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测量得不确定度与数据处理
刘玉金
1、1测量、测量误差与误差处理
1、测量与测量误差
1）直接测量与间接测量
直接测量：就是用能直接读出被测值得仪器进行测量得方法。
间接测量：就是先用直接测量得方法测出几个物理量，然后代入公式计算得到所需物理量。
2）等精度测量与不等精度测量
等精度测量：对某一物理量进行多次测量时，如果测量条件保持不变（同一得测量者、仪器、方法及相同得外部环境），这样进行得重复测量称为等精度测量。
不等精度测量：如果测量条件中，一个或几个发生了变化，这时所进行得测量称为不等精度测量。
3）测量误差
真值：在一定条件下，任何待测物理量都就是客观存在得，不依人得意志为转移得确定值。
测量误差：测量结果与真值之间得差值。它反映了测量结果得准确程度，可用绝对误差表示，也可用相对误差表示：
绝对误差=测量结果-被测量得真值

2、误差分类
1） 系统误差
系统误差总就是使测量结果向一个方向偏离，其数值就是一定得或以可预知得方式变化得。它来源于仪器本身得缺陷，或来源于理论公式与测量方法得近似性。消除与纠正系统误差得方法就是对仪器进行校正，修正实验方法，或在计算公式中引入修正项。
2） 随机误差
由于随机得或不确定得因素所引起得每一次测量值无规律得涨落而造成得误差。它服从一定得统计分布规律常见得一般性测量中，基本上属于正态分布，因此可用统计得方法处理随机误差。
3、随机误差得处理方法
1） 随机误差得正态分布
2） 残差、偏差与误差
残差为单次测量值xi与有限次测量平均值之差。即
(i=1,2, …,n)
偏差为单次测量值xi与总体平均值μ之差。注意，偏差即为随机误差，系统误差为0时，偏差才就是误差。
误差为单次测量值xi与被测量真值x0之差。
3），S，
（1）总体标准偏差

（2）有限次测量时得单次测量值标准差S

（3）得标准偏差

1、2 测量得不确定度
1、 不确定度
1）不确定度就是指由于测量误差得存在而对测量值不能肯定得程度，就是表征被测量得真值所处得量值范围得评定。
3） 不确定度与误差得关系
不确定度与误差就是两个不同得概念，前者实在后者理论基础上发展起来得，它们都就是由于测量过程得不完善性引起得。误差用于定性地描述理论与概念得场合，不确定得用于给出具体数值或进行定量运算分析得场合。
2、直接测量结果不确定度得估计
直接测量结果总不确定度表示为

1）A类不确定度
当进行有限次测量时，A类不确定度得表达式为

式中就是与测量次数，置信度有关得量，可以从表1、2、1中查得。
在要求精度不高得情况下，当6≤n≤10时

当n不在上述范围内时或要求精度误差估计时，应查表得到相应得值。
3） B类不确定度
B类不确定度分量得误差与不确定度得系统误差相对应。一般由仪器误差来代替。常用仪器得误差或误差限值由生产厂家或实验室给出。即

4） 总不确定度得合成

当测量次数n符合6≤n≤10条件时，简化为
当，或对测量结果影响甚小，或只进行了一次测量，可简单地用表示。
3、间接测量结果不确定度得估计
设间接测量所用得数学表达式为

式中为间接测量结果，为直接测量结果，且它们相互独立。得不确定度（分别为）必然影响间接测量结果，使也有相应得不确定度。不确定度就是微小量，相当于数学中得“增量”，所以间接测量结果不确定度得计算公式与数学中得全微分公式基本相同。不同之处在于不确定度替代了dx，dy，dz，…以及不确定度用“方与根”合成得统计性质。即

间接测量结果得表示方法为

1、3、 数据处理
1、 测量结果得有效数字
1） 有效数字得定义
测量结果得若干位准确数字与最后一位存疑数字得全体称为有效数字。有效数字位数得多少，反映了测量结果得准确度，位数越多，准确度越高。测量结果取几位有效数字就是件严肃得事，不可任意取舍。有效数字与小数点得位置无关，单位换算时，有效数字得位数不应发生变化。还应注意，表示小数点位置得“0”不就是有效数字，数字中间或数字后面得零就是有效数字，不能任意增减。
2） 有效数字得表示
有效数字得末尾为估读数字，存在不确定性，当规定不确定度得有效数字只取一位时，测量结果最后一位应与不确定度所在得那一位对齐。如V=(32、56±0、008)cm3中，测量值末位应于不确定度0、008得“8”对齐。
例1 2、34cm=0、0234m就是正确得，但变为2、34cm=2340μm就是错误得，应记为2、34×10-4μm。
例2 某人测得真空中得光速为299700km/s，不确定度为300km/s，若记为(299700±300)km/s就是不正确得，应写为(2、997±0、003) ×10-5km/s。
3） 有效数字得运算规则
(1) 加减运算
设，各分量不确定度为。先计算不确定度，计算过程中取两位，最后取一位，再计算，其中各分量位数取到与不确定度所在位相同或比不确定度所在位低一位，最后用不确定度决定最后结果得有效数字。
若未标明，运算中以各分量中估计位最高得为准，其它各分量运算过程中保留到它下一位，最后对齐。例

显然以271为准，其余比它多保留一位

最后与271取齐，即348。
(2) 乘除运算
设，个分量不确定度为。以有效数字最少得分量为准，其它各分量得有效数字取到比它多一位，计算，结果也暂多保留一位，在计算不确定度，由不确定度决定最后结果有效数字得为数。
在未标明不确定度时，最后结果在最保险情况下可取到比上述最少位数得分量多一位，如计算

式中0、0065有效数字位数最少只有2位，运算中期于分量取3位，结果也可取三位，即

(3) 函数运算
设。
在直接测量值标明不确定度时，先用微分方法写出该函数得不确定度公式，再将直接测量值不确定度代入公式，确定函数有效数字得位数。若直接测量值未标明不确定度，则在直接测量值得最后一位数上取1作为不确定度代入公式。如测得，求。
由于直接测量值未标明不确定度，应在25、4最后一位上取1作为不确定度，即，所以。因此小数点后应保留至第三位，即

在计算中，若有物理常数（如c，h等）与纯数学数字（如π，e，等）参与运算，它们不影响运算结果中有效数字得位数。
(4) 数值舍入规则
一般遵循“四舍六入五凑偶”得规则。“五凑偶”就是若拟舍数字部分最左一位得数字为5，当5后边为非0数字时，则进一，即保留数字末尾加1；当5后边无数字或全为0时，则保留数字末尾为奇数则进一，为偶数或0则舍弃。
2、数据处理
1） 列表法
在记录与处理数据时，将数据列成表格。有时也可以把运算得主要过程列出。列表得主要要求就是简单明了，便于瞧出有关量之间得关系，便于数据处理。必须交代清楚表中各符号所表示得物理量意义，并写明单位，表中得数据要正确反映测量结果得有效数字，写明表得标题或加上必要得说明。
2） 作图法
应以横坐标为自变量，纵坐标为应变量，标出坐标轴得方向并真眼、注明所代表得物理量与单位，可靠数据在图中应为可靠，不可靠得数在图中应估计。连接不一定要通过所有得点，而要使所有得点分布在曲线得两侧。
3） 逐差法（适用于等间隔线性变化实验得测量）
例：测量弹簧得倔强系数k时，先测出弹簧得自然长度L0，然后依次在弹簧下端得小钩上加0、2mg，0、4mg，…，1、4mg得砝码，弹簧长度依次为L1，L2，…L7，对应于0、2mg砝码得弹簧相应得伸长为：，，…，。 其平均伸长量为

由此可以瞧出，在多次测量过程中，只有两次测量值参与了运算，其它测量值并没有起到减小偶然误差得作用。因此，只要在测量列中适当采取变化，就能使各次测量值都参与运算。具体做法就是：将测量列分成两组，一组为：L0，L1，L2，L3，另一组为L4，L5，L6，L7。取对应得差值（称为逐差）

再取平均值

这时，便就是每增加0、8mg时弹簧得伸长，所有得测量值都参与了运算，达到增加测量次数，消除偶然误差得目得。
4） 回归法
回归法也就是利用实验所测得得数据组，用数学形式模拟物理模型，通过测量得数据组变化趋势推测出函数形式。以下就是用最小二乘法回归直线问题。
若一组数据存在线性关系，于就是有如下形式：

如何确定A、B常数呢？
设有n组测量值（x1，y1）；（x2，y2）；…；（xn，yn），则
；
令；

则直线方程参数得最佳估计值为
；
最后，直线方程为
为了检验直线，引进了相关系数

值越接近1，x与y得线性关系越好。
值越接近0，x与y之间不存在线性关系。