专题一：函数B-教师版.doc

征，会用函数的基本性质来解决实际问题，领悟数形结合的思想。
二、幂指对函数
1. 以简单的幂函数为例，研究它们的性质，体验研究函数性质的过程和方法；
2. 掌握指数函数的性质和图像；
3. 掌握积、商、幂的对数性质，会用计算器求对数；
4. 利用对数函数与指数函数互为反函数的关系，研究、掌握对数函数的图像和性质；
5. 会解简单的指数方程和对数方程，在利用函数性质解方程及求方程近似解的过程中，体会函数与方程间的内在联系。
教学重点：
1、函数的定义域问题
2、函数的值域问题
3、函数的性质
4、反函数问题
5、指数函数、对数函数问题
6、函数与方程思想
7、数形结合思想
教学难点：
1.函数的性质
2.函数的综合运用
一、知识脉络

二、例题分析
例1.已知函数(为实数)，，.
(1)若且函数的值域为，求的表达式；
(2)在(1)的条件下，当时，是单调函数，求实数k的取值
范围；
(3)设，且为偶函数，判断＋能否大于零.
解：(1)∵，∴，
又恒成立，∴ ，
∴，∴ .
∴.  
(2)  
，当或时，
即或时，是单调函数.
(3) ∵是偶函数，∴
，
∵设则.又
∴，
＋，
∴＋能大于零.

例2.己知，
（1）
（2），证明：对任意，的充要条件是；
证明：（1）依题意，对任意，都有

（2）充分性：

必要性：对任意

．

例3.已知函数（且）。
（1）求函数的定义域和值域；
（2）是否存在实数，使得函数满足：对于任意，都有？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。
解：（1）由得，当时，；当时，，故当时，函数的定义域是；当时，函数的定义域是。
令，则，，当时，是减函数，故有，即，所以函数的值域为。
（2）若存在实数，使得对于任意，都有，则是定义域的子集，由（1）得不满足条件；因而只能有，且，即，令，由（1）知，由得（舍去），或，即，解得，由是，只须对任意，恒成立，而对任意，由得，因而只要，解得。综上，存在，使得对于任意，都有。

例4.已知函数是奇函数，定义域为区间D(使表达式有意义的实数
x 的集合)．(1)求实数m的值，并写出区间D；
(2)若底数，试判断函数在定义域D内的单调性，并说明理由；
(3)当(，a是底数)时，函数值组成的集合为，求实数的值．
解  (1)  ∵是奇函数，
∴对任意，有，即．
　化简此式，得．又此方程有无穷多解(D是区间)，
必有，解得．                     nbsp;        
∴．                        
(2)  当时，函数上是单调减函数．
理由：令．
易知在上是随增大而增大，在上是随增大而减小，
      故在上是随增大而减小．                        
     于是，当时，函数上是单调减函数．              
(3) ∵，
  ∴．                                  
∴依据(2)的道理，当时，函数上是增函数，          
即，解得．                      
      若，则在A上的函数值组成的集合为，不满足函数值组成的集合是
的要求．(也可利用函数的变化趋势分析，得出b=1)
∴必有．                                                                
      因此，所求实数的值是．

例5. 对于定义域为D的函数，如果存在区间，同时满足：
①在内是单调函数；
②当定义域是时，的值域也是．
则称是该函数的“和谐区间”．
（1）求证：函数不存在“和谐区间”．
（2）已知：函数（）有“和谐区间”，当变化时，求出
的最大值．
（3）易知，函数是以任一区间为它的“和谐区间”．试再举一例有“和谐区间”的函数，
并写出它的一个“和谐区间．（不需证明，但不能用本题已讨论过的及形如的
函数为例）
解（1）设是已知函数定义域的子集．，或，故函数在上单调递增．
若是已知函数的“和谐区间”，则
故、是方程的同号的相异实数根．
无实数根，函数不存在“和谐区间”
（2）设是已知函数定义域的子集．，或，故函数在上单调递增．
若是已知函数的“和谐区间”，则
故、是方程，即的同号的相异实数根．
，，同号，只须，即或时，已知函数有“和谐区间”，，
当时，取最大值
（3）如：和谐区间为、，当的区间；
    和谐区间为；
和谐区间为；
阅卷时，除考虑值域外，请特别注意函数在该区间上是否单调不单调不给分．如举及形如
的函数不给分．

例6.定义：若存在常数k，使得对定义域D内的任意两个不同的实数x1，x2，均有：成立，则称在D上满足利普希茨（Lipschitz）条件。
  （1）试举出一个满足利普希茨（Lipschitz）条件的函数及常数k的值，并加以验证；
  （2）若函数上满足利普希茨（Lipschitz）条件，求常数k的最小值；
  （3）现有函数，请找出所有的一次函数，使得下列条件同时成立：
       ①函数满足利普希茨（Lipschitz）条件；
       ②方程的根t也是方程；
       ③方程在区间上有且仅有一解。
解：（1）例如令
知可取k=2满足题意（任何一次函数或常值函数等均或）。  
（2）Q：在为增函数
∴对任意有

（当时取到）所以

（3）由于所有一次函数均满足（1）故设的根
∴
∴b=0， ∴  若k符合题意，则－k也符合题意，故以下仅考虑k>0的情形。
设
①若

所以，在中另有一根，矛盾。
②若
所以，在中另有一根，矛盾。    ∴
以下证明，对任意符合题意。
当图象在连接两点（0，0），的线段的上方知

当
当
综上，有且仅有一个解x=0， ∴满足题意。
综上所述：  

例7.已知函数.
（1）若的反函数是，解方程：；
（2）当时，定义. 设，数列 的前项和为，求、、、和；
（3）对于任意、、，且. 当、、能作为一个三角形的三边长时，、、也总能作为某个三角形的三边长，试探究的最小值.
解：（1）函数是函数的反函数，
      ，而
      ，即  ………………………2分
，
       故：原方程的解为……………………………2分
 (2) 若，，，
若，，，
若，，，
若，，，………2分
      当时，，[来源:学。科。网Z。X。X。K]
      当时，，
      当时，，
………2分

………………………………………………2分
(3) 由题意知，
若能作为某个三角形的三边长
…………2分
又：
当时，有成立，则一定有成立.…………2分
即 不合题意. ……………………………………2分
又当时取，有,即，此时可作为一个三角形的三边长，但，即，所以、、不能作为三角形的三边长.
综上所述，的最小值为2. …………………………………………………2分
解法2：，由题意知，
若能作为某个三角形的三边长…………2分
设   ,    
若，则，显然能作为某个三角形三边长………2分
若，由（1）知.由(2)知……2分
而，则
故：…………………………………………………………………2分

三、课后作业
1．对于函数，若存在使成立，则称为的不动点，已知函数.
(1) 当时,求函数的不动点;
(2) 若对任意实数,函数恒有两个相异的不动点,求的取值范围;
(3) 在(2)的条件下,若图象上两点的横坐标是函数的不动点,且两点关于直线对称,求的最小值.
解 (1)当时,,于是,等价于
, 解得或,即此时的不动点是和.
(2)由得  (*) ,
由题意得,对任意实数,方程(*)总有两个不等的实根,故有,即
总成立,于是又有,,.
(3)设,,，
则由关于直线对称,得，
，又的中点在直线上，
    ，
 当且仅当即时，取最小值

2．已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使得成
立。（Ⅰ）函数是否属于集合？说明理由；
（Ⅱ）设函数，求的取值范围
（Ⅲ）设函数图象与函数的图象有交点，证明：函数。
解：（Ⅰ）若，在定义域内存在，则，
∵方程无解，∴。                
（Ⅱ），
时，；时，由，得。
 ∴。                                      
（Ⅲ），
∵函数图象与函数的图象有交点，设交点的横坐标为，
则（其中），即，
于是。

3.已知f(x)是定义在正整数集N*上的函数，当x为奇数时，f(x＋1)－f(x)＝1，当x为偶数时，f(x＋1)－f(x)＝3，且满足f(1)＋f(2)＝5.
(1)求证：{f(2n－1)}(n∈N*)是等差数列；
(2)求f(x)的解析式．
(1)证明：由题意得
，
两式相加得f(2n＋1)－f(2n－1)＝4.
因此f(1)，f(3)，f(5)，…，f(2n－1)成等差数列．
即{f(2n－1)}(n∈N*)是等差数列．
(2)解：由题意得，解得.
所以f(2n－1)＝f(1)＋(n－1)×4＝2(2n－1)，因此当x为奇数时，f(x)＝2x.
又因为当x为奇数时，f(x＋1)－f(x)＝1，所以f(x＋1)＝2x＋1＝2(x＋1)－1，
故当x为偶数时，f(x)＝2x－1.
综上，f(x)＝.

4.已知函数，
（1）若的值.
（2）当求a的取值范围.
(3)若当动点在的图象上运动时，点在函数的图象上运动，求的解析式.
解：（1）

＝
（2）；
设；
；
即所求的取值范围为
(3) ;
设；

即所求函数的解析式为

5.已知是的图象上任意两点，设点，
且，若，其中，且。
（1）求的值；  （2）求；
（3）数列中，当时，，设数列的前项和为，
求的取值范围使对一切都成立。
解：由 ，得点是的中点，
则， 故，，
所以

（2）由（1）知当时，。      
又，  
∴，
∴

（，且）

6.定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.
已知函数；.
（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围；
（3）若，函数在上的上界是，求的取值范围.
解 （1）当时，
   因为在上递减，所以，即在的值域为
故不存在常数，使成立,所以函数在上不是有界函数。  
  （2）由题意知，在上恒成立。
，          
∴   在上恒成立
∴    
设，，，由得 t≥1，
设，

所以在上递减，在上递增，
在上的最大值为，  在上的最小值为
所以实数的取值范围为
（3），
∵   m>0  ，      ∴  在上递减，
∴       即
①当，即时，，  
此时  ，
②当，即时，，
此时  ，  
综上所述，当时，的取值范围是；
当时，的取值范围是

7.一个函数，如果对任意一个三角形，只要它的三边长都在的定义域内，就有
也是某个三角形的三边长，则称为“保三角形函数”．
（I）判断，，中，哪些是“保三角形函数”，哪些不是，并说明理由；
（II）如果是定义在上的周期函数，且值域为，证明不是“保三角形函数”；
（III）若函数，是“保三角形函数”，求的最大值．
（可以利用公式）
解：（I）是“保三角形函数”，不是“保三角形函数”．      1分
任给三角形，设它的三边长分别为，则，不妨假设，
由于，所以是“保三角形函数”.   3分
对于，3，3，5可作为一个三角形的三边长，但，所以不存在三角形以为
三边长，故不是“保三角形函数”．                      4分
（II）设为的一个周期，由于其值域为，所以，存在，使得
，
取正整数，可知这三个数可作为一个三角形的三边长，但
，不能作为任何一个三角形的三边长．故不是“保三角
形函数”．                                                     8分
（III）的最大值为．                             nbsp;                9分
一方面，若，下证不是“保三角形函数”.
取，显然这三个数可作为一个三角形的三边长，但
不能作为任何一个三角形的三边长，故不是“保三角形函数”.
另一方面，以下证明时，是“保三角形函数”．
对任意三角形的三边，若，则分类讨论如下：
（1），
此时，同理，，
∴，故，．
同理可证其余两式.
∴可作为某个三角形的三边长．
（2）
此时，，可得如下两种情况：
时，由于，所以，.
由在上的单调性可得；
时，，
同样，由在上的单调性可得；
总之，.
又由及余弦函数在上单调递减，得
，
∴．
同理可证其余两式，所以也是某个三角形的三边长．故时，是“保三
角形函数”．
综上，的最大值为．