《一次函数》经典例题解析.pdf

1类型一：正比例函数与一次函数定义类型一：正比例函数与一次函数定义1、当 m 为何值时，函数 y=-（m-2）x+（m-4）是一次函数？思路点拨：思路点拨：某函数是一次函数，除应符合 y=kx+b 外，还要注意条件 k0解：解：函数 y=-（m-2）x+（m-4）是一次函数，m=-2.当 m=-2 时，函数 y=-（m-2）x+（m-4）是一次函数举一反三：举一反三：【变式变式 1 1】如果函数是正比例函数，那么（）.Am=2 或 m=0 Bm=2 Cm=0 Dm=1【答案答案】：考虑到 x 的指数为 1，正比例系数 k0，即|m-1|=1；m-20，求得 m=0，选C【变式变式 2 2】已知 y-3 与 x 成正比例，且 x=2 时，y=7.（1）写出 y 与 x 之间的函数关系式；（2）当 x=4 时，求 y 的值；（3）当 y=4 时，求 x 的值解析：解析：（1）由于 y-3 与 x 成正比例，所以设 y-3=kx把 x=2，y=7 代入 y-3=kx 中，得7-32k，k2 y 与 x 之间的函数关系式为 y-3=2x，即 y=2x+3（2）当 x=4 时，y=24+3=11（3）当 y4 时，4=2x+3，x=.类型二：待定系数法求函数解析式类型二：待定系数法求函数解析式2、求图象经过点（2，-1），且与直线 y=2x+1 平行的一次函数的表达式 思路点拨：思路点拨：图象与 y=2x+1 平行的函数的表达式的一次项系数为 2，则可设此表达式为y=2x+b，再将点（2，-1）代入，求出 b 即可解析：解析：由题意可设所求函数表达式为 y=2x+b，图象经过点（2，-1），-l=22+b b=-5，所求一次函数的表达式为 y=2x-5.总结升华：总结升华：求函数的解析式常用的方法是待定系数法，具体怎样求出其中的待定系数的值，要根据具体的题设条件求出。举一反三：举一反三：【变式变式 1 1】已知弹簧的长度 y（cm）在一定的弹性限度内是所挂重物的质量 x（kg）的2一次函数，现已测得不挂重物时，弹簧的长度为 6cm，挂 4kg 的重物时，弹簧的长度是7.2cm，求这个一次函数的表达式分析分析:题中并没给出一次函数的表达式，因此应先设一次函数的表达式 y=kx+b，再由已知条件可知，当 x=0 时，y=6；当 x=4 时，y=7.2求出 k，b 即可解：解：设这个一次函数的表达式为 y=kx+b由题意可知，当 x=0 时，y=6；当 x=4 时，y=7.2.把它们代入 y=kx+b 中得这个一次函数的表达式为 y=0.3x+6【变式变式 2 2】已知直线 y=2x+1（1）求已知直线与 y 轴交点 M 的坐标；（2）若直线 y=kx+b 与已知直线关于 y 轴对称，求 k，b 的值解析：解析：直线 y=kx+b 与 y=2x+l 关于 y 轴对称，两直线上的点关于 y 轴对称又直线 y2x+1 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A（-，0），B（0，1）,A（-，0），B（0，1）关于 y 轴的对称点为 A（，0），B（0，1）直线 y=kx+b 必经过点 A（，0），B（0，1）把 A（，0），B（0，1）代入 y=kx+b 中得k-2，b1所以（1）点 M（0，1）（2）k=-2,b=1【变式变式 3 3】判断三点 A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一条直线上分析：分析：由于两点确定一条直线，故选取其中两点，求经过这两点的函数表达式，再把第三个点的坐标代入表达式中，若成立，说明第三点在此直线上；若不成立，说明不在此直线上解：解：设过 A，B 两点的直线的表达式为 y=kx+b由题意可知，过 A，B 两点的直线的表达式为 y=x-2当 x=4 时，y=4-2=2点 C（4，2）在直线 y=x-2 上三点 A（3，1），B（0，-2），C（4，2）在同一条直线上3类型三：函数图象的应用类型三：函数图象的应用3、图中的图象（折线 ABCDE）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离 s(km)和行驶时间 t(h)之间的函数关系，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)汽车共行驶了_ km；(2)汽车在行驶途中停留了_ h；(3)汽车在整个行驶过程中的平均速度为_ km/h；(4)汽车自出发后 3h 至 4.5h 之间行驶的方向是_.思路点拨：思路点拨：读懂图象所表达的信息，弄懂并熟悉图象语言.图中给出的信息反映了行驶过程中时间和汽车位置的变化过程，横轴代表行驶时间，纵轴代表汽车的位置.图象上的最高点就是汽车离出发点最远的距离.汽车来回一次，共行驶了 1202=240(千米)，整个过程用时 4.5 小时，平均速度为 2404.5=(千米/时)，行驶途中 1.5 时2 时之间汽车没有行驶.解析：解析：(1)240；(2)0.5；(3)；(4)从目的地返回出发点.总结升华：总结升华：这类题是课本例题的变式，来源于生活，贴近实际，是中考中常见题型，应注意行驶路程与两地之间的距离之间的区别.本题图象上点的纵坐标表示的是汽车离出发地的距离，横坐标表示汽车的行驶时间.举一反三：举一反三：【变式变式 1 1】图中，射线 l甲、l乙分别表示甲、乙两运动员在自行车比赛中所走的路程 s 与时间 t 的函数关系，求它们行进的速度关系。解析：解析：比较相同时间内，路程 s 的大小.在横轴的正方向上任取一点,过该点作纵轴的平行线,比较该平行线与两直线的交点的纵坐标的大小.所以.甲比乙快【变式变式 2 2】小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点 A，再走下坡路到达点B，最后走平路到达学校，所用的时间与路程的关系如图所示。放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是()A.14 分钟 B.17 分钟 C.18 分钟 D.20 分钟4【答案答案】:D 分析：由图象可知，上坡速度为 80 米/分；下坡速度为 200 米/分；走平路速度为 100 米/分。原路返回，走平路需要 8 分钟，上坡路需要 10 分钟，下坡路需要 2 分钟，一共 20 分钟。【变式变式 3 3】某种洗衣机在洗涤衣服时,经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量 y（升）与时间 x（分钟）之间的关系如图所示：根据图象解答下列问题：（1）洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中的水量是多少升？（2）已知洗衣机的排水速度为每分钟 19 升.求排水时 y 与 x 之间的关系式；如果排水时间为 2 分钟，求排水结束时洗衣机中剩下的水量.分析：分析：依题意解读图象可知：从 04 分钟在进水，415 分钟在清洗，此时，洗衣机内有水 40 升，15 分钟后开始放水.解：解：（1）洗衣机的进水时间是 4 分钟；清洗时洗衣机中的水量是 40 升；（2）排水时 y 与 x 之间的关系式为：y=40-19(x-15)即 y=-19x+325 如果排水时间为 2 分钟，则 x-15=2 即 x=17，此时，y=40-192=2.所以，排水结束时洗衣机中剩下的水量为 2 升.类型四：一次函数的性质类型四：一次函数的性质4、己知一次函数 y=kx 十 b 的图象交 x 轴于点 A（一 6，0），交 y 轴于点 B，且AOB 的面积为 12，y 随 x 的增大而增大，求 k，b 的值思路点拨：思路点拨：设函数的图象与 y 轴交于点 B（0，b），则 OB=,由AOB 的面积，可求出b，又由点 A 在直线上，可求出 k 并由函数的性质确定 k 的取值解析：解析：直线 y=kx 十 b 与 y 轴交于点 B（0，b），点 A 在直线上，则，由，即，解得代入，可得，由于 y 随 x 的增大而增大，则 k0,取则总结升华：总结升华：该题考查的是待定系数法和函数值，仔细观察所画图象，找出隐含条件。5举一反三：举一反三：【变式变式 1 1】已知关于 x 的一次函数（1）m 为何值时，函数的图象经过原点?（2）m 为何值时，函数的图象经过点（0，2）?（3）m 为何值时，函数的图象和直线 y=x 平行?（4）m 为何值时，y 随 x 的增大而减小？解析：解析：（1）由题意，m 需满足，故 m=3 时，函数的图象经过原点；（2）由题意得：m 需满足，故 时，函数的图象经过点（0，2）；（3）由题意，m 需满足，故 m=4 时，函数的图象平行于直线 y=x；（4）当 3m0 时，即 m3 时，y 随 x 的增大而减小【变式变式 2 2】若直线（）不经过第一象限，则k、b的取值范围是_，_【答案答案】：(k0；b0)；分析：直线不经过第一象限，有可能是经过二、四象限或经过二、三、四象限，注意不要漏掉经过原点的情况。【变式变式 3 3】直线 l1：与直线 l2：在同一坐标系中的大致位置是（）A BC D【答案答案】：C；分析：对于 A，从 l1看 k0，b0，从 l2看 b0，k0，所以 k，b 的取值自相矛盾，排除掉 A。对于 B，从 l1看 k0，b0，从 l2看 b0，k0，所以 k，b的取值自相矛盾，排除掉 B。D 答案同样是矛盾的，只有 C 答案才符合要求。【变式变式 4 4】函数在直角坐标系中的图象可能是（）【答案答案】：B；分析：不论 k 为正还是为负，都大于 0，图象应该交于 x 轴上方。故选 B类型五：一次函数综合类型五：一次函数综合65、已知：如图，平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，1），C（-1，0），过点C 的直线绕 C 旋转，交 y 轴于点 D，交线段 AB 于点 E。（1）求OAB 的度数及直线 AB 的解析式；（2）若OCD 与BDE 的面积相等，求直线 CE 的解析式；若 y 轴上的一点 P满足APE=45，请直接 写出点 P 的坐标。思路点拨：思路点拨：（1）由 A，B 两点的坐标知，AOB 为等腰直角三角形，所以OAB=45（2）OCD 与BDE 的面积相等，等价于ACE 与AOB 面积相等，故可求 E 点坐标，从而得到CE 的解析式；因为 E 为 AB 中点，故 P 为（0,0）时，APE=45.解析：解析：（1）A（1，0），B（0，1），OA=OB=1，AOB 为等腰直角三角形 OAB=45 设直线 AB 的解析式为：y=kx+b,将 A（1，0），B（0，1）代入，解得 k=-1，b=1 直线 AB 的解析式为：y=-x+1 （2）即 ，将其代入 y=-x+1，得 E 点坐标（）设直线 CE 为 y=kx+b，将点 C（-1，0），点 E（）代入，解得 k=b=直线 CE 的解析式：点 E 为等腰直角三角形斜边的中点 当点 P（0,0）时，APE=45.总结升华：总结升华：考虑面积相等这个条件时，直接算比较困难，往往采取补全成一个容易计算的面积来解决问题。举一反三：举一反三：【变式变式 1 1】在长方形 ABCD 中，AB=3cm，BC=4cm，点 P 沿边按 ABCD 的方向7向点 D 运动（但不与 A，D 两点重合）。求APD 的面积 y()与点 P 所行的路程x（cm）之间的函数关系式及自变量的取值范围。【答案答案】：当 P 点在 AB 上运动时，当 P 点在 BC 上运动时，当 P 点在 CD 上运动是，【变式变式 2 2】如图，直线与 x 轴 y 轴分别交于点 E、F，点 E 的坐标为（-8，0），点 A 的坐标为（-6，0）。（1）求 的值；（2）若点 P（，）是第二象限内的直线上的一个动点，在点 P 的运动过程中，试写出OPA 的面积 S 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（3）探究：在（2）的条件下，当点 P 运动到什么位置时，OPA 的面积为，并说明理由。解：解：(1)将 E（-8,0）代入，得;(2)设 P 点坐标为（）S=（-8x0）(3)令，解得，代入，算出 P 点纵坐标为8 当 P 点的坐标为时,OPA 的面积为