高中数学必修五-知识点总结【llx】.pdf

必修五知识点总结 llx20171215-1-必修五必修五 知识点总结知识点总结第一章：解三角形知识要点第一章：解三角形知识要点一、正弦定理和余弦定理一、正弦定理和余弦定理1、正弦定理：在中，、分别为角、的对边，则有CAabcAC2sinsinsinabcRCA(为的外接圆的半径)RCA2、正弦定理的变形公式：，；2 sinaRA2 sinbR2 sincRC，；sin2aRA sin2bR sin2cCR；:sin:sin:sina b cCA3、三角形面积公式：111sinsinsin222CSbcabCacAA 4、余弦定理：在中，有，推论：CA2222cosabcbcAbcacbA2cos222 ，推论：Baccabcos2222 ，推论：Cabbaccos2222abcbaC2cos222二、解三角形二、解三角形处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度（几何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解1 1、三角形中的边角关系、三角形中的边角关系（1）三角形内角和等于 180；（2）三角形中任意两边之和大于大于第三边，任意两边之差小于小于第三边；acbcaB2cos222 必修五知识点总结 llx20171215-2-（3）三角形中大边对大大角，小边对小小角；（4）正弦定理中,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC，其中 R 是ABC 外接圆半径.（5）在余弦定理中:2bccosA=222acb.（6）三角形的面积公式有:S=21ah,S=21absinC=21bcsinA=21acsinB,S=)()(cPbPaPP其中，h 是 BC 边上高，P 是半周长.2 2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形（1）已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦正弦定理.（2）已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用正弦正弦定理.（3）已知三边，求三个角，常选用余弦余弦定理.（4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦余弦定理.（5）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用正弦正弦定理.3 3、利用正、余弦定理判断三角形的形状、利用正、余弦定理判断三角形的形状常用方法是：化边为角；化角为边.4 4、三角形中的三角变换、三角形中的三角变换（1）角的变换因为在ABC 中，A+B+C=，所以 sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=cosC；tan(A+B)=tanC。2sin2cos,2cos2sinCBACBA；（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半（3）在ABC 中，熟记并会证明：A，B，C 成等差数列的充分必要条件是B=60；ABC 是正三角形的充分必要条件是A，B，C 成等差数列且 a，b，c 成等比数列.三、解三角形的应用三、解三角形的应用 必修五知识点总结 llx20171215-3-1.1.坡角和坡度：坡角和坡度：坡面与水平面的锐二面角叫做坡角，坡面的垂直高度和水平宽度 的比叫做坡度，用 表示，根据hli定义可知：坡度是坡角的正切，即.tanilh2.2.俯角和仰角：俯角和仰角：如图所示，在同一铅垂面内，在目标视线与水平线所成的夹角中，目标视线在水平视线的上方时叫做仰角，目标视线在水平视线的下方时叫做俯角.3.3.方位角方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为.注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。4.4.方向角：方向角：相对于某一正方向的水平角.5.5.视角：视角：由物体两端射出的两条光线，在眼球内交叉而成的角叫做视角 必修五知识点总结 llx20171215-4-第二章：数列知识要点第二章：数列知识要点一、数列的概念一、数列的概念1、数列的概念：、数列的概念：一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项项，数列的一般形式可以写成，简记为数列，其中第一项也成为首项首项；是数列的第项，也123,na a aaLL na1anan叫做数列的通项通项.数列可看作是定义域为正整数集（或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应N的一列函数值就是这个数列.2、数列的分类：、数列的分类：按数列中项的多数分为：（1）有穷数列有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限；（2）无穷数列无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.3、通项公式：、通项公式：如果数列的第项与项数之间的函数关系可以用一个式子表示成，那么这个式 nannan naf n子就叫做这个数列的通项公式通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.4、数列的函数特征：、数列的函数特征：一般地，一个数列，na 必修五知识点总结 llx20171215-5-如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即，那么这个数列叫做递增数列递增数列;1nnaa如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即，那么这个数列叫做递减数列递减数列;1nnaa如果数列的各项都相等，那么这个数列叫做常数列常数列.na5、递推公式：、递推公式：某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式递推公式二、等差数列二、等差数列1、等差数列的概念：、等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.即（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.1nnaad2、等差数列的通项公式：、等差数列的通项公式：设等差数列的首项为，公差为，则通项公式为：na1ad.11,nmaandanm dnmN、3、等差中项：、等差中项：（1）若成等差数列，则叫做与的等差中项，且;aAb、Aab=2abA（2）若数列为等差数列，则成等差数列，即是与的等差中项，且 na12,nnna aa1nana2na；反之若数列满足，则数列是等差数列.21=2nnnaaa na21=2nnnaaa na4、等差数列的性质：、等差数列的性质：（1）等差数列中，若则，若则 na,mnpq mnpqN、mnpqaaaa2mnp，；2mnpaaa 必修五知识点总结 llx20171215-6-（2）若数列和均为等差数列，则数列也为等差数列；na nbnnab（3）等差数列的公差为，则 nad为递增数列，为递减数列，为常数列.0nda 0nda 0nda5、等差数列的前、等差数列的前 n 项和项和：nS（1）数列的前 n 项和=；nanS1231,nnaaaaanNL（2）数列的通项与前 n 项和的关系：nanS11,1.,2nnnS naSSn（3）设等差数列的首项为公差为，则前 n 项和 na1,ad111=.22nnn aan nSnad6、等差数列前、等差数列前 n 和的性质：和的性质：（1）等差数列中，连续 m 项的和仍组成等差数列，即 na12122,mmmmaaaaaaLL,仍为等差数列（即成等差数列）；21223mmmaaaL232,mmmmmSSSSSL（2）等差数列的前 n 项和当时，可看作关于 n na2111=,222nn nddSnadnan0d nS的二次函数，且不含常数项；（3）若等差数列共有 2n+1（奇数）项，则若等差数列 na11=,nSnSSaSn奇奇偶偶中间项且共有 2n（偶数）项，则 na1=.nnSaSSndSa偶奇偶奇且7、等差数列前、等差数列前 n 项和项和的最值问题：的最值问题：nS设等差数列的首项为公差为，则 na1,ad（1）（即首正递减）时，有最大值且的最大值为所有非负数项之和；100ad且nSnS（2）（即首负递增）时，有最小值且的最小值为所有非正数项之和.100ad且nSnS 必修五知识点总结 llx20171215-7-三、等比数列三、等比数列1、等比数列的概念：、等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示（）.q0q 即，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据.1nnaq qa为非零常数2、等比数列的通项公式：、等比数列的通项公式：设等比数列的首项为，公比为，则通项公式为：na1aq.11,nn mnmaa qa qnm nmN、3、等比中项：、等比中项：（1）若成等比数列，则叫做与的等比中项，且;aAb、Aab2=Aab（2）若数列为等比数列，则成等比数列，即是与的等比中项，且 na12,nnna aa1nana2na；反之若数列满足，则数列是等比数列.212=nnnaaa na212=nnnaaa na4、等比数列的性质：、等比数列的性质：（1）等比数列中，若则，若则 na,mnpq mnpqN、mnpqaaaa2mnp，；2mnpaaa（2）若数列和均为等比数列，则数列也为等比数列；na nbnnab（3）等比数列的首项为，公比为，则 na1aq为递增数列，为递减数列，1100101naaaqq或 1100011naaaqq或为常数列.1nqa 必修五知识点总结 llx20171215-8-5、等比数列的前、等比数列的前 n 项和：项和：（1）数列的前 n 项和=；nanS1231,nnaaaaanNL（2）数列的通项与前 n 项和的关系：nanS11,1.,2nnnS naSSn（3）设等比数列的首项为，公比为，则 na1a0q q 11,1.1,11nnna qSaqqq由等比数列的通项公式及前 n 项和公式可知，已知中任意三个，便可建立方程组求出另外1,nna q n a S两个.6、等比数列的前、等比数列的前 n 项和性质：项和性质：设等比数列中，首项为，公比为，则 na1a0q q（1）连续 m 项的和仍组成等比数列，即12122,mmmmaaaaaaLL,仍为等比数列（即成等差数列）；21223mmmaaaL232,mmmmmSSSSSL（2）当时，1q 11111111111111nnnnnaqaaaaaSqqqqqqqqq设，则.11atqnnStqt四、递推数列求通项的方法总结四、递推数列求通项的方法总结1、递推数列的概念：、递推数列的概念：一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列.2、两个恒等式：、两个恒等式：对于任意的数列恒有：na 必修五知识点总结 llx20171215-9-（1）12132431nnnaaaaaaaaaaL（2）23411231,0,nnnnaaaaaaanNaaaaL3、递推数列的类型以及求通项方法总结：、递推数列的类型以及求通项方法总结：类型一（公式法）：类型一（公式法）：已知（即）求，用作差法：nS12()naaaf nLna11,(1),(2)nnnSnaSSn类型二（累加法）：类型二（累加法）：已知：数列的首项,且，求.na1a 1,nnaaf nnNna通项给递推公式中的 n 依次取 1,2,3，n-1,可得到下面 n-1 个式子：1,nnaaf nnN 21324311,2,3,1.nnaafaafaafaaf nL利用公式可得：12132431nnnaaaaaaaaaaL 11231.naaffff nL类型三（累乘法）：类型三（累乘法）：已知：数列的首项,且，求.na1a 1,nnaf nnNana通项给递推公式中的 n 一次取 1,2,3，n-1,可得到下面 n-1 个式子：1,nnaf nnNa 23412311,2,3,1.nnaaaaffff naaaaL利用公式可得：23411231,0,nnnnaaaaaaanNaaaaL 11231.naaffff nL类型四（构造法）：类型四（构造法）：形如形如、（为常数）的递推数列都可以用qpaann1nnnqpaa1qpbk,待定系数法转化为公比为待定系数法转化为公比为的等比数列后的等比数列后，再求。kna解法解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换qpaann1)(1taptannpqt1元法转化为等比数列求解。必修五知识点总结 llx20171215-10-解法解法：该类型较要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，nnnqpaa11nq得：引入辅助数列（其中），得：再应用qqaqpqannnn111 nbnnnqab qbqpbnn11的方法解决。qpaann1类型五（倒数法）：类型五（倒数法）：已知：数列的首项,且，求.na1a1,0,nnnpaarnNqarna通项11111111nnnnnnnnnnpaqarrqrqaqarapaapapap ap设，1111,.nnnnbbaa则1nnrqbbpp若则，即数列是以为公差的等差数列.,rp11=nnnnqqbbbbpp nbqp若则（转换成类型四）.,rp1nnrqbbpp五、数列常用求和方法五、数列常用求和方法1.1.公式法公式法 直接应用等差数列、等比数列的求和公式，以及正整数的平方和公式，立方和公式等公式求解.2.2.分组求和法分组求和法 一个数列的通项公式通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列等差或等比或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减.必修五知识点总结 llx20171215-11-3.3.裂项相消法裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消正负项相互抵消，于是前 n 项和就变成了首尾少数项之和.4.4.错位相减法错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的，此时可把式子的两边同乘以公比，得到，121nnnSaaaaL(01)q qq且121nnnqSa qa qaqa qL两式错位相减整理即可求出.nS5 5、常用公式：、常用公式：1、平方和公式：22221211216n nnnnL2、立方和公式：22333311211212n nnnnnLL3、裂项公式：1111111;11.1111;1n nnnn nkknnknnnknknnnnk 分式裂项：根式裂项：六、数列的应用六、数列的应用1 1、零存整取模型：、零存整取模型：银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利.注：单利的计算是仅在原本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息.其公式为:利息=本金利率存期.以符号 p 代表本金,n 代表存期,r 代表利率,s 代表本金和利息和(即本利和),则有 s=p(1+nr).零存整取是等差数列求和在经济方面的应用.必修五知识点总结 llx20171215-12-2 2、定期自动转存模型：、定期自动转存模型：银行有一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如,储户某日存入一笔 1 年期定期存款,1 年后,如果储户不取出本利和.则银行自动办理转存业务,第 2 年的本金就是第 1 年的本利和.注：复利是把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的计算公式是:s=p(1+r)n.定期自动转存（复利）是等比数列求和在经济方面的应用.3 3、分期付款模型：、分期付款模型：分期付款要求每次付款金额相同外,各次付款的时间间隔也相同.分期付款总额要大于一次性付款总额,二者的差额与分多少次付款有关,且付款的次数越少,差额越大.分期付款是等比数列的模型.采用分期付款的方法，购买售价为 a 元的商品（或贷款 a 元），每期付款数相同，购买后 1 个月（或 1 年）付款一次，如此下去，到第 n 次付款后全部付清，如果月利率（或年利率）为 b，按复利计算，那么每期付款 x 元满足下列关系：设第 n 次还款后，本利欠款数为，则na11,aabx213211,1,1,nnaabx aabxaabxL由知，1111nnnnxxaabxababb数列是以为首项，为公比的等比数列.nxab111xxxaabxbabbb1qb11111nnnxxxaaqbabbbb1,nxabb.1nnxxaabbb令得：，0na 1=0nxxabbb111nnabbxb 必修五知识点总结 llx20171215-13-第三章：不等式知识要点第三章：不等式知识要点一、不等式的解法一、不等式的解法1 1、不等式的同解原理：、不等式的同解原理：原理 1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得不等式与原不等式是同解不等式；原理 2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数或同一个大于零的整式，所得不等式与原不等式是同解不等式；原理 3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数或同一个小于零的整式，并把不等式改变方向后所得不等式与原不等式是同解不等式。2 2、一元二次不等式的解法：、一元二次不等式的解法：一元二次不等式的解集的端点值是对应二次方程的根，是对应二次函数的图像与 x 轴交点的横坐标。必修五知识点总结 llx20171215-14-二次函数（）的图象有两相异实根有两相等实根无实根注意：注意：（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集20(0)axbxca12,x x20(0)axbxca的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；2(0)yaxbxc ax（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二 次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与0,0,0 20(0)axbxca的解集。20(0)axbxca3 3、一元高次不等式的解法：、一元高次不等式的解法：解高次不等式的基本思路是通过因式分解，将它转化成一次或二次因式的乘积的形式，然后利用数轴标根法或列表法解之。数轴标根法原则：（1）“右、上”（2）“奇过，偶不过”4 4、分式不等式的解法：、分式不等式的解法：（1）若能判定分母（子）的符号，则可直接化为整式不等式。（2）若不能判定分母（子）的符号，则可等价转化：必修五知识点总结 llx20171215-15-000;0.0000;0.0fxg xfxfxfxg xg xg xg xfxg xfxfxfxg xg xg xg x5 5、指数、对数不等式的解法：、指数、对数不等式的解法：（1）1;01f xg xf xg xaaafxg xaaafxg x（2）loglog (1)0;loglog (01)0aaaafxg xafxg xfxg xafxg x6 6、含绝对值不等式的解法：、含绝对值不等式的解法：220;0.;.fxa afxafxafxa aafxafxg xfxg xfxg xfxg xg xfxg xfxg xfxgx 或或对于含有多个绝对值的不等式，利用绝对值的意义，脱去绝对值符号。二、基本不等式二、基本不等式1、基本不等式：若，则，当且仅当时，等号成立0a 0b 2ababab称为正数、的算术平均数，称为正数、的几何平均数2abababab 变形应用：，当且仅当时，等号成立20,02abababab2、基本不等式推广形式：必修五知识点总结 llx20171215-16-如果，则，当且仅当时，等号成立,a bR222ab2abab211abab3、基本不等式的应用：设、都为正数，则有：xy若（和为定值），则当时，积取得最大值xysxyxy24s若（积为定值），则当时，和取得最小值xypxyxy2p注意注意：在应用的时候，必须注意“一正二定三相等一正二定三相等”三个条件同时成立。4、常用不等式：22222,22 2abRababababab若、则；必修五知识点总结 llx20171215-17-三、简单的线性规划问题三、简单的线性规划问题1、二元一次不等式表示平面区域:在平面直角坐标系中，已知直线 Ax+By+C=0，坐标平面内的点 P（x0，y0）头 头头 头头 头 头头头 头头 头头 头头http:/ 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头B0 时，Ax0+By0+C0，则点 P（x0，y0）在直线的上方；Ax0+By0+C0，则点 P（x0，y0）在直线的下方头 头头 头头 头 头头头 头头 头头 头头http:/ 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头对于任意的二元一次不等式 Ax+By+C0（或0），无论 B 为正值还是负值，我们都可以把 y 项的系数变形为正数头 头头 头头 头 头头头 头头 头头 头头http:/ 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头当 B0 时，Ax+By+C0 表示直线 Ax+By+C=0 上方的区域；Ax+By+C0 表示直线 Ax+By+C=0下方的区域头 头头 头头 头 头头头 头头 头头 头头http:/ 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头2、线性规划:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题头 头头 头头 头 头头头 头头 头头 头头http:/ 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域（类似函数的定义域）；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解头 头头 头头 头 头头头 头头 头头 头头http:/ 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题头 头头 头头 头 头头头 头头 头头 头头http:/ 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头3、线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量 x、y；（2）找出线性约束条件；（3）确定线性目标函数 z=f（x，y）；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系 f（x，y）=t（t 为参数）；（6）观察图形，找到直线 f（x，y）=t 在可行域上使 t 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案头 头头 头头 头 头头头 头头 头头 头头http:/ 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头四、典型解题方法总结四、典型解题方法总结 必修五知识点总结 llx20171215-18-1、线性目标函数问题、线性目标函数问题当目标函数是线性关系式如zaxbyc（0b）时，可把目标函数变形为azcyxbb，则zcb可看作在y在轴上的截距，然后平移直线法是解决此类问题的常用方法，通过比较目标函数与线性约束条件直线的斜率来寻找最优解，一般步骤如下：（1）做出可行域;（2）平移目标函数的直线系,根据斜率和截距,求出最优解.【例 1】设变量满足约束条件则目标函数的最大值为xy，142xyxyy，24zxy .A10.B12.C13.D142、非线性目标函数问题的解法、非线性目标函数问题的解法当目标函数时非线性函数时，一般要借助目标函数的几何意义，然后根据其几何意义，数形结合，来求其最优解。近年来，在高考中出现了求目标函数是非线性函数的范围问题.这些问题主要考察的是等价转化思想和数形结合思想,出题形式越来越灵活,对考生的能力要求越来越高.常见的有以下几种：（1）比值问题）比值问题当目标函数形如yazxb时,可把 z 看作是动点(,)P x y与定点(,)Q b a连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为 PQ 连线斜率的最值。【例例 2】已知变量 x，y 满足约束条件则 的取值范围是（）.xy2 0，x 1，xy7 0，)yx（A），6 （B）（，6，）9595（C）（，36，）（D）3，6（2）距离问题）距离问题 必修五知识点总结 llx20171215-19-当目标函数形如22()()zxayb时,可把 z 看作是动点(,)P x y与定点(,)Q a b距离的平方，这样目标函数的最值就转化为 PQ 距离平方的最值。【例例 3】已知求 x2y2的最大值与最小值.2xy2 0，x2y4 0，3xy3 0，)（3）截距问题）截距问题【例例 4】不等式组x+y00 xyxa表示的平面区域面积为 81，则2xy的最小值为_（4）向量问题）向量问题【例例 5 5】已知点 P 的坐标（x，y）满足：.01,2553,034xyxyx及 A（2，0），则OP OAOAuuu r uu u ruuu u r的最大值是 .3、线性变换问题、线性变换问题【例例 6】在平面直角坐标系 xOy 中，已知平面区域 A（x，y）|xy1，且 x0，y0，则平面区域B（xy，xy）|（x，y）A的面积为 .4 4、线性规划的逆向问题、线性规划的逆向问题【例例 7】给出平面区域如图所示.若当且仅当 x，y2345时，目标函数 zaxy 取最小值，则实数 a 的取值范围是 .