五年级奥数第5次课：加法原理.pdf

【我生命中最最最重要的朋友们，请你们认真听老师讲并且跟着我生命中最最最重要的朋友们，请你们认真听老师讲并且跟着老师的思维走。学业的成功重在于考点的不断过滤，相信我赠予你老师的思维走。学业的成功重在于考点的不断过滤，相信我赠予你们的是你们学业成功的过滤器。谢谢使用！们的是你们学业成功的过滤器。谢谢使用！】第二讲第二讲 加法原理加法原理一、考点、热点回顾一、考点、热点回顾生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法类方法中，又有几种可能的做法那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用我们将讨论的加法原理来解决例如例如 某人从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有 4 趟长途汽车从北京到天津那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？分析这个问题发现，此人去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有 5 种走法，如果乘长途汽车，有 4 种走法上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有 5+4=9 种不同的走法在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数一般地，如果完成一件事有如果完成一件事有 k k 类方法，第一类方法中有类方法，第一类方法中有 m m1 1种不同做法，第种不同做法，第二类方法中有二类方法中有 m m2 2种不同做法，种不同做法，第，第 k k 类方法中有类方法中有 m mk k种不同的做法，则完成这种不同的做法，则完成这件事共有件事共有N=mN=m1 1+m+m2 2+m+mk k种不同的方法种不同的方法这就是加法原理这就是加法原理二、典型例题：二、典型例题：例例 1 1 学校组织读书活动，要求每个同学读一本书小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书 150 本，不同的科技书 200 本，不同的小说 100 本那么，小明借一本书可以有多少种不同的选法？分析 在这个问题中，小明选一本书有三类方法即要么选外语书，要么选科技书，要么选小说所以，是应用加法原理的问题解：小明借一本书共有：150+200+100=450（种）不同的选法例例 2 2 一个口袋内装有 3 个小球，另一个口袋内装有 8 个小球，所有这些小球颜色各不相同问：从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？分析 中，从两个口袋中只需取一个小球，则这个小球要么从第一个口袋中取，要么从第二个口袋中取，共有两大类方法所以是加法原理的问题中，要从两个口袋中各取一个小球，则可看成先从第一个口袋中取一个，再从第二个口袋中取一个，分两步完成，是乘法原理的问题解：从两个口袋中任取一个小球共有3+8=11（种），不同的取法从两个口袋中各取一个小球共有38=24（种）不同的取法补充说明：由本题应注意加法原理和乘法原理的区别及使用范围区别及使用范围的不同，乘法原理中，做完一件事要分成若干个步骤，一步接一步地去做才能完成这件乘法原理中，做完一件事要分成若干个步骤，一步接一步地去做才能完成这件事；加法原理中，做完一件事可以有几类方法，每一类方法中的一种做法都可事；加法原理中，做完一件事可以有几类方法，每一类方法中的一种做法都可以完成这件事以完成这件事事实上，往往有许多事情是有几大类方法来做的，而每一类方法又要由几步来完成，这就要熟悉加法原理和乘法原理的内容，综合使用综合使用这两个原理例例 3 3 如右图，从甲地到乙地有 4 条路可走，从乙地到丙地有 2 条路可走，从甲地到丙地有 3 条路可走那么，从甲地到丙地共有多少种走法？分析 从甲地到丙地共有两大类不同的走法第一类，由甲地途经乙地到丙地这时，要分两步走，第一步从甲地到乙地，有 4 种走法；第二步从乙地到丙地共 2 种走法，所以由乘法原理，这时共有 42=8 种不同的走法第二类，由甲地直接到丙地，由条件知，有 3 种不同的走法解：由加法原理知，由甲地到丙地共有：42+3=11（种）不同的走法例例 4 4 如下页图，一只小甲虫要从 A 点出发沿着线段爬到 B 点，要求任何点和线段不可重复经过问：这只甲虫有多少种不同的走法？分析 从 A 点到 B 点有两类走法，一类是从 A 点先经过 C 点到 B 点，一类是从 A 点先经过 D 点到 B 点两类中的每一种具体走法都要分两步完成，所以每一类中，都要用乘法原理，而最后计算从 A 到 B 的全部走法时，只要用加法原理求和即可 解：从 A 点先经过 C 到 B 点共有：13=3（种）不同的走法从 A 点先经过 D 到 B 点共有：23=6（种）不同的走法所以，从 A 点到 B 点共有：3+6=9（种）不同的走法例例 5 5 有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？分析 要使两个数字之和为偶数，只要这两个数字的奇偶性相同，即这两个数字要么同为奇数，要么同为偶数，所以，要分两大类来考虑第一类，两个数字同为奇数由于放两个正方体可认为是一个一个地放放第一个正方体时，出现奇数有三种可能，即 1，3，5；放第二个正方体，出现奇数也有三种可能，由乘法原理，这时共有 33=9 种不同的情形第二类，两个数字同为偶数，类似第一类的讨论方法，也有 33=9 种不同情形最后再由加法原理即可求解解：两个正方体向上的一面同为奇数共有33=9（种）不同的情形；两个正方体向上的一面同为偶数共有33=9（种）不同的情形所以，两个正方体向上的一面数字之和为偶数的共有33+33=18（种）不同的情形例例 6 6 从 1 到 500 的所有自然数中，不含有数字 4 的自然数有多少个？分析 从 1 到 500 的所有自然数可分为三大类，即一位数，两位数，三位数一位数中，不含 4 的有 8 个，它们是 1、2、3、5、6、7、8、9；两位数中，不含 4 的可以这样考虑：十位上，不含 4 的有1、2、3、5、6、7、8、9 这八种情况个位上，不含 4 的有0、1、2、3、5、6、7、8、9 这九种情况，要确定一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理，这时共有 89=72 个数不含 4三位数中，小于 500 并且不含数字 4 的可以这样考虑：百位上，不含 4 的有 1、23、这三种情况十位上，不含 4 的有 0、1、2、3、5、6、7、8、9 这九种情况，个位上，不含 4 的也有九种情况要确定一个三位数，可以先取百位数，再取十位数，最后取个位数，应用乘法原理，这时共有 399=243个三位数由于 500 也是一个不含 4 的三位数所以，1500 中，不含 4 的三位数共有 399+1=244 个解：在 1500 中，不含 4 的一位数有 8 个；不含 4 的两位数有 89=72 个；不含 4 的三位数有 399+1=244 个，由加法原理，在 1500 中，共有：8+89+399+1=324（个）不含 4 的自然数补充说明：这道题也可以这样想：把一位数看成是前面有两个 0 的三位数，如：把 1 看成是 001把两位数看成是前面有一个 0 的三位数如：把 11 看成011那么所有的从 1 到 500 的自然数都可以看成是“三位数”，除去 500 外，考虑不含有 4 的这样的“三位数”百位上，有 0、1、2、3 这四种选法；十位上，有 0、1、2、3、5、6、7、8、9 这九种选法；个位上，也有九种选法所以，除 500 外，有 499=324 个不含 4 的“三位数”注意到，这里面有一个数是 000，应该去掉而 500 还没有算进去，应该加进去所以，从 1 到 500中，不含 4 的自然数仍有 324 个这是一种特殊的思考问题的方法，注意到当我们对“三位数”重新给予规定之后，问题很简捷地得到解决例例 7 7 如下页左图，要从 A 点沿线段走到 B，要求每一步都是向右、向上或者向斜上方问有多少种不同的走法？分析 观察下页左图，注意到，从 A 到 B 要一直向右、向上，那么，经过下页右图中 C、D、E、F 四点中的某一点的路线一定不再经过其他的点也就是说从 A 到 B 点的路线共分为四类，它们是分别经过 C、D、E、F 的路线 第一类，经过 C 的路线，分为两步，从 A 到 C 再从 C 到 B，从 A 到 C 有2 条路可走，从 C 到 B 也有两条路可走，由乘法原理，从 A 经 C 到 B 共有22=4 条不同的路线第二类，经过 D 点的路线，分为两步，从 A 到 D 有 4 条路，从 D 到 B 有4 条路，由乘法原理，从 A 经 D 到 B 共有 44=16 种不同的走法第三类，经过 E 点的路线，分为两步，从 A 到 E 再从 E 到 B，观察发现各有一条路所以，从 A 经 E 到 B 共有 1 种走法第四类，经过 F 点的路线，从 A 经 F 到 B 只有一种走法最后由加法原理即可求解解：如上右图，从 A 到 B 共有下面的走法：从 A 经 C 到 B 共有 22=4 种走法；从 A 经 D 到 B 共有 44=16 种走法；从 A 经 E 到 B 共有 1 种走法；从 A 经 F 到 B 共有 1 种走法 所以，从 A 到 B 共有：4+16+1+1=22种不同的走法 三、习题练习三、习题练习1 1如右图，从甲地到乙地有三条路，从乙地到丙地有三条路，从甲地到丁地有两条路，从丁地到丙地有四条路，问：从甲地到丙地共有多少种走法？2 2书架上有 6 本不同的画报和 7 本不同的书，从中最多拿两本（不能不拿），有多少种不同的拿法？3 3如下图中，沿线段从点 A 走最短的路线到 B，各有多少种走法？4 4在 11000 的自然数中，一共有多少个数字 0？5 5在 1500 的自然数中，不含数字 0 和 1 的数有多少个？6 6十把钥匙开十把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，问：最多试开多少次，就能把锁和钥匙配起来？四、习题巩固四、习题巩固1、如图，从甲地到乙地有两条路线，乙地到丁地也有两条路线；从甲地到丙地只有一条路线，丙地到丁地有三条路线那么从甲地到丁地共有多少种不同走法？2、书架上有 6 本故事书，6 本画报，6 本科普读物，小芳从书架上任取一本，有多少种不同的取法 3、在 11000 的自然数中，一共有多少个末尾数字含 0？4、3 把钥匙开 3 把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，最多试多少次，才能把锁和钥匙配起来