材料力学单祖辉第三版课后答案(第一章—第八章).pdf

第一章绪论1-2 如图所示，在杆件的斜截面底加上，任一点A处的总应力=120MPa,其方 位角。=20,试求该点处的正应力诣切应力了。题1-2图解：总应力p与截面m-m的法线间的夹角为a=3ff-3=30-2ff=10所以,b=cosl0=118.2 MPa工=sinl0=20.8MPa1-3 已知杆内横截面上的内力主矢方R与主矩M如图所示，且均位于平面内。试问杆件横截面上存在何种内力分量，并确定其大小。图中，C为截面形心。题1-3图%=必尸加=八*1-4图示矩形截面杆，横截面上的正应力沿截面高度线性分布，截面顶边各点处的 正应力均为bmax=100MPa,底边各点处的正应力均为零。试问杆件横截面上存在何种内力分 量，并确定其大小。图中，C为截面形心。1题1-4图解：由题图所示正应力分布可以看出，该杆横截面上存在轴力bN和弯矩z，其大小 分别为FN=1mx A=|x(100 xl06Pa)x(0.100m x 0.040m)=2.00 x 105 N=200kNMz=(-1)=ijN/z=1x(200 xl03N)x(0.100ni)=3.33xl03N-m=3.33kN-m1-5 图a与b所示两个矩形微体，虚线表示其变形或位移后的情况，该二微体在A 点处的切应变分别记为(%)a与(冷加试确定其大小。(a)解:题1-5图(%)。=0(b)解:。/=_(2+0=_21-6 板件变形如图中虚线所示。试求棱边与的平均正应变以及A点处直角 BAD的切应变。题1-6图解：平均正应变为2得A点处直角BAD的切应变为=Jx23m=1 00-10-3 明9 0.100m=0.2。3m=2.00 x10-3 av,s 0.100m由转角=02xl0m=2 00 xl()-3 rad 冲 0.100m0.1xl0-3m 1 八八 in-3,aAR=-=1.00 x10 radM 0.100mYA YBAD=aAD aAB 1-00 x10 3 rad3第二章轴向拉压应力与材料的力学性能2-1试画图示各杆的轴力图。FF2kN(a)3kN 2kNT T(c)竺卜kN3kN(d)题2-1图解：各杆的轴力图如图2-1所示。,外FN3 kN3 kN1 kN图2-12 kN(c)2 kN._kN2-2试画图示各杆的轴力图，并指出轴力的最大值。图a与b所示分布载荷均沿杆轴 均匀分布，集度为外题2-2图(a)解：由图2-2a(l)可知，FN(x)=2qa-qx轴力图如图2-2a所示，1外,3=2效图 2-2a(b)解：由图2-2b(2)可知，FR=qaFN(%I)=FR=qaFN(X2)=FR-q(x2-a)=2qa-qx2轴力图如图2-2b(2)所示，网,max 二口61图 2-2b2-3 图示轴向受拉等截面杆，横截面面积A=500mm2,载荷b=50kN。试求图示斜截 面m-m上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。题2-3图解：该拉杆横截面上的正应力为F o=-A50 xl0N=100 xl08pa=100MpaSOOxlO-6!2斜截面m-m的方位角0=-50,故有2oa=crcos2a=1 OOMPacos2(-50)=41.3MPara=|sin2o(=50MPa-sin(-l 00)=-49.2MPa杆内的最大正应力与最大切应力分别为cr1mx=(j=100MPaTmax=|=50MPa2-5某材料的应力-应变曲线如图所示，图中还同时画出了低应变区的详图。试确定 材料的弹性模量E、比例极限4、屈服极限q、强度极限小与伸长率方，并判断该材料属 于何种类型(塑性或脆性材料)。题2-5解：由题图可以近似确定所求各量。=220 x1()6 pa=220 x 1()9 pa=220CPaM 0.001%比220Mpa,a 240MPa 440Mpa,八 29.7%该材料属于塑性材料。2-7 一圆截面杆，材料的应力-应变曲线如题2-6图所示。若杆径d=10mm,杆长Z=200mm,杆端承受轴向拉力b=20kN作用，试计算拉力作用时与卸去后杆的轴向变形。3解:4003002001000.4 0.6/%题2-6图娥翳=2.55xl0255MPa查上述。-2曲线，知此时的轴向应变为=0.0039=0.39%轴向变形为M=ls=(0.200m)x 0.0039=7.8xl0-4m=0.7 8mm拉力卸去后，有%=0.00364,=0.00026故残留轴向变形为AZ=Zp=(0.200m0.00026=5.2xl0_5m=0.052mm2-9 图示含圆孔板件，承受轴向载荷尸作用。已知载荷尸二32kN,板宽=100mm,板厚5=15mm,孔径d=20mm。试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应力集中）。-d题2-9图解：根据d/b=0.020m/。100m)=0.2查应力集中因数曲线，得2.42根据得一-，K 二餐d*C7n4皿 n(b-d)d2.42X32X103N(0.100-0.020)x0.015irf=6.45xl07Pa=64.5MPa2-10 图示板件,承受轴向载荷F作用。已知载荷F=36kN,板宽从=90mm,Z?2=60mm,板厚5=10mm,孔径d=10mm,圆角半径R=12mm。试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应力集中）。题2-10图解：1.在圆孔处根据4=.010ni=0 in b1 0.090m查圆孔应力集中因数曲线，得（。2.6故有联=*、二斤而(O.O9Z.oZo.Ol=1-17xl8Pa=117MPa2.在圆角处根据D=瓦=0.090m 二5 d b2 0.060mR=R=O.O12m=02 d b2 0.060m 查圆角应力集中因数曲线，得仆174故有max-K20n272F=1.74X36X103N-T-0.060 x0.010n?=1.04xl08Pa=104MPa3.结论01mx=117MPa（在圆孔边缘处）2-14 图示桁架，承受铅垂载荷尸作用。设各杆的横截面面积均为A,许用应力均为 司，试确定载荷厂的许用值为。5题2-14图解：先后以节点。与B为研究对象，求得各杆的轴力分别为网2=83=F根据强度条件，要求由此得行方/1-:/rd=1.225:0.333:12-18 图示摇臂，承受载荷b1与尸2作用。已知载荷方i=50kN,尸2=35.4kN,许用切 应力 c=100MPa,许用挤压应力 6j=240MPa。试确定轴销B的直径d。8题2-18图解：1.求轴销处的支反力由平衡方程Z工=。与24=，分别得FBX=%丹COS453=25kN%=4sin4S=25kN由此得轴销处的总支反力为FB=7252+252kN=35.4kN2.确定轴销的直径由轴销的剪切强度条件（这里是双面剪）A Ttd得d乃工2x35.4xl03 c-=0.015mxlOOxlO6由轴销的挤压强度条件=&=区dS d6 bs得d-=-354x1()3=001475n况。bs0.010 x240 xl06结论：取轴销直径d 20.015m=15mm。2-19图示木樨接头，承受轴向载荷b=50 kN作用，试求接头的剪切与挤压应力。题2-19图解：剪应力与挤压应力分别为%50X103N(0.100m)(0.100m)=5 MPa50X103N(0.040m)(0.100m)=12.5 MPa92-20 图示弱接接头，钾钉与板件的材料相同，许用应力同=160MPa,许用切应力二 120 MPa,许用挤压应力3s=340 MPa,载荷b二 230 kN。试校核接头的强度。F13川pL-g题2-20图解：最大拉应力为bmax_230X103N(0.170-0.020)(0.010)(m2)=153.3 MPa最大挤压与剪切应力则分别为bbs 二4X230X103N T=-=146.4 MPa5xTT(0.020m2-21 图示两根矩形截面木杆，用两块钢板连接在一起，承受轴向载荷b=45kN作用。已知木杆的截面宽度b=250mm,沿木纹方向的许用拉应力b=6MPa,许用挤压应力 6bs=10MPa,许用切应力r=lMPa。试确定钢板的尺寸b与/以及木杆的高度鼠解：由拉伸强度条件得F题2-21图F b(h 2B)-=b(r45xl03 0.250 x6 xlO6m=0.030m(a)由挤压强度条件10得.后穴32 科。bs145x103 2x0.250 xl0 xl06m=0.009m=9mm(b)由剪切强度条件2bl得/2卅旬45x103 2x0.250 xlxl06m=0.090m=90mm取3=0.009m代入式(a),得h (0.030+2 x 0.009)m=0.048m=48mm结论：取3 9mm,I 90mm,/z48mmo2-22 图示接头，承受轴向载荷F作用。已知佛钉直径d=20mm,许用应力 b=160MPa,许用切应力r=120MPa,许用挤压应力6j=340MPa。板件与钾钉的材料相 同。试计算接头的许用载荷。解：1.考虑板件的拉伸强度 由图2-22所示之轴力图可知,尸，Fm=3F/4F(&-J)=(0.200-0.020)x0.015xl60 xl06N=4.32xl05N=432kN%=3F A2 4s 2d)3F1(Z?-2)(5(7=1(0.200-0.040)x0.015xl60 xl06N=5.12xl05N=512kN11123F图 2-222.考虑钾钉的剪切强度Fs=s 8Fs 4F/工=-相&工A 871d2方 0271rf2muZxTrxO.OZOMZOxloGNuB.OZxiaNuBOZkN3.考虑佛钉的挤压强度Fb=F 4&=F 8d 43 dF45/103Nb 3 3孔表面的最大挤压应力为凡 _ 2.0X103N _南 一(0002m)(0008m)一1.25xlO8Pa=125MPacrbs在挤压力作用下，钢带左段虚线所示纵截面受剪(图b),切应力为2.0X103N2(0.002m)(0.020m)=2.5xlO7Pa=25MPa r钢带的轴力图如图c所示。由图b与c可以看出，截面1-1削弱最严重，而截面2-2的轴 力最大，因此，应对此二截面进行拉伸强度校核。截面1-1与2-2的正应力分别为2FA 3(b 2d)3二 FA2(b-d)S_2(6X1()3N)_3(0.040m-2x0.008m)(0.002m)=83.3MPab2_6X1()3N_(0.040m-0.008m)(0.002m)=93.8MPa-F=0由此得FN=QF在尸作用下，小轮A沿刚性墙面向下有一微小位移，在小变形条件下，A/2 0,故有bN2=。FN1的水平分量由刚性墙面提供的约束反力来平衡。3-22 图示桁架，杆1、杆2与杆3分别用铸铁、铜和钢制成，许用应力分别为crJOMPa,cr2=60MPa,cr3=120MPa,弹性模量分别为 Ei=160GPa,E2=100GPa,17E3=200GPa。若载荷/二160kN,AI=A2=2A3,试确定各杆的横截面面积。题3-22图解：此为一度静不定结构。节点。处的受力图和变形图分别示如图3-22a和b。图 3-22由图a可得平衡方程%=。，F：%Z4=o,1FN2+FN3=F(a)由图b得变形协调方程为AActan3(J H=AZ3 sin30根据胡克定律，有N24 _ N21A/=NI=2NIL,A/2EXA3E2A2 后E2A3A/3=E3A3一拒E3A3(d)将式(d)代入式(c),化简后得补充方程为15乐 1+32乐2=8 8(c)联解方程(a),(b)和(c，)，并代入数据，得乐i=22.6kN(压)，82=26.1kN(拉)，73=146.9kN(拉)根据强度要求，计算各杆横截面面积如下:4 22义1?m?=5.65xl(T4m2=565mm2匕J 40 xl064 2禽:徽需=4.35x10-72=435mm218&噜=-2=1.224x10 324nm2根据题意要求，最后取A=4=2A3 245Qnm23-23 图a所示支架，由刚体ABC并经由钱链A、杆1与杆2固定在墙上，刚体在C 点处承受铅垂载荷方作用。杆1与杆2的长度、横截面面积与弹性模量均相同，分别为/=100 mm,A=100 mm2,E=200 GPa。设由千分表测得C点的铅垂位移&=0.075 mm,试确定载荷厂 与各杆轴力。题3-23图解：1.求解静不定在载荷厂作用下，刚体将绕节点A沿顺时针方向作微小转动，刚体的位移、杆件的 变形与受力如图b所示。显然，本问题具有一度静不定。由平衡方程2G=，得方NI+与一尸二。由变形图中可以看出，变形协调条件为AZX=2AZ2(b)根据胡克定律，/小誓，然=誓 EA EA将上述关系式代入式(b),得补充方程为N1=2 心2联立求解平衡方程(a)与上述补充方程，得4F 2F%二拳%(d)2.由位移&确定载荷/与各杆轴力变形后，。点位移至C(CCIAC)(图b),且直线AC与AB具有相同的角位移夕因此,19C点的总位移为=CC=AZ1=V2AA AB又由于由此得将式(c)与(d)的第一式代入上式，于是得5EAS5(200 x109Pa)(100 xl0-6m2)(0.075xl0-3m)4(100 xl0-3m)=1.875X104N并从而得FN1=1.5X104N,FN2=7.5X103N3-24 图示钢杆，横截面面积A=2500mm2,弹性模量E=210GPa,轴向载荷b=200kN。试在下列两种情况下确定杆端的支反力。(a)间隙员0.6 mm；(b)间隙员0.3 mm。题3-24图解：当杆右端不存在约束时，在载荷尸作用下，杆右端截面的轴向位移为Fa _(200 xl()3N)(1.5m)EA-(210 xl09Pa)(2500 xl0-6m2)当间隙层0.6 mm时，由于与 5,杆两端将存在支反力，杆的受力如图3-24所示。t7=1.5m4=1.5m3=L=a图 3-24杆的平衡方程为20F FBXFCX=6补充方程为Fa FBX，2。-EA由此得F SEABX 2 2a二 200X1()3N(0.000an)(210 xl09pa)(2500 xl(r6m2)=2 2(1.5m).而C端的支反力则为FCX=F-FBX=200kN-47.5 kN=1525 kN3-25 图示两端固定的等截面杆AB,杆长为I。在非均匀加热的条件下，距A端元 处的温度增量为AT=A，2,式中的弓为杆件B端的温度增量。材料的弹性模量与线膨 胀系数分别为E与见。试求杆件横截面上的应力。H2x题3-25图解：1.求温度增高引起的杆件伸长此为一度静不定问题。假如将5端约束解除掉，则在x处的杆微段ch就会因温升而有一 个微伸长d(AZt)=aTdx=。空 dx全杆伸长为2.求约束反力设固定端的约束反力为尸，杆件因尸作用而引起的缩短量为4&=旦EA EA由变形协调条件AZF=AZt21可得_EA%ATBI _ EAalKTB r-=-l 3 33.求杆件横截面上的应力夫N _ F ECNTB O-A A 33-26 图示桁架，杆的实际长度比设计尺寸稍短，误差为4如使杆端B与节点G强制地连接在一起，试计算各杆的轴力。设各杆各截面的拉压刚度均为4。解：此为一度静不定问题。自左向右、自上向下将各杆编号15。由强制装配容易判断,杆13受拉，杆4和5受压。装配后节点G和。的受力图分别示如图3-26a和b。Nl(a)根据平衡条件，由图a可得由图b可得二入 5，变形协调关系为(参看原题图)A _cos60 cos30依据胡克定律，有A/二乙&(，=1 5)(d)，EA将式(d)代入式(c),得补充方程C(b)120图 3-26网1=N2=N3耳43=2 方N4cos30=V374AA A/4(a)(b)22/=2F J 2网4百/网3/EA V3EA EA联立求解补充方程(e)、平衡方程与(b),最后得尸_(9-2.)切.尸后 2)EA人N3 23/N4 _ 23/即FN,BC=FN,GD=FN,GE=噌*3(拉)FN,CD=FN,CE=(*；*/(压)3-27 图a所示钢螺栓，其外套一长度为/的套管。已知螺栓与套管的横截面面积分 别为Ab与4,弹性模量分别为瓦与自，螺栓的螺距为p。现将螺母旋紧1/5圈，试求螺栓与 套管所受之力。螺帽与螺母的变形忽略不计。题3-27图解：首先设想套管未套上，而将螺母由距螺帽/处旋转1/5圈，即旋进上川5的距离。然 后，再将套管套上。由于螺帽与螺母间的距离小于套管的长度，故套合后的螺栓将受拉，而 套管则受压。设螺栓所受拉力为bNb，伸长为&b，套管所受压力为bNt，缩短为A/t，则由图b与c可知，平衡方程为bNb-Nt=。而变形协调方程则为AZb+AZt=利用胡克定律，得补充方程为(a)最后，联立求解平衡方程(a)与补充方程(b),得螺栓与套管所受之力即预紧力为?N0=Nb=尸Nt=44 7(i+Ij式中,23k 二 A 石 bAZ3-28 图示组合杆，由直径为30mm的钢杆套以外径为50mm、内径为30mm的铜管 组成，二者由两个直径为10mm的钾钉连接在一起。钾接后，温度升高40，试计算斜钉剪 切面上的切应力。钢与铜的弹性模量分别为Es=200GPa与Ec=100GPa,线膨胀系数分别为 als=12.5 X 10-64 与=/c=16 X 10-64o题3-28图解：设温度升高AT时钢杆和铜管自由伸长量分别为纵和6,，由于二者被斜钉连在一起，变形要一致，即变形协调条件为JTS+A/S=JTC-A/C或写成A-TC这里，伸长量4S和缩短量4C均设为正值。引入物理关系，得名+黑=（他-他3 cAc将静力平衡条件FNs=FNC=F代入上式，得二区A4A4+纥4（他他）注意到每个钾钉有两个剪切面，故其切应力为打二/二纥他)AT A _2A_ 2A(ESAS+C4)由此得200 x1()9x0()302x100 x109(0()5020 0302)(1612.5)x10-6x4(2X0.0102200X109 XO.0302+100X109(0.0502-O.OSO2)!2=5.93xl()7pa=59.3MPa3-29 图示结构，杆1与杆2各截面的拉压刚度均为EA,梁6。为刚体，试在下列两 24种情况下，画变形图，建立补充方程。(1)若杆2的实际尺寸比设计尺寸稍短，误差为X(2)若杆1的温度升高AT,材料的热膨胀系数为以题3-29图解:如图3-29a所示,当杆2未与刚性杆50连接时,下端点位于。,即。3 当杆2与刚性杆连接后，下端点铅垂位移至。，同时，杆1的下端点则铅垂位移至C。过C作直线Ce垂直于杆1的轴线,显然旗=A1,即代表杆1的弹性变形，同时，W=AZ2,即代表杆2的弹性变形。与上述变形相应，杆1受压，杆2受拉,刚性杆6。的受力如图3-29(l)b 所示。图 3-29(1)可以看出，即变形协调条件为而补充方程则为或DD=2CC-AZ2=2-V2AZ1EA EA产2+4 片-二 0(2)解：如图3-29(2)a所示，当杆1未与刚性杆6。连接时，由于其温度升高，下端点位 于C，即丁=/万人7。当杆1与刚性杆连接后，下端点。铅垂位移至C,而杆2的下端点。则铅垂位移至6。过C作直线Ue垂直于直线CC”,显然，eC二A。即代表杆1 25的弹性变形，同时，DDf=M2,代表杆2的弹性变形。与上述变形相应，杆1受压，杆2受拉，刚性杆BD的受力如图3-29(2)b所示。图 3-29(2)可以看出,DDf=2CC故变形协调条件为42=2.五(%V2ZAT-而补充方程则为、胃=2冉g后AT-与学EA7或F2-4F1-4EAalAT=03-30 图示桁架，三杆的横截面面积、弹性模量与许用应力均相同，并分别为A,E 与b,试确定该桁架的许用载荷为。为了提高许用载荷之值，现将杆3的设计长度/变为/+/。试问当/为何值时许用载荷最大，其值为max为何。解:此为一度静不定问题。节点C处的受力及变形示如图3-30a和bo26(b)图 3-30由图a得平衡方程为方N1=bN2，2FN1COS30+尸N3=F由图b得变形协调条件为I=A/3cos30依据胡克定律,有4=8 =123)EA将式(c)代入式(b),化简后得补充方程为 厂 4厂 网3=耳网(a)(c)(b)将方程(b，)与方程联解，得3 4FNI=FN2=Z717IF,FN3=Z717IFFNI_FN3 _ 4F/0max=-1=团A(4+3V3)A由此得k10时，按薄壁圆管的扭转切应力公式计算工的最大误差不超过4.53%。4-8 图a所示受扭圆截面轴，材料的了-7曲线如图b所示，并可用工=。;/而表示，式中的。与机为由试验测定的已知常数。试建立扭转切应力公式，并画横截面上的切应力分 布图。题4-8图解：所研究的轴是圆截面轴，平面假设仍然成立。据此，从几何方面可以得到(169%=吁dx根据题设，轴横截面上距圆心为处的切应力为yCS学产dx(b)由静力学可知,AP zpAA=C()1/m p(m+1)/mdA=T取径向宽度为助的环形微面积作为dA,即dA=2yipdp(c)(d)将式(d)代入式(c),得271c题)”dx Jc,d/2p(2m+1)/mdp=TI。由此得(3m+1)727iCm(1)(3w+1)/w将式代入式(b),并注意到T二M,最后得扭转切应力公式为Mp1/m 27m(3m+l)/m 3m+V2横截面上的切应力的径向分布图示如图4-8o2图4-84-9 在图a所示受扭圆截面轴内，用横截面ABC和DEF与径向纵截面方C切出单元体ABC7（图b。试绘各截面上的应力分布图，并说明该单元体是如何平衡的。题4-9图解：单元体A5CDE尸各截面上的应力分布图如图4-9a所示。图4-9根据图a,不难算出截面A。?。上分布内力的合力为同理，得截面OCT。1上分布内力的合力为口 ATIF,F方向示如图c。设G与工。作用线到x轴线的距离为分，容易求出 人 人2 句2 d d e7-=3 2 3根据图b,可算出单元体右端面上水平分布内力的合力为prd12Tp,71 4,人。8T U-cos(-)pd同理，左端面上的合力为 371d方向亦示如图Co设尸Z作用线到水平直径。方的距离为G（见图b,由,2 y3F eycos2(-9)de j夕 3d夕=T_得T 37T6/37Td c c c u i ev=-=-0.295a,4 8T 32同理，心作用线到水平直径AC的距离也同此值。根据图b,还可算出半个右端面DO1右上竖向分布内力的合力为r/2(d/2Tp.兀 4T=U0 77n(丁加明蛇二而设厂乃作用线到竖向半径。石的距离为分？（见图b，由T 广兀/2 pd 12 o T4七二手。COS田可。夕中:得T 3兀6y 3兀6y 八c c厂1 e7=-=-0.295a3 8 4T 32同理，可算出另半个右端面J隹以及左端面495、OCB上的竖向分布内力的合力为47F=F=F=-九 月 为371d方向均示如图C。它们的作用线到所在面竖向半径的距离均为气O z2由图C可以看得很清楚，该单元体在四对力的作用下处于平衡状态，这四对力构成四个 力偶，显然，这是一个空间力偶系的平衡问题。Z&=0,q 2分2）+上 4-气（2分2）一弓 4=事后二c 口 口 s、877 877 八 Mx=0,F7-l-Fx-(2e7)=-=0乙，Q“j 37rd 371dWX=。，F-Z-F=0乙z 以 约 371d 3nd既然是力偶系，力的平衡方程（共三个）自然满足，这是不言而喻的。上述讨论中，所有的T在数值上均等于V。4-11 如图所示，圆轴与套管。用刚性突缘E焊接成一体，并在截面A承受扭 力偶矩M作用。圆轴的直径d=56mm,许用切应力值=80MPa,套管的外径。=80mm,壁 厚3=6mm,许用切应力=40MPa。试求扭力偶矩M的许用值。4题4-11图解：由题图知，圆轴与套管的扭矩均等于AL1.由圆轴求M的许用值T maxi16M 71d 37?0/10此管不是薄壁圆管。_M2_ 16M2 _.-max2-3/1 10 JWp2 兀。3(1 4)由此得M的许用值为兀。3(1。4)凡兀xO.08炉 x(l OlSxdOxlCN2 _ 16-16,m=1.922xl03N-m=1.922kN-m可见，扭力偶矩M的许用值为M=M2=1.922kNm4-13 图示阶梯形轴，由与两段等截面圆轴组成，并承受集度为根的均匀分 布的扭力偶矩作用。为使轴的重量最轻，试确定与段的长度/i与b以及直径由与办。已知轴总长为/,许用切应力为 7。题4-13图5解：1.轴的强度条件在截面A处的扭矩最大，其值为Tnl=ml由该截面的扭转强度条件_ nax _ 16帆”maxi 7 -匹叫1 喇得d、=3 16mlV兀工(a)段上的最大扭矩在截面B处，其值为0ax2=m4由该截面的扭转强度条件得d 2 二3/16mZ2V兀团2.最轻重量设计 轴的总体积为御，2)+飘，2寸(甯产%)+(詈严根据极值条件得由此得从而得zl6mZx2/3,/16mA2/3 K 5,2/3 八-(-)+(-)X4=07ir 7ir 3BO.465Z1=Z-Z2=l-(1)3/2/0.535Z16my/3 兀上rl/3 2Ai/2jl6mZ5 V兀(b)(c)(d)叱=0 此2=(-p 0.77 必该轴取式(a)(d)所给尺寸，可使轴的体积最小，重量自然也最轻。4-14 一圆柱形密圈螺旋弹簧，承受轴向压缩载荷尸=lkN作用。设弹簧的平均直径D=40mm,弹簧丝的直径d=7mm,许用切应力r=480MPa,试校核弹簧的强度。解：由于6m=-=-=5.7110 d 7故需考虑曲率的影响，此时，8FD(4m+2)8xl.00 xl03x 0.040 x(4x5.71+2)NT=-=-侬、Ttd3(4m-3)7ix 0.0073X(4X5.71-3)m2=3.72xl08Pa=372MPa结论：2 max 物max=32x3叱 1 迎匕=0 0577m=57 7mmV 7iG3 V7IX80X109X0.25TI结论：最后确定该轴的直径d257.7mm。104-23 图示两端固定阶梯形圆轴AB,承受扭力偶矩M作用。已知许用切应力为国,为使轴的重量最轻，试确定轴径力与4 小 场 必 B a G.2a”7题4-23图解：1.求解静不定设A与B端的支反力偶矩分别为MA与MB，则轴的平衡方程为必=0,MA+MB-M=OAC与圆段的扭矩分别为=A，T?=-MB代入式（a,得T1-T2-M=0设AC与*段的扭转角分别为他C与依小则变形协调条件为0AC+0cB=利用扭转角与扭矩间的物理关系，分别有TyaWAC=7-G/pi_ 2T2a代入式（c,得补充方程为最后，联立求解平衡方程（b 与补充方程（d,得2d：媚+2d；d；M 以+2d；(a)(b)(c)(d)2.最轻重量设计从强度方面考虑，要使轴的重量最轻，应使AC与小段的最大扭转切应力的数值相等,且当扭力偶矩M作用时，最大扭转切应力均等于许用切应力，即要求A=团，国*2二工由此得T2 Wp2 11将式(e)代入上式，得d2=2d并从而得T _M T _ 8丁“二一万根据圆轴扭转强度条件，于是得轴的直径为4-24 图示二平行圆轴，通过刚性摇臂承受载荷方作用。已知载荷A750N,轴1和 轴2的直径分别为12mm和6/2=15mm,轴长均为/=500mm,摇臂长度a=300mm,切变模 量G=80GPa,试求轴端的扭转角。题4-24图解：这是一度静不定问题。变形协调条件为4=4 或 这里，4和Zb分别为刚性摇臂1和2在接触点处的竖向位移。设二摇臂间的接触力为a，则轴1和2承受的扭矩分别为|7；|=F(|-)-F2a,T2=F2a(b)物理关系为将式(c)代入式(a),并注意到式(b),得F.力2 2(d：+4)由此得12T2l 16Fal 16x750k0.300k0.500m(p0-二-=-GI p?兀 G(d：+d；)7ix80 xl 09 x(0.0124+0.0154)m=0.1004 rad=5.75=l4-26 如图所示，圆轴AB与套管CO借刚性突缘E焊接成一体，并在突缘E承受扭 力偶矩M作用。圆轴的直径d=38mm,许用切应力 q =80MPa,切变模量Gi=80GPa；套管的 外径。=76mm,壁厚3=6mm,许用切应力=40Mpa,切变模量Gz=40GPa。试求扭力偶 矩M的许用值。得题4-26图J一00解：1.解静不定此为静不定问题。静力学关系和变形协调条件分别为TY+T2=M(a)(b)物理关系为(C)将式(c)代入式(b),并注意到,=3=。8421 r TCD/I 4 X D=-(1一),P2 32_ 71d4P12d 42T=D4(l-cr4)3 24x3843X764(1-0.84214)%=0.167%(d)T _ rp广文2。1=。2Tl、丁212(P=，%矶巴GJp2将方程与(d)联解，得7=0.856M,7=0.144M2.由圆轴的强度条件定M的许用值Ti 16xO.144M工二.二一半由此得扭力偶据的许用值为13向 3 71x0.030 x80 x1()6 3zM=-=-N-m=5.99x10 Nm=5.99kNm16x0.144 16x0.1443.由套管的强度条件定V的许用值T2 16xO.856M 八 I r2max=-=.3/1-47 出%兀。I)由此得扭力偶据的许用值为_ 兀。3(1-4)凡_ 兀 XO.0763 义(1 0.842f)x40 xl()6 卜12 16x0.856-16x0.856 血=2.00 xlO3N-m=2.00kN m结论：扭力偶矩的许用值为M=M2=2.00kN-m4-27 图示组合轴，由圆截面钢轴与铜圆管并借两端刚性平板连接成一体，并承受扭 力偶矩M=100N-m作用。试校核其强度。设钢与铜的许用切应力分别为院=80MPa与 幻=20MPa,切变模量分别为Gs=80GPa与Gc=40GPa,试校核组合轴强度。题4-27图解：L求解静不定如图b所示，在钢轴与刚性平板交接处(即横截面B),假想地将组合轴切开，并设钢轴与铜管的扭矩分别为人与,则由平衡方程=。可知，TS=TC(a)两个未知扭力矩，一个平衡方程，故为一度静不定问题。在横截面B处，钢轴与铜管的角位移相同，即Os=0c(b)设轴段AB的长度为/,则14化(，)I Tc I(M-2TJIGJpc 2 GJpc 2 2GJpc将上述关系式代入式（b,并注意到Gs/Gc=2,得补充方程为(c)pc联立求解平衡方程（a 与补充方程（c,于是得二Ts _(M-2TC)/pc+2/ps(d)2.强度校核出嘤Jia.。一8m4pc7i(0.040m)4320.035m V0.040mJ=1.040 xl(r7 m41 将相关数据代入式（d,得=7；=lL6Nm对于钢轴,16(11.6Nm)7s,max叫 s Ti(0.020m)3=7.38xl06Pa=7.38MPars对于铜管,T c,max-c,max16(100N.4-n.6N-m)=1.70 x107Pa=l 7.0MPa4M37iDr4x5.0 xl03m2 1/C m-2 1 A cn-=1.457x10 m=14.57mm 3TIX0.100X100X1063.由螺栓的挤压强度条件求d_Fb _ M】O-bs bbsbs 3d 3D6d bs由此得5.0 x103 nld-$3DSabs 3x0.100 x0.010 x300 xl06=5.56x103 nl=5.56mm结论：最后确定螺栓的直径14.57mm。4-30 图示二轴，用突缘与螺栓相连接,其中六个螺栓均匀排列在直径为力的圆周上,另外四个螺栓则均匀排列在直径为6的圆周上。设扭力偶矩为各螺栓的材料相同、直径 均为力试计算螺栓剪切面上的切应力。题4-30图2叫二。，61(9二加得解：突缘刚度远大于螺栓刚度，因而可将突缘视为刚体。于是可以认为：螺栓，剪切面上17的平均切应变%与该截面的形心至旋转中心。的距离n成正比，即式中，左为比例常数。利用剪切胡克定律，得螺栓，剪切面上的切应力为Ti=Gkr-而剪力则为Fs,i=GAkrt最后，根据平衡方程2M。二,6GA左+4GA左=M得k=2M=8M-GA 3O：+2成）痴2西+2D；于是得外圈与内圈螺栓剪切面上得切应力分别为_ 4MDX”近2（3O：+2 无）_ 4MD2工2血 2 30：+2。；）4-31 图a所示托架，承受铅垂载荷尸=9kN作用。物钉材料均相同，许用切应力 r=140MPa,直径均为d=10mm。试校核专卯钉的剪切强度。题4-31图解：由于钾钉均匀排列，而且直径相同，所以，佛钉群剪切面的形心C,位于钾钉2与钾 钉3间的中点处（图b。将载荷平移至形心C,得集中力尸与矩为R的附加力偶。在通过形心C的集中力方作用下，各钏钉剪切面上的切应力相等，其值均为F F4几屋 2T9X103N 7i(10 xl0-3m)2=2.87x107 MPa18在附加力偶作用下，钾钉1与4剪切面上的切应力最大，其值均为(a)由图中可以看出,rr=r4=60 xl0-3m,弓=20 xl0-3m所以，/p=2?|I(2?12+2)=(10 xl0-3m)2(602+202)(10-3m)2=6.28xl07m4代入式(a),得,_(9xl03N)(150 xl 0-3 m)(60 x 10-3 m)=1.289xlO8PaT6.28x1 CTn?将上述两种切应力叠加，即得钾钉1与4的总切应力即最大切应力为71mx=+工”2=7(2.87xlO7Pa)2+(1.289xlO8Pa)2=1.32xlO8Pa=132MPar4-34 图示半椭圆形闭口薄壁杆，=200mm,/?=160mm,=3mm,32=4mm,T=6kN-m,试求最大扭转切应力。题4-34图解：截面中心线所围面积为0=兀(。-j)(广)由此得0160-0 004 O o o=71(0.200-0.0015-0.002)(u,OU4U,UU)m2=2.41xl0-2m2于是得最大扭转切应力为T max23mm6x103N2x2.41x10-2x0.003m2=4.15xlO7Pa=41.5MPa4-35 一长度为/的薄壁管，两端承受矩为的扭力偶作用。薄壁管的横截面如图所示，平均半径为扁，上、下半部由两种不同材料制成，切变模量分别为Gi与G2,厚度分别为 19在与万，且5，试计算管内的最大扭转切应力，以及管端两横截面间的扭转角9。题4-35图解：1.扭转切应力计算闭口薄壁管扭转切应力的一般公式为2Q8现在Q-TI7?Q3min=济所以，最大扭转切应力为皿2位诂2.扭转变形计算用相距口的两个横截面，与夹角为d。的两个径向纵截面，从管的上部切取一微体，其应变 能为由此得整个上半圆管的应变能为r I r 71 7?M 2匕i=f 二一；JoJ 0 2Gl 8兀吊司同理得整个下半圆管的应变能为y=_M2l_心871G2嫡2根据能量守恒定律，M(p=M?l M?l2 8兀吊用 871G2居2204-36 图示三种截面形状的闭口薄壁杆，若截面中心线的长度、壁厚、杆长、材料以 及所受扭矩均相同，试计算最大扭转切应力之比和扭转角之比。题4-36图解：由于三者中心线的长度相同，故有2x(2Z?+Z?)=4a=TIZZ由此得据此可求得长方形、正方形及圆形薄壁截面的0,其值依次为O=2b2=可得三种截面薄壁杆的最大扭转切应力之比为，矩max 7方max 工圆max 1-432.1.273.1_ Tl rds 夕二而不什可得三种截面薄壁杆的扭转角之比为。矩：。方：%=2.05:1.621:1结果表明：在题设条件下，圆形截面薄壁杆的扭转强度及扭转刚度均最佳，正方形截面 薄壁杆的次之，长方形截面薄壁杆的最差。一般说来，在制造闭口薄壁杆时，应尽可能加大 其中心线所围的面积0,这样对强度和刚度均有利。4-37 图示闭口薄壁杆，承受扭力偶矩M作用，试计算扭力偶矩的许用值。已知许 用切应力团=60MPa,单位长度的许用扭转角例=0.5(。)/m,切变模量G=80GPa。若在杆上沿21杆件母线开一槽，则许用扭力偶矩将减少