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1、2021年高教社杯全国大学生数学速模竞赛 2021年12月2日 关于水泥厂生产及运输方案的最优化求解 摘要 摘要内容：木论文主要讨论四个水泥厂往五个城市提供水泥的生产运输最优 化问题。根据给出的条件，做出合理的分析，通过建立数学模型以及利用电脑软 件Microsoft exce!2003辅助，求出2021年的水泥生产本钱，并根据各地不同的 生产本钱以及超出需要额外投资的本钱，规划求解得出在资源限制范围内最优的 生产运输方案以及所需要的最低费用。 关键词：回归方程；目标函数；数学模型；线性规划求解。 一、问题重述 某水泥现有4个水泥厂，这4个厂生产的水泥都销往附近的ABCDE这5个
2、城 市，而这5个城市今年的需求量分别为110万吨，160万吨，80万吨，200万吨 和100万吨。资源消耗系数为2. 5,每吨产品的运输费用见表一，表二提供了一 些其他供参考的数据，表三提供了最近十年这4家水泥厂生产每吨水泥的生产本 钱（万元）。 问题：请你根据给定的数据设计出最优的生产及运输方案，并给该水泥公司 管理层写一个报告。 A城市 B城市 C城市 D城市 E城市 水泥厂1 80 130 120 30 140 水泥厂2 100 60 70 30 90 水泥厂3 40 90 60 50 40 水泥厂4 70 50 90 120
3、 100 表一：每吨水泥的运输费用（单位：元） 年生 产能力（万 吨） 平均每提高1 吨产量所需额 外投资（万元） 资源限制 （万吨） 水泥厂1 100 1.4 500 水泥厂2 150 0.8 800 水泥厂3 120 1. 1 600 水泥厂4 130 1.5 700 表二：一些其他供参考的数据 水泥厂1 水泥厂2 水泥厂3 水泥厂4 2021 年 1. 123 1. 169 0. 900 1.244 2021 年 1.096 0. 989 0. 950 1.050 2021 年 1.037 0.
4、970 0. 935 1.065 2021 年 0. 995 0. 959 0. 920 1.024 2007 年 0. 990 0. 953 0. 900 1.022 2006 年 0. 960 0. 925 0. 857 0. 980 2005 年 0. 936 0. 758 0.815 0. 899 2004 年 0. 882 0. 744 0. 705 0. 892 2003 年 0. 877 0. 660 0. 688 0. 764 2002 年 0. 843 0. 622 0. 684 0. 721 表三：
5、4家水泥厂的生产本钱（万元/吨） 注：资源限制是指产地资源的拥有量；资源消耗系数是指生产单位产品所 需消耗的资源数。 二、问题分析 问题中给出最近儿年各个水泥厂生产本钱，由回归方程可得到每个水泥厂 2021年的生产本钱。设2021年每个水泥厂生产本钱分别为W1,W2,W3,W4。 四个水泥厂运往五个城市，需要的运费各不一样。并且各个水泥厂的生产本 钱各不一样。超出年生产能力之后生产每吨水泥需要的额外本钱也不一样，所以 此题需要设两个主要的函数，分别为年生产能力之内每个水泥厂运往每个地方的 水泥数量，以及年生产能力之外每个水泥厂运往每个地方的水泥数量。 设四个水泥厂的代号为Al, A2
6、 A3, A4,五个城市的代号为Bl, B2, B3, B4, B5,设产能之内各个水泥厂运往每个城市的水泥吨位为Xij,产能之外各个 水泥厂运往每个城市的水泥为Yij。那么总费用即为运输量乘以运费与生产本钱 的和。 由资源消耗系数以及资源限制量可求的四个水泥厂可生产的水泥最多分别 为200万吨,320万吨,240万吨,280万吨.各自减去产能可得到超出生产能力后 每个水泥厂分别最多可以再生产100万吨，170万吨，120万吨，150万吨水泥。 再根据每个水泥厂的产能限制以及运费和各地的需求量列出等式和不等式 组，利用线性规划求出总费用的最小值。 三、模型假设及符号说明3. 1模型假设
7、 由每个水泥厂运往每个城市的水泥量，以及使得其满足费用最小化的约束条 件，建立成一个模型。 3.2符号说明 Al, A2, A3, A4代表四个水泥厂,Bl, B2, B3, B4, B5代表五个城市。Xij 为产能之内每个工厂向各地运输的水泥量。Yij为产能之外每个水泥厂往各地运 输的水泥量。W1,W2,W3,W4表示2021年各个水泥厂的生产本钱〔万元/吨）。设 所需要的总费用为M,四个水泥厂按照题干要求的生产总本钱为Z,四个水泥厂 的运输总费用为Y。那么切Z+Y.目的是求使得M为最小值的生产运输方案。 四、模型的建立与求解4. 1模型的建立 这里统一单位为万元/吨 水泥厂
8、年产能之内的生产运临 N量 B. b3 B, b5 年生产能力 A. XII X12 X13 X14 X15 1000000 a2 X21 X22 X23 X24 X25 1500000 a3 X31 X32 X33 X34 X35 1200000 4 X41 X42 X43 X44 X45 1300000 年产能之外的生产运输量 资源限制 A. Y11 Y12 Y13 Y14 Y15 1000000 a2 Y21 Y22 Y23 Y24 Y25 1700000 a3 ¥31
9、Y32 Y33 Y34 Y35 1200000 Y41 Y42 Y43 Y44 Y45 1500000 需求量 （吨） 1100000 1600000 800000 2000000 1000000 每个水泥厂运往每个城市的水泥本钱为运费加上生产本钱。根据计算出的2021年生产本钱 以及运费可以列出一下表格 水泥厂 2021年产能之内 生产本钱〔万元/吨） 2021年产能之外每吨所需 额外投资〔万元/吨） 2021年产能之 外总本钱〔万元/吨） A】 W1 1.4 W1+1.4 a2 W2 0.8 W2+0. 8 a3 W
10、3 1. 1 W3+1. 1 Aa W4 1. 5 W4+1.5 水泥厂 运往地 B. b2 b3 b4 b5 A. 0. 008 0.013 0.012 0.003 0.014 a2 0.01 0. 006 0. 007 0. 003 0. 009 a3 0. 004 0. 009 0. 006 0. 005 0. 004 A. 0. 007 0. 005 0. 009 0.012 0.01 每吨水泥的运输费用(单位：万元)'X11 + K11、 X12+K12 Z= ( 0.008 0.013 0.012
11、0.003 0.014 )X13+K13 +(0.01 0.006 0.007 0.003X14+H4
\X15 + V，
'X21 + X21、
X22+Y22
0.009) X23+K23 +(0.004 0.009 0.006
X24 + Y24
12、X1/ + K1/) (5、 E 支(X2j + Y2j) Y=(W1 W2 W3 W4) jT 5 +(1.40.8 1.1 1.5) 」=1 5 £(X3/ + W j=l tY3J >=1 文(X4/ + K4J) "=i> > M=Y+Z 限制条件 1 ：文(Xi 1 + Y11) = 1100000,文(Xi 2 + Yi2) = 1600000，文(Xi 3 + Yi3) =800000, i=li=li=l£(Xi4 + Y，4) =2000000, £(Xi5 + Yi5) = 1000000； i=
13、li=l555 限制条件 2:0< ^Xlj <1000000 , 0W W1500000, OW £X3j m200000, ow <130()000；限制条件 3： OWZYlj <1000000, OW £Y2j wi700000, ^Y3j <1200000, OW >=•>=i>=i 5 Y4j <1500000；J=i 4. 2模型的求解接下来利用Microsoft Excel2()()3列出表格数据以及规划求解，为方便求解，这里 的水泥量单位统一为吨，费用单位统一为万元。 图(1)如图1,阴影局部为这次建模主要求解的局部，即各个水泥厂的生产运输方案. 图(2)此表格
14、中的数据为各个水泥厂运往各地的运费，以及产能之内和产能之外的生产本钱。为了 方便使用SUMPRODUCT函数，我们将生产本钱同样设计成4X5的表格〔图2) 图(3)图3利用SUMPRODUCT函数求出上述模型中的Z、Y、M的值。分别对应图3表格中的 B100、C100、B101单元格。其中SUMPRODUCT函数的功能是是具有•样维数的表格数 据对应相乘，返回值为这些乘积的和。 图(4)接下来就是规划求解了，利用先从Excel2003工具中加载规划求解宏，然后翻开规划求解工 具，就能看到图〔4)的界面。我们先来设置规划求解参数。目标单元格为总费用的B101 单元格，目的是使其值最小，我们点
15、选最小值选项。可变单元格为图(1)中的阴影局部， 即为各个工厂的生产运输方案。添加的约束即为上述模型中的三组限制条件中的右边局部。 图(5)如图5,在选项中，我们勾选假定非负，这样上述三组限制条件中的右边局部也己将添加了 约束。然后勾选采用线性模型。 图(6)点击确定后，规划求得结果，找到一解，可满足所有的约束及最优状况。 图(7)图(8) 表格7为这次所求的运费以及生产费用的最小值。表格8即为满足使得总费用最 小的生产运输方案。由表格可以看出，四个水泥厂要生产的水泥分别为100万吨, 300万吨，120万吨，130万吨。 水泥厂1运往D城市100万吨水泥。 水泥厂2运往B城市12
16、0万吨，C城市80万吨，运往D城市100万吨。 水泥厂3运往A城市20万吨，运往E城市100万吨。 水泥厂4运往A城市90万吨，运往B城40万吨，运往C城市40万吨。表格为: 水泥厂 运往各城市的水泥〔万吨） A B C D E 1 0 0 0 100 0 2 0 120 80 100 0 3 20 0 0 0 100 4 90 40 0 0 0 只有水泥厂2的生产超过其产能150万吨。需要的最小总费用为8697680万元。 五、模型的评价与推广 此模型充分发挥了 Excel软件在解析线性规划问题中的应用，将复杂的问题建立模型后，使 得其简单化，并且求出了合理的规划方案。此模型可以灵活套用在各个生产运输最优化方案 中，是一个非常值得推广的方案。 附录：由Microsoft Excel 2003求出的2021年各水泥厂的生产本钱以及其原函数。
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