专题五--几何中中点的妙用.doc

专题五--几何中中点的妙用

专题五 中点的妙用
联想是一种非常重要的数学品质。善于联想，才能更好的寻求解决问题的方法。同学们当你遇到中点时，你会产生哪些联想呢？学习完这个专题后，能给你带来一定的启示。
看到中点该想到什么？
1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；
2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”；
3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；
4、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）；
5、有中点时常构造垂直平分线；
6、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）；
7、倍长中线
8、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”
一、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质
1、如图1所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（ ）
A． B． C． D．

N
M
B
O
C
A
二、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”
2、如图，在Ｒｔ⊿ABC中，∠A=90°,AC=AB,M、N分别在AC、AB上。且AN=BM，O为斜边BC的中点，试判断△OMN的形状，并说明理由.

3、如图，正方形的边长为2, 将长为2的线段的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点从点出发，沿图中所示方向按滑动到点为止，同时点从点出发，沿图中所示方向按滑动到点为止，那么在这个过程中，线段的中点所经过的路线围成的图形的面积为（ ）
A. 2 B. 4－
C. D.

三、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”
4、（直接找线段的中点，应用中位线定理）
如图，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC=BD，M、N分别是AB、CD的中点，MN分别交BD、AC于点E、F.你能说出OE与OF的大小关系并加以证明吗？

5、（利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理）
如图所示，在三角形ABC中，AD是三角形ABC∠BAC的角平分线，BD⊥AD，点D是垂足，点E是边BC的中点，如果AB=6,AC=14，求DE的长

6、（利用平行四边形对角线的交点找中点，应用中位线定理）
如图所示，AB∥CD，BC∥AD ，DE⊥BE ，DF=EF，甲从B出发，沿着BA、AD、DF的方向运动，乙B出发，沿着BC、CE、EF的方向运动，如果两人的速度是相同的，且同时从B出发则谁先到达F点？

7、（综合使用斜边中线及中位线性质，证明相等关系问题）
如图，等腰梯形ABCD中，CD∥AB，对角线AC、BD相交于点O，，点S、P、Q分别是DO、AO、BC的中点.
求证：△SPQ是等边三角形。

四、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）
8、如图：梯形ABCD中，∠A=90°,AD//BC,AD=1,BC=2,CD=3,
E为AB中点，求证：DE⊥EC

9、如图甲，在正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC）中，点B、C、G在同一直线上，M是AE的中点，（1）探究线段MD、MF的位置及数量关系，并证明；
（2）将图甲中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使正方形CGEF的对角线CE恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上，原问题中的其他条件不变。（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明
A
B
C
D
F
G
E
M
图乙
图甲
B
A
C
E
D
F
G
M

B
D
C
A

五、有中点时常构造垂直平分线
10、如图所示，在△ABC中，AD是BC边上中线，∠C=2∠B.AC=BC。
求证：△ADC为等边三角形。

六、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）
11、（1）探索：已知的面积为，
①如图1，延长的边BC到点D，使CD=BC，连接DA，若的面积为，则= （用含的代数式表示）
②如图2，延长的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE，若的面积为，则= （用含的代数式表示）
③在图2的基础上延长AB到点F,使BF=AB,连接FD，FE,得到（如图3），若阴影部分的面积为，= （用含的代数式表示）
⑵发现：像上面那样，将各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到（如图4），此时，我们称向外扩展了一次。可以发现，扩展一次后得到的的面积是原来面积的 倍
⑶应用：如图5，若△ABC面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B=AB，B1C= BC，C1A=CA，顺次连结A1，B1，C1，得到△A1B1C1. 第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1= A1B1，B2C1= B1C1，C2A1= C1A1，顺次连结A2，B2，C2，得到△A2B2C2，第三次操作… ，按此规律，要使得到的三角形的面积超过2010，最少要经过　 　　次操作.

12、如图所示，已知梯形ABCD，AD∥BC，点E是CD的中点，连接AE 、 BE，
求证：S△ABE=S四边形ABCD。

13、如图，M是ABCD中AB边的中点。CM交BDD
C
B
M
A
E

于点E,则图中阴影部分面积与ABCD面积之比为

14、如图所示，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则等于：A、 B、 C、 D、

七、倍长中线
15、如图，△ABC中，D为BC中点，AB=5，AD=6，AC=13。求证：AB⊥AD

16、如图，点D、E三等分△ABC的BC边，求证：AB+AC>ADAE

17、如图，D为线段AB的中点，在AB上取异于D的点C，分别以AC、BC为斜边在AB同侧作等腰直角三角形ACE与BCF，连结DE、DF、EF，
求证：△DEF为等腰直角三角形。

八、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”
18、半径是 5 cm的圆中，圆心到 8 cm长的弦的距离是________

19、半径为的圆O中有一点P，OP=4，则过P的最短弦长_________，
最长弦是__________，

20、如图，在圆O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，若AC=2cm，则圆O的半径为_cm。

21、如图，在⊙O中，直径AB和弦CD的长分别为10 cm和8 cm，则A、B两点到直线CD的距离之和是_____.

22、如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于E，若AE＝2cm，BE＝6cm，∠CEA＝300，
求：CD的长；

23、某市新建的滴水湖是圆形人工湖。为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A、B、C三根木柱，使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等，并测得BC长为240米，A到BC的距离为5米，如图5所示。请你帮他们求出A
B
C

滴水湖的半径。

倍长中线：
1．（2011平谷二模）24. 已知：如图①，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，
过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）
D
F
B
A
C
E
图③
F
B
A
D
C
E
G
图②

2．（2011朝阳一模）25．已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，点M是CE的中点，连接BM.
（1）如图①，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，可探究得出BD与BM的数量关系为 ；
（2）如图②，点D不在AB上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由.
图②
图①

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