凑微分法.doc

模块基本信息
一级模块名称
积分学
二级模块名称
计算模块
三级模块名称
凑微分法
模块编号
4—9
先行知识
１、积分基本公式
模块编号
４－7
２、牛顿—莱布尼茨公式
模块编号
4—6
知识内容
教学要求
掌握程度
1、凑微分法求不定积分
１、会运用凑微分法求不定积分
熟练掌握
2、凑微分法求定积分
2、会运用凑微分法求定积分
能力目标
1、培养学生得知识迁移能力
2、培养学生得计算能力
时间分配
９0分钟
编撰
尧克刚
校对
熊文婷
审核
危子青
修订人
　 　张云霞
二审
危子青
一、正文编写思路及特点
　 思路：在熟练掌握积分基本公式得基础上,引入凑微分法，按照由易到难得顺序讲题例题、安排习题，使学生能够灵活运用凑微分积分法求函数得不定积分。在学习完不定积分得凑微分法后再来学习定积分得凑微分法。
　 特点：通过变换习题得手段，一方面进一步得巩固积分基本公式,另一方面锻炼学生得观察能力与知识得迁移能力。
二、 授课部分
（一） 新课讲授
利用基本积分公式与不定积分得性质，所能计算得不定积分就是非常有限得、因此有必要进一步来研究不定积分得求法、由微分运算与积分运算得互逆关系，我们可以把复合函数得微分法反过来用于求不定积分,利用中间变量得代换，得到复合函数得积分法，称为换元法积分法,简称换元法。我们来讨论两类换元法－-－——第一类换元法与第二类换元法、本节课我们来学习第一换元法,也称为凑微分法、
1、不定积分得凑微分法（第一换元积分法)
(１）基本积分公式得推广
定理：若,则

例如：

（2）引例：求不定积分
分析:在基本积分公式中只有、比较与这两个积分,我们发现区别只就是得幂次相差一个常数因子,但显然、如果将中得凑上一个常数因子2，使之成为下式

然后再令，那么上述积分就变为

这样就将原不定积分化为可用基本积分公式得问题了，而　
,最后将代回,从而有

由于,所以计算结果正确、
(3）　不定积分得凑微分法（第一换元法）
将引例抽象化,对于具有形如得不定积分,可利用下面得积分方法:

　 　　定理1 设f(u）具有原函数,　ｕ=j（x）可导, 则有换元公式

其中,, 此称为积分形式得不变形，又称为第一换元积分法或凑微分法。
总结：凑微分法得关键就是凑成微分得形式，即通过凑成某个函数得微分,进一步得凑成基本积分公式，然后利用基本公式积出来
(４）案例讲解
例１、 求下列函数得不定积分
(1）　 (一级） 　 　　 （2) 　（一级)
(3) (一级） 　
解： (1) (令）

　 　 注:此题利用凑微分公式，从而凑出了这个积分公式
(2） （令）

注：此题利用凑微分公式，从而凑出了
这个积分公式
（3）　()
　 　 　 　　(）
注：此题利用凑微分公式，从而凑出了
这个积分公式
在计算比较熟练以后，换元这一步可以省略,即按如下方法写出计算过程:

例2、 求下列函数得不定积分
(1)　 　（二级） 　 　 （2)　 （二级)
(３) （二级）　 　　（4） 　(二级）
(５)　 (二级) 　 　 （6）　（二级）
（7）（二级)
解:　 (1） 　
(2）

（3）　
(４）
(5）
（6）　
(7）

由以上题目可见，凑微分就是通过凑出某个函数得微分进一步得凑成基本得积分公式，从而掌握一些常用得凑微分方法就是必要得，下面就是一些常用得凑微分方法:
（1）
（2） 　
（3）
（4）
特别地，
(5) 　
（6)
(７）
（8）
（9）
（10）
例３、 求下列函数得不定积分
(1） 　(二级） （2) (a>0)（二级） 　
(3) （二级)　 　 　
解：(1)
.
　 　　 即
　　 　 （２)

. 　 　　 　
即 　
　　(3)　

.
即
　　 　 这样,我们得到三个积分公式：

(选讲）例４ 求下列函数得不定积分（提高部分，可选讲)
(1） （三级) （２）(三级）
解: （1）

（２）
　 　 　 　 ＝
2、定积分得凑微分法(第一换元积分法)
由牛顿—莱布尼茨公式可知,定积分得凑微分法与不定积分得凑微法类似，只就是多了一步将上、下限代入得步骤、
类似于不定积分得思路，我们可以得到如下定理
定理2　　设f（u）具有原函数可导F（u）则有换元公式

例５　求下列函数得定积分
（1）　　(一级） （2)　 （一级)
(3)　 (二级) 　 (4）　 (二级）　
(5) (二级)
（１)　解: =　
（2）解:　 　
　 　 　 = 　 　 　 　 .
（３)解:
（4)解:　

(5)解：

三、 能力反馈部分
１、用凑微分法求下列函数得不定积分
(1） (一级)　 （2) 　 （二级) 　 　　 　 　　
（３）　 （二级) 　　　（4） （二级）
(5） 　（二级) 　 (６） （二级)
(7） 　 　（二级） 　 （8) (二级)
（9) （三级) 　 　 （10）　 　(三级） 　 　 　 　
2、用凑微分法求下列函数得定积分
　 （二级)　 　 　 　 　 (一级)
（二级）　 　 　　（二级)