专题7.12：椭圆的极点和极线相关问题的研究与拓展.doc

专题7.12：椭圆的极点和极线相关问题的研究与拓展

专题7.12：椭圆的极点和极线相关问题的研究与拓展
【问题提出】
椭圆极点和极线的定义与作图：已知椭圆（a＞b＞0），则称点和直线为椭圆的一对极点和极线.极点和极线是成对出现的.
从定义我们共同思考和讨论几个问题并写下你的思考:
（1）若点在椭圆上，则其对应的极线是什么?
（2）椭圆的两个焦点对应的极线分别是什么?
（3）过椭圆外（上、内）任意一点，如何作出相应的极线？

【探究拓展】
探究1：在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F. 设过点T的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,.
（1）设动点P满足,求点P的轨迹；
（2）设，求点T的坐标；
（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）
解：（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。
由，得 化简得。
故所求点P的轨迹为直线
（2）将分别代入椭圆方程，以及得：
M（2，）、N（，）
直线MTA方程为：，即，直线NTB 方程为：，即
联立方程组，解得：，所以点T的坐标为
（3）点T的坐标为直线MTA方程为：，即，
直线NTB 方程为：，即
分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，
解得：、
（方法1）当时，直线MN方程为：
令，解得：。此时必过点D（1，0）；
当时，直线MN方程为：，与x轴交点为D（1，0）。
所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。
（方法2）若，则由及，得，
此时直线MN的方程为，过点D（1，0）
若，则，直线MD的斜率，
直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。
因此，直线MN必过轴上的点（1，0）.
探索解析几何问题中的两个技巧
(1) 用“α法”求直线方程
已知两点坐标，求经过这两点的直线方程．通常采取的方法是，或者“点斜式”，或者“两点式”．其实采用下面介绍的“α法”，运算将更加迅速简洁．现介绍如下：
若A（，），B（，），求直线AB的方程．
先将两个点的坐标上下对齐书写，假设最终求出的直线方程为Ax＋By＋C＝0，则，，

这种方法既形象直观，又运算简洁，更重要的是避免了许多情况下，因为字母运算时需要分类讨论的繁琐．大家不妨以“若A（－2,1），B（3，－1），求直线AB的方程”为例试试看.
（2）巧妙分解因式
通常由直线方程与二次曲线方程联立方程组求交点坐标，这种运算是可怕的，尤其是含有大量字母运算时，但当直线与二次曲线有一个已知公共点时，则可以借助分解因式的技巧，很方便地求出另一个公共点的坐标．下面以椭圆为例讲解这种运算技巧：
若公共点为，椭圆方程为，设直线方程为，则
由得，，将代入上式得，显然有公因式，从而很方便地求出另一个交点坐标．
下面运用前面介绍的两个技巧解答2010江苏省高考数学第18题的第⑶问．
先求点M的坐标：
由 得
将直线TA：代入上式得

显然x＋3＝0时，即为点A．要求点M，则约去（x＋3）得．
代入直线TA：得点M的坐标为．
同理，可求出点N的坐标为．
用“α法”写出直线MN的方程，并及时令y＝0得

由于m＞0，化简得，则x＝1
即直线MN必过x轴上的定点（1，0）．
探究2：在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2＝r2和直线l：x＝a（其中r和a均为常数，且0 < r < a），M为l上一动点，A1，A2为圆C与x轴的两个交点，直线MA1，MA2与圆C的另一个交点分别为P、Q．（1）若r＝2，M点的坐标为(4，2)，求直线PQ方程；
（2）求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标．
解：（1）当r＝2，M(4，2)，则A1(－2，0)，A2(2，0).直线MA1的方程：x－3y+2=0，解得．直线MA2的方程：x－y－2=0，解得．由两点式，得直线PQ方程为：2x－y－2=0．
另解：(1)当r＝2，M(4，2)，则A1(－2，0)，A2(2，0).直线MA1的方程：x－3y+2=0，直线MA2的方程：x+y－2=0，所以P、Q在曲线(x－3y+2)( x－y－2)+t(x2+y2－4)=0上，当t=－1时，2x－2y－2=0为直线PQ的方程.
（2）证法一：由题设得A1(－r，0)，A2(r，0) .设M(a，t)，
直线MA1的方程是：y = (x+r)，直线MA1的方程是：y = (x－r) ．解得．解得．
于是直线PQ的斜率kPQ＝，
直线PQ的方程为．
上式中令y = 0，得x＝，是一个与t无关的常数.故直线PQ过定点．
证法二：由题设得A1(－r，0)，A2(r，0) .设M(a，t)，
直线MA1的方程是：y=(x+r)，与圆C的交点P设为P(x1，y1) ．
直线MA2的方程是：y=(x－r)；与圆C的交点Q设为Q(x2，y2) ．
则点P(x1，y1) ，Q(x2，y2)在曲线［(a+r)y－t(x+r)］［(a－r)y－t(x－r)］=0上，
化简得 (a2－r2)y2－2ty(ax－r2)+t2(x2－r2)＝0． ①
又有P(x1，y1) ，Q(x2，y2)在圆C上，圆C：x2+y2－r2＝0．②
①－t2×②得 (a2－r2)y2－2ty(ax－r2)－t2(x2－r2) －t2( x2+y2－r2)＝0，
化简得：(a2－r2)y－2t(ax－r2) －t2 y＝0．
所以直线PQ的方程为(a2－r2)y－2t(ax－r2)-t2 y＝0． ③在③中令y = 0得 x = ，故直线PQ过定点．
变式：已知椭圆的离心率，长轴的左右端点分别为，.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线x＝my＋1与椭圆C交于两点P，Q，直线与交于点S，试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．
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