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3微积分定理与基本计算

 引入：由定积分计算引出 .     
 思路：表达面积函数 .
 一． 微积分学基本定理：
     1.  微积分学基本定理：  
定理 1 （  微积分学基本定理 ）若函数 则面积函数  
在上可导，且 =.    即当 时,  面积函数 可导且在点的导数恰为被积函数在上限的值. 亦即 是的一个原函数 .
证:连续函数必有原函数.
    2.  Newton — Leibniz 公式：
    定理 2  （ N — L公式 ）( 证 )
    例1  ⅰ>  ;   ⅱ>  ;     
例2   .
例3  .    ( 与§1 例3 联系 )
例4   设    但， 证明  >0.  
    证明分析:  证明  .
设  , 只要证明  . 为此证明:
ⅰ）↗ ( 只要)； ⅱ） 但 不是常值函数   (只要), ⅲ） 又 .    ( 证 )
 例5  证明      ( 利用[0,1]上的不等式  )
    二． 定积分换元法：
  定理3   设 函数满足条件：
    ⅰ>  , 且 ;
    ⅱ>  在上有连续的导函数.
则    .    （ 证 ）
    例6     .    (  [1]P305 E4 )
    例7  .    (  [1]P305 E5 )
例8   计算 . 该例为技巧积分.
例9   .       该例亦为技巧积分.
例10  已知  ,  求
例11  设函数连续且有 求积分

 例12  设是区间上连续的奇（或偶函数）函数，则
             ， （ . ）
例13 
三.  分部积分公式:
    定理4  ( 分部积分公式 )
    例14 
    例15  计算  .
    解   =
           ；
解得    直接求得 ， . 
于是,  当为偶数时,  有   
;
当为奇数时  有  .

  习    题    课
     一． 积分不等式：
    1． 利用积分关于被积函数的单调性证明积分不等式：
    例1   证明不等式 .
证   注意在区间 [ 0 , 1 ]上有  ,    ……
    例2   证明不等式 .
    证   考虑函数, .
易见对任何,  在区间 上和均单调, 因此可积,且有  , 注意到     , 就有  .  而
                          ,
                         .
因此有           .
取                , . 
在区间 仿以上讨论, 有  .  而
                ，
  .
综上 ,  有不等式 
  .
 某些不等式的积分推广:
 原理:  设函数和在区间 上可积.  为区间 的等分分法,  . 若对任何和,  均有
                                 ,
即得                        .
令,   注意到函数和在区间 上可积, 即得积分不等式
                                 .
倘若函数和连续 ,  还可由
    .
    例3  证明 Schwarz 不等式 ( 亦称为 Cauchy–Буняковский不等式 ):  设函数
和在区间 上连续 ( 其实只要可积就可 ).  则有不等式
                       .
证法一   (  由Cauchy 不等式  Schwarz 不等式 .  Cauchy 不等式参阅
[1]    设 和为两组实数,  则有
              .   )
   设为区间 的等分分法.  由Cauchy 不等式 ,  有
               ,
两端同乘以 ,  有
     ,
 令, 注意到函数、和在区间 上的可积性
以及函数的连续性就有积分不等式
                 .
证法二    （ 用判别式法 ） 对任何实数，有 ，
              , 即
             对任何实数成立.
 即上述关于的二次不等式的解集为全体实数,  于是就有
             ,
即        .
    例4   且 . 证明不等式
           .
证   取 . 对函数 和应用Schwarz 不等式,  即得所证 .
例5   设函数在区间 [ 0 , 1 ]上可积 .  试证明有不等式
                    .
证   先用Jensen不等式法证明不等式 :  对 , 有不等式
       .  
设为区间 的等分分法.  由上述不等式 ,  有
          .
   令, 注意到函数和在区间 [ 0 , 1 ]上的可积性以及函数 和的连续性，就有积分不等式
             .
仿该例, 可得到均值不等式、
    二.   面积函数的导数 :
  例6   求  和
例7   求和
例8   求  .
例9   设 时函数连续且 .  求.  (= )
例10  设函数连续且 . 求和 .
解   令 .  两端求导,   = .
   例11   设.   =.   试证明 :
                          =.
证   =, 
     =.
   例12  设函数在区间上连续且>0.   .
试证明:  函数在区间内严格递增.
证   = ,   而
.
>0 ,  在内 ，又连续 ，    
， 在区间内>0 . 因此在区间内严格递增. 
   三.  含有变限积分的未定型极限:
例13          求极限 .                   
四.  定积分的计算 :
      例 14  计算积分 .
      例15  计算积分= .
解   时,  = ;
    时,  = ;
    时,  = .
因此,  
     例16   利用积分 的值 ( 参阅§4例15 或[1]P306 E8 ), 计算积分  .
解  
        .
     ,
而    ,   .
因此，
    例17   ,  求            ( 2 )      [4]P215 E62
    例18  设是区间 上连续的偶函数 .  试证明 :
 是 上的奇函数 .
证法 一  .
证法 二  注意到 ,  有
       ==.
    五.   利用定积分求和式极限 :    原理:  
     例19   求极限 .   [3] P163 E13 .   与§1例2连系.
例20   求极限.
解   == .
由函数  在区间 [ 0 , 1 ]上可积 ,  有
=.
   .
   例21  求极限.     [3]P167 E19
解   ==.
      ,
      .
因此 ,    .
   例22  试证明: 对任何, 有不等式 <  .
证   = 是函数=在区间[ 0 , 1 ]
上相应于等分分法的小和. 由函数=在区间[ 0 , 1 ]上可积,  有
时,  ↗. 又易见↗↗.  
对任何,  有< ,  即    <  .