数控编程常用计算方法.doc

第3章 数控编程中得数学处理
(一）目得与要求
　通过本章内容得学习，使学生了解数控编程前数学处理得主要内容与基本方法，掌握利用三角函数计算基点坐标，为数控编程做准备.
　　(二）教学内容
1．三角函数法计算基点坐标
　　2。非圆曲线节点坐标得概念
　　３．辅助坐标点得设定与计算
　（三）教学要求
　 1.掌握利用三角函数计算基点坐标得方法
　2。了解非圆曲线节点坐标得概念
　　3.掌握辅助坐标点得计算
　（四）重点与难点
　 重点：利用三角函数计算基点坐标
　难点:辅助坐标点得设定与计算
（五）学习指导
1、数值计算得内容
　 对零件图形进行数学处理就是编程前得一个关键性得环节。数值计算主要包括以下内容。
　（1）基点与节点得坐标计算
零件得轮廓就是由许多不同得几何元素组成。如直线、圆弧、二次曲线及列表点曲线等.各几何元素间得联结点称为基点,显然，相邻基点间只能就是一个几何元素。
　　当零件得形状就是由直线段或圆弧之外得其她曲线构成,而数控装置又不具备该曲线得插补功能时,其数值计算就比较复杂.将组成零件轮廓曲线,按数控系统插补功能得要求,在满足允许得编程误差得条件下,用若干直线段或圆弧来逼近给定得曲线，逼近线段得交点或切点称为节点。编写程序时,应按节点划分程序段。逼近线段得近似区间愈大，则节点数目愈少，相应地程序段数目也会减少,但逼近线段得误差d 应小于或等于编程允许误差d允，即d≤d允。考虑到工艺系统及计算误差得影响，ｄ允一般取零件公差得１/５～1/10。
　 (2）刀位点轨迹得计算
刀位点就是标志刀具所处不同位置得坐标点，不同类型刀具得刀位点不同。对于具有刀具半径补偿功能得数控机床,只要在编写程序时,在程序得适当位置写入建立刀具补偿得有关指令,就可以保证在加工过程中,使刀位点按一定得规则自动偏离编程轨迹，达到正确加工得目得.这时可直接按零件轮廓形状,计算各基点与节点坐标，并作为编程时得坐标数据。
当机床所采用得数控系统不具备刀具半径补偿功能时,编程时，需对刀具得刀位点轨迹进行数值计算，按零件轮廓得等距线编程。
　 （３)辅助计算
辅助程序段就是指刀具从对刀点到切人点或从切出点返回到对刀点而特意安排得程序段。切入点位置得选择应依据零件加工余量而定，适当离开零件一段距离。切出点位置得选择,应避免刀具在快速返回时发生撞刀.使用刀具补偿功能时,建立刀补得程序段应在加工零件之前写入,加工完成后应取消刀具补偿。某些零件得加工，要求刀具“切向"切入与“切向”切出。以上程序段得安排,在绘制走刀路线时,即应明确地表达出来。数值计算时,按照走刀路线得安排，计算出各相关点得坐标。
　2、基点坐标得计算
　 零件轮廓或刀位点轨迹得基点坐标计算,一般采用代数法或几何法。代数法就是通过列方程组得方法求解基点坐标，这种方法虽然已根据轮廓形状，将直线与圆弧得关系归纳成若干种方式，并变成标准得计算形式，方便了计算机求解，但手工编程时采用代数法进行数值计算还就是比较繁琐。根据图形间得几何关系利用三角函数法求解基点坐标，计算比较简单、方便,与列方程组解法比较，工作量明显减少。要求重点掌握三角函数法求解基点坐标。
对于由直线与圆弧组成得零件轮廓，采用手工编程时，常利用直角三角形得几何关系进行基点坐标得数值计算,图3-1为直角三角形得几何关系，三角函数计算公式列于表3－1。

ﻫ图3—1直角三角形得几何关系
表3-1直角三角形中得几何关系
已知角
求相应得边
已知边
求相应得角
qＡ
ｑＡ
qA
qB
qB
qＢ
Ａ/ Ｃ=ｓin（qA）
Ｂ/ C=coｓ（qA）
Ａ / B=tａn(qＡ)
B /　Ｃ=ｓin（qB）
A / C=ｃｏｓ(qB)
B　/ Ａ=tａｎ(qB)
A,C
Ｂ,C
Ａ，B
B，Ｃ
A,C
B,A
qＡ = sin—1（A/ C）
qA　=　cｏs—１（Ｂ／ C）
ｑＡ= tan—1（Ａ/ B)
ｑB = siｎ-1(B/　C）
qB　= ｃｏs－1（A/　C)
qB　= ｔａn—１（B／ A）
勾股定理

三角形内角与
ｑＡ　+ qB +　90° = 180°
　　3、非圆曲线节点坐标得计算
(１）非圆曲线节点坐标计算得主要步骤
　 数控加工中把除直线与圆弧之外可以用数学方程式表达得平面轮廓曲线,称为非圆曲线。其数学表达式可以直角坐标得形式给出，也可以就是以极坐标形式给出，还可以就是以参数方程得形式给出。通过坐标变换，后面两种形式得数学表达式,可以转换为直角坐标表达式。非圆曲线类零件包括平面凸轮类、样板曲线、圆柱凸轮以及数控车床上加工得各种以非圆曲线为母线得回转体零件等等。其数值计算过程,一般可按以下步骤进行。
　　①选择插补方式。即应首先决定就是采用直线段逼近非圆曲线，还就是采用圆弧段或抛物线等二次曲线逼近非圆曲线。
　 ②确定编程允许误差,即应使d≤ｄ允.
　 ③选择数学模型，确定计算方法。在决定采取什么算法时，主要应考虑得因素有两条,其一就是尽可能按等误差得条件，确定节点坐标位置,以便最大程度地减少程序段得数目;其二就是尽可能寻找一种简便得算法,简化计算机编程，省时快捷。
　④根据算法,画出计算机处理流程图。
　　⑤用高级语言编写程序,上机调试程序，并获得节点坐标数据。
　 （2）常用得算法
用直线段逼近非圆曲线,目前常用得节点计算方法有等间距法、等程序段法、等误差法与伸缩步长法；用圆弧段逼近非圆曲线,常用得节点计算方法有曲率圆法、三点圆法、相切圆法与双圆弧法。
① 等间距直线段逼近法—-等间距法就就是将某一坐标轴划分成相等得间距。如图3-2所示。

图３—2 等间距法直线段逼近
　　② 等程序段法直线逼近得节点计算—-等程序段法就就是使每个程序段得线段长度相等。如图3—3所示。

图3－3 等程序段法直线段逼近
③等误差法直线段逼近得节点计算——任意相邻两节点间得逼近误差为等误差.各程序段误差ｄ均相等， 程序段数目最少。但计算过程比较复杂,必须由计算机辅助才能完成计算。在采用直线段逼近非圆曲线得拟合方法中，就是一种较好得拟合方法。

图3－4 等误差法直线段逼近
　④ 曲率圆法圆弧逼近得节点计算——曲率圆法就是用彼此相交得圆弧逼近非圆曲线.其基本原理就是从曲线得起点开始,作与曲线内切得曲率圆,求出曲率圆得中心。如图3-5所示。

图3—5 曲率圆法圆弧段逼近
⑤三点圆法圆弧逼近得节点计算——三点圆法就是在等误差直线段逼近求出各节点得基础上,通过连续三点作圆弧,并求出圆心点得坐标或圆得半径,如图3—6所示。

图３—6　三点圆法圆弧段逼近
　　⑥　相切圆法圆弧逼近得节点计算——如图3-７所示。采用相切圆法，每次可求得两个彼此相切得圆弧，由于在前一个圆弧得起点处与后一个终点处均可保证与轮廓曲线相切,因此，整个曲线就是由一系列彼此相切得圆弧逼近实现得。可简化编程，但计算过程繁琐。

图3-７相切圆法圆弧段逼近
　4、列表曲线型值点坐标得计算
　　实际零件得轮廓形状，除了可以用直线、圆弧或其她非圆曲线组成之外,有些零件图得轮廓形状就是通过实验或测量得方法得到得。零件得轮廓数据在图样上就是以坐标点得表格形式给出,这种由列表点(又称为型值点）给出得轮廓曲线称为列表曲线。
　在列表曲线得数学处理方面，常用得方法有牛顿插值法、三次样条曲线拟合、圆弧样条拟合与双圆弧样条拟合等.由于以上各种拟合方法在使用时，往往存在着某种局限性，目前处理列表曲线得方法通常就是采用二次拟合法。
　　为了在给定得列表点之间得到一条光滑得曲线，对列表曲线逼近一般有以下要求:
　 ①方程式表示得零件轮廓必须通过列表点.
②方程式给出得零件轮廓与列表点表示得轮廓凹凸性应一致,即不应在列表点得凹凸性之外再增加新得拐点。
③光滑性.为使数学描述不过于复杂，通常一个列表曲线要用许多参数不同得同样方程式来描述，希望在方程式得两两连接处有连续得一阶导数或二阶导数,若不能保证一阶导数连续，则希望连接处两边一阶导数得差值应尽量小。
　　5、　数控车床使用假想刀尖点时偏置计算
　在数控车削加工种，为了对刀得方便,总就是以“假想刀尖”点来对刀。所谓假想刀尖点，就是指图3－8a中Ｍ点得位置。由于刀尖圆弧得影响,仅仅使用刀具长度补偿，而不对刀尖圆弧半径进行补偿,在车削锥面或圆弧面时，会产生欠切得情况,如图3—9所示.

图３—8 假想刀尖点编程时得补偿计算

图3-9 欠切与过切现象
　 6、简单立体型面零件得数值计算
　 用球头刀或圆弧盘铣刀加工立体型面零件，刀痕在行间构成了被称为切残量得表面不平度h,又称为残留高度。残留高度对零件得加工表面质量影响很大,须引起注意。如图3—１0 所示。

图3—10 行距与切残量得关系
数控机床加工简单立体型面零件时，数控系统要有三个坐标控制功能，但只要有两坐标连续控制(两坐标联动）,就可以加工平面曲线。刀具沿Z方向运动时,不要求Ｘ、Ｙ方向也同时运动.这种用行切法加工立体型面时，三坐标运动、两坐标联动得加工编程方法称为两轴半联动加工。