专题一：函数B-教师版.doc

专题一：函数B-教师版序号：高中数学备课组教师：年级：日期：上课时间：学生：学生情况： 主课题：                    函数B教学目的：一、函数的基本性质：1. 掌握求函数定义域的基本方法，在简单情形下能通过观察和分析确定函数的值域；2. 理解两个函数和的运算、积的运算的概念；3. 体验函数模型建立的一般过程，加深对事物运动变化和相互联系的认识；4. 掌握函数基本性质，和反映这些基本性质的图像特征，会用函数的基本性质来解决实际问题，领悟数形结合的思想。二、幂指对函数1. 以简单的幂函数为例，研究它们的性质，体验研究函数性质的过程和方法；2. 掌握指数函数的性质和图像；3. 掌握积、商、幂的对数性质，会用计算器求对数；4. 利用对数函数与指数函数互为反函数的关系，研究、掌握对数函数的图像和性质；5. 会解简单的指数方程和对数方程，在利用函数性质解方程及求方程近似解的过程中，体会函数与方程间的内在联系。教学重点：1、函数的定义域问题2、函数的值域问题3、函数的性质4、反函数问题5、指数函数、对数函数问题6、函数与方程思想7、数形结合思想教学难点：1.函数的性质2.函数的综合运用一、知识脉络二、例题分析例1.已知函数(为实数)，.(1)若且函数的值域为，求的表达式；(2)在(1)的条件下，当时，是单调函数，求实数k的取值范围；(3)设，且为偶函数，判断能否大于零.解：(1)， 又恒成立， ， .  (2)  ，当或时， 即或时，是单调函数. (3) 是偶函数， ，设则.又， ，能大于零. 例2.己知，（1）（2），证明：对任意，的充要条件是；证明：（1）依题意，对任意，都有（2）充分性：必要性：对任意例3.已知函数（且）。（1）求函数的定义域和值域；（2）是否存在实数，使得函数满足：对于任意，都有？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。解：（1）由得，当时，；当时，故当时，函数的定义域是；当时，函数的定义域是。令，则，当时，是减函数，故有，即，所以函数的值域为。（2）若存在实数，使得对于任意，都有，则是定义域的子集，由（1）得不满足条件；因而只能有，且，即，令，由（1）知，由得（舍去），或，即，解得，由是，只须对任意，恒成立，而对任意，由得，因而只要，解得。综上，存在，使得对于任意，都有。例4.已知函数是奇函数，定义域为区间D(使表达式有意义的实数x 的集合)(1)求实数m的值，并写出区间D；(2)若底数，试判断函数在定义域D内的单调性，并说明理由；(3)当(，a是底数)时，函数值组成的集合为，求实数的值解  (1)  是奇函数，对任意，有，即 化简此式，得又此方程有无穷多解(D是区间)，必有，解得                                                       (2)  当时，函数上是单调减函数理由：令易知在上是随增大而增大，在上是随增大而减小，       故在上是随增大而减小                              于是，当时，函数上是单调减函数              (3) ，                                    依据(2)的道理，当时，函数上是增函数，          即，解得                             若，则在A上的函数值组成的集合为，不满足函数值组成的集合是的要求(也可利用函数的变化趋势分析，得出b=1)必有                                                                       因此，所求实数的值是例5. 对于定义域为D的函数，如果存在区间，同时满足：在内是单调函数；当定义域是时，的值域也是则称是该函数的“和谐区间”（1）求证：函数不存在“和谐区间”（2）已知：函数（）有“和谐区间”，当变化时，求出的最大值（3）易知，函数是以任一区间为它的“和谐区间”试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区间”（不需证明，但不能用本题已讨论过的及形如的函数为例）解（1）设是已知函数定义域的子集，或，故函数在上单调递增若是已知函数的“和谐区间”，则 故、是方程的同号的相异实数根无实数根，函数不存在“和谐区间” （2）设是已知函数定义域的子集，或，故函数在上单调递增若是已知函数的“和谐区间”，则故、是方程，即的同号的相异实数根，同号，只须，即或时，已知函数有“和谐区间”，当时，取最大值（3）如：和谐区间为、，当的区间；     和谐区间为； 和谐区间为； 阅卷时，除考虑值域外，请特别注意函数在该区间上是否单调，不单调不给分如举及形如的函数不给分例6.定义：若存在常数k，使得对定义域D内的任意两个不同的实数x1，x2，均有：成立，则称在D上满足利普希茨（Lipschitz）条件。   （1）试举出一个满足利普希茨（Lipschitz）条件的函数及常数k的值，并加以验证；   （2）若函数上满足利普希茨（Lipschitz）条件，求常数k的最小值；   （3）现有函数，请找出所有的一次函数，使得下列条件同时成立：        函数满足利普希茨（Lipschitz）条件；        方程的根t也是方程；        方程在区间上有且仅有一解。解：（1）例如令知可取k=2满足题意（任何一次函数或常值函数等均或）。  （2）Q：在为增函数对任意有（当时取到）所以    （3）由于所有一次函数均满足（1）故设的根b=0，  若k符合题意，则k也符合题意，故以下仅考虑k>0的情形。设 若所以，在中另有一根，矛盾。若所以，在中另有一根，矛盾。    以下证明，对任意符合题意。当图象在连接两点（0，0），的线段的上方知当当综上，有且仅有一个解x=0， 满足题意。综上所述：  例7.已知函数.（1）若的反函数是，解方程：；（2）当时，定义. 设，数列 的前项和为，求、和；（3）对于任意、，且. 当、能作为一个三角形的三边长时，、也总能作为某个三角形的三边长，试探究的最小值.解：（1）函数是函数的反函数，       ，而       ，即  2分，        故：原方程的解为2分  (2) 若，若，若，若，2分       当时，来源:学。科。网Z。X。X。K       当时，       当时，2分2分 (3) 由题意知，若能作为某个三角形的三边长2分又：当时，有成立，则一定有成立.2分即 不合题意. 2分又当时，取，有,即，此时可作为一个三角形的三边长，但，即，所以、不能作为三角形的三边长.综上所述，的最小值为2. 2分解法2：，由题意知，若能作为某个三角形的三边长2分设   ,    若，则，显然能作为某个三角形三边长2分若，由（1）知.由(2)知2分而，则故：2分三、课后作业1对于函数，若存在使成立，则称为的不动点，已知函数.(1) 当时,求函数的不动点;(2) 若对任意实数,函数恒有两个相异的不动点,求的取值范围;(3) 在(2)的条件下,若图象上两点的横坐标是函数的不动点,且两点关于直线对称,求的最小值. 解 (1)当时,于是,等价于, 解得或,即此时的不动点是和.(2)由得  (*) ,由题意得,对任意实数,方程(*)总有两个不等的实根,故有,即总成立,于是又有,.(3)设,，则由关于直线对称,得，又的中点在直线上，     ，  当且仅当即时，取最小值2已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使得成立。（）函数是否属于集合？说明理由； （）设函数，求的取值范围； （）设函数图象与函数的图象有交点，证明：函数。解：（）若，在定义域内存在，则，方程无解，。                （）， 时，；时，由，得。  。                                       （），函数图象与函数的图象有交点，设交点的横坐标为，则（其中），即，于是。3.已知f(x)是定义在正整数集N*上的函数，当x为奇数时，f(x1)f(x)1，当x为偶数时，f(x1)f(x)3，且满足f(1)f(2)5.(1)求证：f(2n1)(nN*)是等差数列；(2)求f(x)的解析式(1)证明：由题意得，两式相加得f(2n1)f(2n1)4.因此f(1)，f(3)，f(5)，f(2n1)成等差数列即f(2n1)(nN*)是等差数列(2)解：由题意得，解得.所以f(2n1)f(1)(n1)42(2n1)，因此当x为奇数时，f(x)2x.又因为当x为奇数时，f(x1)f(x)1，所以f(x1)2x12(x1)1，故当x为偶数时，f(x)2x1.综上，f(x).4.已知函数，（1）若的值.（2）当求a的取值范围.(3)若当动点在的图象上运动时，点在函数的图象上运动，求的解析式.解：（1） （2）；设；即所求的取值范围为(3) ;设；即所求函数的解析式为 5.已知是的图象上任意两点，设点，且，若，其中，且。（1）求的值；  （2）求；（3）数列中，当时，设数列的前项和为，求的取值范围使对一切都成立。解：由 ，得点是的中点，则， 故， 所以  （2）由（1）知当时，。      又，   ，（，且）6.定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知函数；. （1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围；（3）若，函数在上的上界是，求的取值范围.解 （1）当时，    因为在上递减，所以，即在的值域为故不存在常数，使成立,所以函数在上不是有界函数。     （2）由题意知，在上恒成立。 ，             在上恒成立    设，由得 t1，设，所以在上递减，在上递增， 在上的最大值为，  在上的最小值为 所以实数的取值范围为 （3），   m>0  ，        在上递减，       即 当，即时，  此时  ， 当，即时， 此时  ，   综上所述，当时，的取值范围是；当时，的取值范围是 7.一个函数，如果对任意一个三角形，只要它的三边长都在的定义域内，就有也是某个三角形的三边长，则称为“保三角形函数”（I）判断，中，哪些是“保三角形函数”，哪些不是，并说明理由；（II）如果是定义在上的周期函数，且值域为，证明不是“保三角形函数”；（III）若函数，是“保三角形函数”，求的最大值（可以利用公式）解：（I）是“保三角形函数”，不是“保三角形函数”      1分任给三角形，设它的三边长分别为，则，不妨假设，由于，所以是“保三角形函数”.   3分对于，3，3，5可作为一个三角形的三边长，但，所以不存在三角形以为三边长，故不是“保三角形函数”                      4分（II）设为的一个周期，由于其值域为，所以，存在，使得，取正整数，可知这三个数可作为一个三角形的三边长，但，不能作为任何一个三角形的三边长故不是“保三角形函数”                    ;                                 8分（III）的最大值为                                              9分一方面，若，下证不是“保三角形函数”.取，显然这三个数可作为一个三角形的三边长，但不能作为任何一个三角形的三边长，故不是“保三角形函数”.另一方面，以下证明时，是“保三角形函数”对任意三角形的三边，若，则分类讨论如下：（1），此时，同理，故，同理可证其余两式.可作为某个三角形的三边长（2）此时，可得如下两种情况：时，由于，所以，.由在上的单调性可得；时，同样，由在上的单调性可得；总之，.又由及余弦函数在上单调递减，得，同理可证其余两式，所以也是某个三角形的三边长故时，是“保三角形函数”综上，的最大值为