，则实数 m 的取值范围6.已知函数21()1xf xa(0,1)aa过定点，则此定点坐标为【范例解析】例 1.比较各组值的大小：（1）0.20.4，0.20.2，0.22，1.62；（2）ba，ba，aa，其中01ab3）131()2，121()3例 2.已知定义域为R的函数12()2xxbf xa是奇函数,求,a b的值；例 3.已知函数2()(1)1xxf xaax，求证：（1）函数()f x在(1,)上是增函数；（2）方程()0f x 没有负根【反馈演练】1函数)10()(aaaxfx且对于任意的实数yx,都有（）A)()()(yfxfxyfB)()()(yfxfxyfC)()()(yfxfyxf D)()()(yfxfyxf2设713 x，则（）A2x1 B3x2 C1x0 D0 x1天天向上21/2023将 y=2x的图像()再作关于直线 y=x 对称的图像，可得到函数2log(1)yx的图像A先向左平行移动 1 个单位B先向右平行移动 1 个单位C先向上平行移动 1 个单位D 先向下平行移动 1 个单位4函数bxaxf)(的图象如图，其中 a、b 为常数，则下列结论正确的是（）A0,1baB0,1baC0,10ba D0,10ba5函数xay 在 1,0上的最大值与最小值的和为 3，则a的值为_6若关于 x 的方程4220 xxm有实数根，求实数 m 的取值范围7已知函数2()()(0,1)2xxaf xaaaaa（1）判断()f x的奇偶性；（2）若()f x在 R 上是单调递增函数，求实数 a 的取值范围第第 9 9 课课 对数函数及其性质对数函数及其性质【考点导读】1.理解对数函数的概念和意义，能画出具体对数函数的图像，探索并理解对数函数的单调性；2.在解决实际问题的过程中，体会对数函数是一类重要的函数模型；3.熟练运用分类讨论思想解决指数函数，对数函数的单调性问题【基础练习】1.函数)26(log21.0 xxy的单调递增区间是1O11xy第 4题天天向上22/2022.函数2()log 21f xx的单调减区间是【范例解析】例 1.（1）已知log(2)ayax在0,1是减函数，则实数a的取值范围是_（2）设函数2()lg()f xxaxa，给出下列命题：)(xf有最小值；当0a时，)(xf的值域为R；当40a 时，)(xf的定义域为R；若)(xf在区间),2 上单调递增，则实数a的取值范围是4a则其中正确命题的序号是_分析：注意定义域，真数大于零【反馈演练】1给出下列四个数：2(ln2)；ln(ln2)；ln2；ln2.其中值最大的序号是_.2设函数()log()(0,1)af xxb aa的图像过点(2,1)，(8,2)，则ab等于_ _3函数log(3)1(0,1)ayxaa的图象恒过定点A，则定点A的坐标是4函数 1,0)1(log)(在xaxfax上的最大值和最小值之和为 a，则 a 的值为5函数 1,341,442xxxxxxf的图象和函数 xxg2log的图象的交点个数有_个.6下列四个函数：lgyxx；lgyxx；lgyxx ；lgyxx .其中，函数图像只能是如图所示的序号为_.7求函数22()log 2log4xf xx,1,42x的最大值和最小值8已知函数()logaxbf xxb(0,1,0)aab（1）求()f x的定义域；（2）判断()f x的奇偶性；（3）讨论()f x的单调性，并证明第 6 题天天向上23/202第第 1010 课课 函数与方程函数与方程【考点导读】1.能利用二次函数的图像与判别式的正负，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数零点与方程根的联系2.能借助计算器用二分法求方程的近似解，并理解二分法的实质3.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法【基础练习】1.函数2()44f xxx在区间 4,1有_个零点2.已知函数()f x的图像是连续的，且x与()f x有如下的对应值表：x123456()f x2.33.401.33.43.4则()f x在区间1,6上的零点至少有_个【范例解析】例 1.()f x是定义在区间c，c上的奇函数，其图象如图所示：令()()g xaf xb，则下列关于函数()g x的结论：若 a0，则函数()g x的图象关于原点对称；若 a=1，2bbc，且 f（1）=0，证明 f（x）的图象与x 轴有 2 个交点.天天向上25/202第第 1111 课课 函数模型及其应用函数模型及其应用【考点导读】1.能根据实际问题的情境建立函数模型，结合对函数性质的研究，给出问题的解答2.理解数据拟合是用来对事物的发展规律进行估计的一种方法，会根据条件借助计算工具解决一些简单的实际问题3.培养学生数学地分析问题，探索问题，解决问题的能力【基础练习】1 今有一组实验数据如下：t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，2logvt 12logvt 212tv22vt其中最接近的一个的序号是_2.某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为 1 万元/辆，出厂价为 1.2 万元/辆，年销售量为 1000 辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为 x(0 x 1)，则出厂价相应的提高比例为 0.75x，同时预计年销售量增加的比例为 0.6x.已知年利润=(出厂价投入成本)年销售量.()写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式；()为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例 x 应在什么范围内？天天向上26/202（）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当.10,01000)12.1(xy即.10,020602xxx 解不等式得310 x.答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例 x 应满足 0 x R，的图象与y轴相交于点(03)，且该函数的最小正周期为（1）求和的值；（2）已知点02A，点P是该函数图象上一点，点00()Q xy，是PA的中点，当032y，02x，时，求0 x的值解：（1）将0 x，3y 代入函数2cos()yx得3cos2，因为02，所以6又因为该函数的最小正周期为，所以2，因此2cos 26yx（2）因为点02A，00()Q xy，是PA的中点，032y，所以点P的坐标为0232x，又因为点P在2cos 26yx的图象上，所以053cos 462x因为02x，所以075194666x，从而得0511466x或0513466x即023x或034xyx3OPA第 7 题天天向上45/202第第 6 6 课课 三角函数的图像和性质（二）三角函数的图像和性质（二）【考点导读】1.理解三角函数sinyx，cosyx，tanyx的性质，进一步学会研究形如函数sin()yAx的性质；2.在解题中体现化归的数学思想方法，利用三角恒等变形转化为一个角的三角函数来研究【基础练习】1.写出下列函数的定义域：（1）sin3xy 的定义域是_；（2）sin2cosxyx的定义域是_2函数 f(x)=|sin x+cos x|的最小正周期是_3函数 22sinsin44f xxx（）（）（）的最小正周期是_4.函数 y=sin(2x+3)的图象关于点_对称5.已知函数tanyx 在（2，2）内是减函数，则的取值范围是_【范例解析】663,xkxkkZ,2x xkkZ（，0）310 天天向上46/202例 1.求下列函数的定义域：（1）sin2sin1tanxyxx；（2）122logtanyxx解：（1）,2tan0,2sin10.xkxx 即,2,722.66xkxkkxk，故函数的定义域为7 2266xkxk且,xk,2xkkZ（2）122log0,tan0.xx即04,.2xkxk故函数的定义域为(0,),42点评：由几个函数的和构成的函数，其定义域是每一个函数定义域的交集；第（2）问可用数轴取交集例 2求下列函数的单调减区间：（1）sin(2)3yx；（2）2cossin()42xyx；解：（1）因为222232kxk，故原函数的单调减区间为5,()1212kkkZ（2）由sin()042x，得2,2x xkkZ，又2cos4sin()24sin()42xxyx，所以该函数递减区间为3222242xkk，即5(4,4)()22kkkZ点评：利用复合函数求单调区间应注意定义域的限制天天向上47/202例 3求下列函数的最小正周期：（1）5tan(21)yx；（2）sinsin32yxx 解：（1）由函数5tan(21)yx的最小正周期为2，得5tan(21)yx的周期2T（2）sin()sin()(sin coscos sin)cos3233yxxxxx21313 1 cos2sin coscossin222422xxxxx 31sin(2)423x T点评：求三角函数的周期一般有两种：（1）化为sin()Ax的形式特征，利用公式求解；（2）利用函数图像特征求解【反馈演练】1函数xxy24cossin的最小正周期为_2设函数()sin()3f xxxR，则()f x在0,2 上的单调递减区间为_3函数()sin3cos(,0)f xxx x 的单调递增区间是_4设函数()sin3|sin3|f xxx，则()f x的最小正周期为_5函数22()cos2cos2xf xx在0,上的单调递增区间是_2,0632,3，2,6375,63天天向上48/2026已知函数12cos 24()sin2xf xx（）求()f x的定义域；（）若角在第一象限且3cos5，求()f解：（）由sin02x得2xk，即2xk()kZ故()f x的定义域为|2xxkkRZ且（）由已知条件得2234sin1 cos155从而12cos 24()sin2f12 cos2 cossin2 sin44cos21 cos2sin22cos2sincoscoscos142(cossin)57 设函数)(),0()2sin()(xfyxxf图像的一条对称轴是直线8x（）求；（）求函数)(xfy 的单调增区间；（）画出函数)(xfy 在区间,0上的图像且 且且 且 且且 且解：（）)(8xfyx是函数Q的图像的对称轴，,1)82sin(天天向上49/202,.42kkZ .43,0Q（）由（）知).432sin(,43xy因此由题意得.,2243222Zkkxk所以函数.,85,8)432sin(Zkkkxy的单调增区间为（）由知)432sin(xyx08838587y22101022故函数上图像是在区间,0)(xfy-1-3232112-1278345823848oyx第第 7 7 课课 三角函数的值域与最值三角函数的值域与最值【考点导读】1.掌握三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最值解决实际问题；2.求三角函数值域与最值的常用方法：（1）化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解；2）化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法或图像法求解；（3）借助直线的斜率的关系用数形结合求解；（4）换元法【基础练习】天天向上50/2021.函数xxycos3sin在区间0,2上的最小值为 1 2.函数)(2cos21cos)(Rxxxxf的最大值等于 3.函数tan()2yx(44x且0)x 的值域是_4.当20 x时，函数xxxxf2sinsin82cos1)(2的最小值为 4 【范例解析】例 1.（1）已知1sinsin3xy，求2sincosyx的最大值与最小值（2）求函数sincossincosyxxxx的最大值分析：可化为二次函数求最值问题解：（1）由已知得：1sinsin3yx，sin 1,1y Q，则2sin,13x 22111sincos(sin)212yxx，当1sin2x 时，2sincosyx有最小值1112；当2sin3x 时，2sincosyx有最小值49（2）设sincosxxt(22)t，则21sincos2txx，则21122ytt，当2t 时，y有最大值为122点评：第（1）小题利用消元法，第（2）小题利用换元法最终都转化为二次函数求最值问题；但要注意变量的取值范围例 2.求函数2cos(0)sinxyxx的最小值分析：利用函数的有界性求解解法一：原式可化为sincos2(0)yxxx，得21sin()2yx，即22sin()1xy，故2211y，解得3y 或3y （舍），所以y的最小值为343(,11,)天天向上51/202解法二：2cos(0)sinxyxx表示的是点(0,2)A与(sin,cos)Bxx连线的斜率，其中点 B 在左半圆221(0)aba上，由图像知，当 AB 与半圆相切时，y最小，此时3ABk，所以y的最小值为3点评：解法一利用三角函数的有界性求解；解法二从结构出发利用斜率公式，结合图像求解例 3.已知函数2()2sin3cos24f xxx，4 2x，（I）求()f x的最大值和最小值；（II）若不等式()2f xm在 4 2x，上恒成立，求实数m的取值范围分析：观察角，单角二次型，降次整理为sincosaxbx形式 解：（）()1 cos23cos21 sin23cos22f xxxxx 12sin 23x 又 4 2x且，22633x，即212sin 233x，maxmin()3()2f xf x且（）()2()2()2f xmf xmf x，4 2x且，max()2mf x且min()2mf x，14m，即m的取值范围是(14)且点评：第（）问属于恒成立问题，可以先去绝对值，利用参数分离转化为求最值问题本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力【反馈演练】天天向上52/2021函数)(6cos()3sin(2Rxxxy的最小值等于_1_2当04x时，函数22cos()cos sinsinxf xxxx的最小值是_4 _3函数sincos2xyx的最大值为_，最小值为_.4函数costanyxx的值域为 .5已知函数()2sin(0)f xx在区间,3 4 上的最小值是2，则的最小值等于_6已知函数()2cos(sincos)1f xxxxxR且（）求函数()f x的最小正周期；（）求函数()f x在区间 384且上的最小值和最大值解：（）()2cos(sincos)1sin2cos22sin 24f xxxxxxx 因此，函数()f x的最小正周期为（）因为()2sin 24f xx在区间 388且上为增函数，在