2014高中数学抽象函数专题.pdf

20142014 高三数学专题高三数学专题抽象函数抽象函数特殊模型和抽象函数特殊模型抽象函数正比例函数 f(x)=kx (k0)f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数 f(x)=xnf(xy)=f(x)f(y)或)y(f)x(f)yx(f指数函数 f(x)=ax (a0 且 a1)f(x+y)=f(x)f(y)y(f)x(f)yx(f或对数函数 f(x)=logax (a0 且a1)f(xy)=f(x)+f(y)y(f)x(f)yx(f或正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函数 f(x)=tanx)y(f)x(f1)y(f)x(f)yx(f余切函数 f(x)=cotx)y(f)x(f)y(f)x(f1)yx(f一一.定义域问题定义域问题 -多为简单函数与复合函数的定义域互求。多为简单函数与复合函数的定义域互求。例例 1.1.若函数 y=f（x）的定义域是2，2，则函数 y=f（x+1）+f（x1）的定义域为 11x 。解：f(x)的定义域是，意思是凡被 f 作用的对象都在 中。评析：已2,22,2知 f(x)的定义域是 A，求的定义域问题，相当于解内函数的不等式问 xf x题。练习：练习：已知函数 f(x)的定义域是，求函数 的定义域。2,1 xf3log21例例 2 2：已知函数的定义域为3，11，求函数 f(x)的定义域 。xf3log11log,13评析：已知函数的定义域是 A，求函数 f(x)的定义域。相当于求内函数 xf的值域。x练习：练习：定义在上的函数 f(x)的值域为，若它的反函数为 f-1(x)，则 y=f-8,32,21(2-3x)的定义域为 ，值域为 。8,3,34,0二、求值问题二、求值问题-抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。使问题得以解决。例例 3.3.对任意实数 x,y，均满足 f(x+y2)=f(x)+2f(y)2且 f(1)0,则 f(2001)=_.解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式周期或递推式着手：令 x=0,y=1,得 f(0+12)=f(0)+2f(1)2,令 x=y=0,得：,)1(2)()1(,1,2fnfnfynx得令f(0)=0,f(1)=,21.22001)2001(f,2n)n(f,21f(n)-1)f(n 故即 R 上的奇函数 y=f(x)有反函数 y=f-1(x),由 y=f(x+1)与 y=f-1(x+2)互为反函数，则 f(2009)=.解析：由于求的是 f(2009)，可由 y=f-1(x+2)求其反函数 y=f(x)-2,所以 f(x+1)=f(x)-2，又 f(0)=0,通过递推可得 f(2009)=-4918.例例 4.已知 f(x)是定义在 R 上的函数，f(1)=1,且对任意 xR 都有 f(x+5)f(x)+5,f(x+1)f(x)+1.若 g(x)=f(x)+1-x,则 g(2002)=_.1解:由 g(x)=f(x)+1-x,得 f(x)=g(x)+x-1.而 f(x+5)f(x)+5，所以 g(x+5)+(x+5)-1g(x)+x-1+5,又 f(x+1)f(x)+1，所以 g(x+1)+(x+1)-1g(x)+x-1+1，即 g(x+5)g(x),g(x+1)g(x).所以 g(x)g(x+5)g(x+4)g(x+3)g(x+2)g(x+1),故 g(x)=g(x+1)又 g(1)=1,故 g(2002)=1.练习：练习：1.f(x)的定义域为，对任意正实数 x,y 都有 f(xy)=f(x)+f(y)且 f(4)=2(0,)，则 （）2.(2)f12的值是则且如果)2001(f)2000(f)5(f)6(f)3(f)4(f)1(f)2(f,2)1(f),y(f)x(f)yx(fL。2000 .(,原式=16)2(1)(2)(1)fff222(2)(4)(3)(6)(4)(8)(3)(5)(7)fffffffff()2nf n 71)71(7)1(,3)73(,2)72()72(21)2720()71(,)71()2(21),1()1()24341()21()1()43(,)41()21()1(522bfbfbfbffffbfaaaaaaaffaaafafafLQ同理则设可解得又、3、对任意整数函数满足：，若，则 yx,)(xfy 1)()()(xyyfxfyxf1)1(f)8(fCA.-1 B.1 C.19 D.434、函数 f(x)为 R 上的偶函数，对都有成立，若，则xR(6)()(3)f xf xf(1)2f=（）（B）(2005)f A.2005 B.2 C.1 D.05、定义在 R 上的函数 Y=f(x)有反函数 Y=f-1(x)，又 Y=f(x)过点（2，1），Y=f(2x)的反函数为 Y=f-1(2x)，则 Y=f-1(16)为（）（A）A）B）C）8 D）1618116 的值求的值求均有对所有上的函数，满足，是定义在为实数，且、已知)71()2()1()()()1()2(,1)1(,0)0(10)(,106fayafxfayxfyxffxfaa 三、值域问题三、值域问题例例 4.4.设函数 f(x)定义于实数集上，对于任意实数 x、y，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在,使得，求函数 f(x)的值域。21xx)()(21xfxf解：令 x=y=0，有 f(0)=0 或 f(0)=1。若 f(0)=0，则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故 f(0)0，必有 21xx)()(21xfxff(0)=1。由于 f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数 x、y 均成立，因此，,0)2()(2xfxf又因为若 f(x)=0,则 f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0 与 f(0)0 矛盾,所以 f(x)0.四、求解析式问题（四、求解析式问题（换元法，换元法，解方程组，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法，待定系数法，递推法，区间转移法，例例 5.5.已知 f(1+sinx)=2+sinx+cos2x,求 f(x)解:令 u=1+sinx,则 sinx=u-1 (0u2),则 f(u)=-u2+3u+1 (0u2)故 f(x)=-x2+3x+1 (0u2)例例 6 6、设对满足 x0,x1 的所有实数 x，函数 f(x)满足,求 xxxfxf11f(x)的解析式。解:-（2）(1)1),x0(x x1)x1x(f)x(f且Q,12)11()1(:x1-xxxxfxxfx得代换用-（3）:)1(x-11 得中的代换再以x .12)()x-11f(xxxf1)x0(x x2x21xx)x(f:2)2()3()1(223且得由例例 7.已知 f(x)是多项式函数，且 f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求 f(x).解:易知 f(x)是二次多项式，设 f(x)=ax2+bx+c(a0)，代入比较系数得:a=1,b=-2,c=-1,f(x)=x2-2x-1.例例 8.是否存在这样的函数 f(x),使下列三个条件:f(n)0,nN;f(n1+n2)=f(n1)f(n2),n1,n2N*;f(2)=4 同时成立?若存在,求出函数 f(x)的解析式；若不存在，说明理由.解:假设存在这样的函数 f(x),满足条件,得 f(2)=f(1+1)=4,解得 f(1)=2.又 f(2)=4=22,f(3)=23,由此猜想:f(x)=2x (xN*)小结：对于定义在正整数集 N*上的抽象函数,用数列中的递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法递推法来求解.例例9、已知是定义在R上的偶函数，且恒成立，当时，)(xf)21()23(xfxf3,2x，则时，函数的解析式为（D）A xxf)()0,2(x)(xf2xB C D 4x12 x13 x解：易知 T=2，当时,;当)1,2(x3,24x)(4)4(xfxxf时,.故选 D。)0,1(x3,22 x)()(2)2(xfxfxxf练习：练习：1、.232|)x(f:|,x)x1(f2)x(f),)x(f,x()x(fy求证且为实数即是实数函数设 解:，02)x(xf3 x,x1)x(f2)x1(f,xx12与已知得得代换用.232|)x(f|,024)x(9f 02得由2.（重庆）已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.（）若 f(2)=3，求 f(1)；又若 f(0)=a，求 f(a)；（）设有且仅有一个实数 x0，使得 f(x0)=x0，求函数 f(x)的解析表达式。22222222(),()-)()(2)-22)(2)22 (2)3,(3-22322,(1)1 (0),(00)00,()IxRffxxxfxxxfffffffaf aaf aa解：因为对任意有所以又由得）即若则即22000202000002000000220(II)()().(),()()()0()0()xRff xxxf xxxxf xxxRf xxxxxxf xxxxf xxxxxxxf xxxf xxx因为对任意，有又因为有且只有一个实数，使得所以对任意有在上式中令，有再代，得，故=0或=1 若=0，则，即202202 0 ()1,()1.()1 ()xxxxxf xxxf xxxf xxxxR但方程有两个不相同实根，与题设条件矛盾。故若=1，则有即易验证该函数满足题设条件。综上，所求函数为3、函数 f(x)对一切实数 x,y 均有 f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x 成立，且 f(1)=0，（1）求的值；(0)f（2）对任意的，都有 f(x1)+20 时 f(x)0,且f(1)=-2,求 f(x)在-3，3上的最大值和最小值.解析:由单调性的定义步骤设 x1x2,则 f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)0,f(x2-x1)0 时，f(x)1,且对于任意实数 x、y，有 f(x+y)=f(x)f(y)，求证：f(x)在 R 上为增函数。证明：设 R 上 x11，f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1),(注意此处不能直接得大于 f(x1)，因为 f(x1)的正负还没确定)。取 x=y=0 得 f(0)=0 或 f(0)=1;若 f（0）=0,令 x0,y=0，则 f(x)=0 与 x0 时，f(x)1 矛盾，所以 f(0)=1，x0 时，f(x)10,x0，f(-x)1,由，故 f(x)0，从而 f(x2)f(x1).即 f(x)在 R 上0)(1)(1)()()0(xfxfxfxff得是增函数。（注意与例 4 的解答相比较，体会解答的灵活性）例例 1111、已知偶函数 f(x)的定义域是 x0 的一切实数，对定义域内的任意 x1,x2都有，且当时，（1）f(x)在(0,+)上是增1212()()()f xxf xf x1x()0,(2)1f xf函数；（2）解不等式2(21)2fx 解：（1）设，则 210 xx221111()()()()xf xf xf xf xx221111()()()()xxf xff xfxx，即，在210 xx211xx21()xfx021()()0f xf x21()()f xf x()f x上是增函数头 头头 头头 头 头头头 头头 头头 头头http:/ 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头（2），是偶函数不(0,)(2)1fQ(4)(2)(2)2fff()f x等式可化为，又函数在上是增函数，02(21)2fx 2(|21|)(4)fxf(0,)，解得：2|21|4x 10102|222xxx 且练习：练习：已知函数 f(x)的定义域为 R，且对 m、nR,恒有 f(m+n)=f(m)+f(n)1,且f()=0,当 x时，f(x)0.求证：f(x)是单调递增函数；2121证明：设 x1x2,则 x2x1,由题意 f(x2x1)0,f(x2)f(x1)=f(x2x1)212121+x1f(x1)=f(x2x1)+f(x1)1f(x1)=f(x2x1)1=f(x2x1)+f()1=f(x2x1)210,f(x)是单调递增函数.21例例 1212、定义在 R+上的函数 f(x)满足:对任意实数 m,f(xm)=mf(x);f(2)=1。(1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数 x,y 都成立;(2)证明 f(x)是 R+上的单调增函数;(3)若 f(x)+f(x-3)2,求 x 的取值范围.解:(1)令 x=2m,y=2n,其中 m,n 为实数,则 f(xy)=f(2m+n)=(m+n)f(2)=m+n，又 f(x)+f(y)=f(2m)+f(2n)=mf(2)+nf(2)=m+n,所以 f(xy)=f(x)+f(y)，故 f(x1),2x,2xnm,xx0:)2(n2m121且使可令设证明0nm)2(f)nm()2(f)xx(f)x(f)x(f)1(nm2121得由f(x2),即 f(x)是 R+上的增函数。(3)由 f(x)+f(x-3)2 及 f(x)的性质,得 fx(x-3)2f(2)=f(2)，解得 30 可得 f(a)f(b).）122k练习练习 4 4、已知函数 f(x)对任何正数 x,y 都有 f(xy)=f(x)f(y),且 f(x)0,当 x1 时,f(x)f(x2),故 f(x)在 R+上为减函数.1)xx(f)x(f)x(f)xx(f)x(f)xxx(f)x(f)x(f121112111212)2()0,2()1,3()2()1,3()2,1()1,2()(0)1()1(0)2()0,()(5，、，、的解集为，则上单调递减，且在、奇函数练习DCBACxfxfxfKK练习练习 6、.已知函数()f x的定义域为0,1，且同时满足：(1)对任意0,1x，总有()2f x；(2)(1)3f，(3)若120,0 xx且121xx，则有1212()()()2f xxf xf x.(I)求(0)f的值；(II)求()f x的最大值；(III)设数列 na的前n项和为nS，且满足*12(3),nnSanN.求证：123112 332()()()()2nnf af af af anL.解：（I）令120 xx，由(3),则(0)2(0)2,(0)2fff，由对任意0,1x，总有()2,(0)2f xf （II）任意12,0,1x x 且12xx，则212101,()2xxf xx 22112111()()()()2()f xf xxxf xxf xf x max()(1)3fxf(III)*12(3)()nnSanN Q1112(3)(2)nnSan 1111133(2),10nnnnaanaa Q 111112113333333()()()()()23()4nnnnnnnnf afffff111143333()()nnff，即11433()(nnf af a。22112211414414444112133333333333()()()()2nnnnnnnf af af af a LL 故113()2nnf a1213131()1()()()2nnf af af anL即原式成立。六、奇偶性问题六、奇偶性问题例例 13.13.（1）已知函数 f(x)(x0 的实数)对任意不等于零的实数 x、y 都有f(xy)=f(x)+f(y)，试判断函数 f(x)的奇偶性。解析：函数具备奇偶性的前提是定义域关于原点对称，再考虑 f(-x)与 f(x)的关系：取 y=-1 有 f(-x)=f(x)+f(-1),取 x=y=-1 有 f(1)=2f(-1)，取 x=y=1 有 f(1)=0.所以 f(-x)=f(x),即 f(x)为偶函数。（2）已知 y=f(2x+1)是偶函数，则函数 y=f(2x)的图象的对称轴是（D）babfaf)()(A.x=1B.x=2C.x=D.x=2121解析：f(2x+1)关于 x=0 对称,则 f(x)关于 x=1 对称,故 f(2x)关于 2x=1 对称.注：若由奇偶性的定义看复合函数，一般用一个简单函数来表示复合函数，化繁为简。F（x）=f(2x+1)为偶函数，则 f(-2x+1)=f(2x+1)f(x)关于 x=1 对称。例例 1414：已知函数 f(x)的定义域关于原点对称且满足，)()(1)()()(1xfyfyfxfyxf（2）存在正常数 a，使 f(a)=1.求证：f(x)是奇函数。证明：设 t=x-y,则，所以 f(x)为奇)()()(1)()()()(1)()()()(tfxfyfxfyfyfxfxfyfxyftf函数。例例 15：设是定义在上的偶函数，且在上是增函数，又)(xfR)0,(。求实数 的取值范围。)123()12(22aafaafa解析：又偶函数的性质知道：在上减，而，)(xf),0(0122 aa，所以由得，解得01232 aa)123()12(22aafaaf1231222aaaa。30 a（设计理由：此类题源于变量与单调区间的分类讨论问题，所以本题弹性较大，可以作一些条件变换如：等；也可将定义域作一些)21()1()1()1(afaffaf或调整）例例 16：定义在 R 上的单调函数 f(x)满足 f(3)=log 3 且对任意 x，yR 都有 f(x+y)2=f(x)+f(y)(1)求证 f(x)为奇函数；(2)若 f(k3)+f(3-9-2)0 对任意 xR 恒成立，xxx求实数 k 的取值范围解答：(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，yR)-令 y=-x，代入式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)，令 x=y=0，代入式，得 f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0即 f(-x)=-f(x)对任意 xR 成立，f(x)是奇函数(2)解：f(3)=log 30，即 f(3)f(0)，又 f(x)在 R 上是单调函数，所以 f(x)2在 R 上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数f(k3)-f(3-9-2)=f(-3+9+2)，xxxxxk3-3+9+2，3-(1+k)3+20 对任意 xR 成立令 t=3 0，即 t-xxx2xxx2(1+k)t+20 对任意 t0 恒成立故：对任意 xR 恒221()(1)2,2101(0)20,20,100,()02(1)8012 2令其对称轴当即时，符合题意；1+k当时2对任意恒成立解得-1kf ttk txkkfktf tkk 31 2 2(3)(392)0时，xxkf kf 成立。说明：问题(2)的上述解法是根据函数的性质f(x)是奇函数且在 xR 上是增函数，把问题转化成二次函数 f(t)=t-(1+k)t+2 对于任意 t0 恒成立对二次2函数 f(t)进行研究求解本题还有更简捷的解法：分离系数由 k3-3+9+2xxx得要使对不等式恒成立，只需,1221323,1323xxxxuk而xR231.3xxk kun (nN*).解:(1)、令 a=b=0,得 f(0)=0,令 a=b=1,得 f(1)=0。(2)、令 a=b=-1,得 f(-1)(-1)=-f(-1)-f(-1),f(-1)=0,故 f(-x)=f(-1)(x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x),故 f(x)为奇函数.(3)先用数学归纳法证明:un=f(2n)0 (nN*)(略)2.2.定义域为R的函数f(x)满足：对于任意的实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x0时f(x)0恒成立.(1)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；(2)证明f(x)为减函数；若函数f(x)在-3，3）上总有f(x)6成立，试确定f(1)应满足的条件；)0a,n(),a(f)xa(fn1)x(f)ax(fn1x)3(22是一个给定的自然数的不等式解关于解:（2）设任意x1，x2R且x1x2，则x2-x10，f（x2-x1）0,而f（x2-x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2）-f（x1）0；f(x1)f(x2),即f(x)在(-，+)上是减函数.f(x)在-3，3上的最大值为f(-3).要使f(x)6恒成立，当且仅当 f(-3)6，又f（-3）=-f（3）=-f（2+1）=-f（2）+f（1）=-f（1）+f（1）+f（1）=-3 f（1），f（1）-2.（3）f（ax2）-n1f（x）f（a2x）-f（a）f（ax2）-f（a2x）nf（x）-f（a）f（ax2-n1a2x）nf（x-a），由已知得：fn（x-a）=nf（x-a）f（ax2-a2x）fn（x-a）f（x）在（-，+）上是减函数ax2-a2xn（x-a）.即（x-a）（ax-n）0，a0，（x-a）（x-）0，讨论：（1）当a0，即a-时，原anann不等式解集为x|x或xa；（2）当a=0即a=-时，原不等式的解集为anann；（3）当a0时，即-a0时，原不等式的解集为x|xa或xannan3、已知 f(x)是定义在1，1上的奇函数，且 f(1)=1,若 a,b1,1,a+b0 时，有0.babfaf)()(1)判断函数 f(x)在1，1上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；(2)解不等式：f(x+)f();2111x(3)若 f(x)m22pm+1 对所有 x1,1,p1,1(p 是常数）恒成立，求实数 m 的取值范围.解：（1）设任意 x1,x21,1,且 x1x2.由于 f(x)是定义在1，1上的奇函数，f(x2)f(x1)=f(x2)+f(x1).因为 x10，f(x2)+f(x1)0,即 f(x2)f(x1),所以函数)()()(1212xxxfxff(x)在1，1上是增函数。（2）由不等式 f(x+)f()得,解2111x112111111211xxxx得1x 0，恒有f(x+T)=f(x)，则在区间0，2T上，方程f(x)=0 根的个数最小值为（）A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个解：f(0)=0 x1=0，又f(2T)=f(T)=f(0)=0 x2=T，x3=2T.又因为 令x=0 得,22TxfTxf222TfTfTf=0.(本题 C 易错选为 A)232TfTf例例 20 f(x)满足 f(x)=-f(6-x)，f(x)=f(2-x)，若 f(a)=-f(2000)，a5，9且 f(x)在5，9上单调。求 a 的值。解：f(x)=-f(6-x)f(x)关于（3，0）对称 又 f(x)=f(2-x)f(x)关于 x=1 对称 T=8 f(2000)=f(0)又f(a)=-f(2000)f(a)=-f(0)又f(x)=-f(6-x)f(0)=-f(6)f(a)=f(6)a=6 设 y=f(x)是定义在-1,1上的偶函数，函数 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象关于直线 x=1 对称，且当 x 2,3时，g(x)=2a(x-2)-4(x-2)3(a 为常数且 a R)（1）求 f(x);（2）是否存在 a 2,6或 a (6,+),使函数 f(x)的图象的最高点位于直线 y=12 上？若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由.解：（1）设点 M(x,f(x)为函数 y=f(x)图象上任意一点，则点 M 关于直线x=1 的对称点为 N(2-x,f(x).y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象关于直线 x=1 对称.点 N(2-x,f(x)在y=g(x)图象上.由此得 f(x)=g(2-x)（利用结论 4 的命题易得这一结果：y=g(x)与 y=g(2-x)的图象关于直线 x=1 对称）设 x -1,0，则 2-x 2,3.此时 f(x)=g(2-x)=-2ax+4x3又 f(x)为偶函数f(-x)=f(x),x -1,1.当 x 0,1时，f(x)=2ax-4 x3 （2）注意到 f(x)为偶函数，只须研究 f(x)在0,1上的最大值.()当 a(2,6时，由 0 x 1 得 a-2x20，f(x)=2x(a-2 x2)=（当且仅当 4=a2,即 x=0,1时等号成立）.由题意知,f(x)的最大值为 12,令=12得=486,a6,这与 a (2,6矛盾,故此时满足条件的 a 不存在.()当 a=2 且 0 x1 时,f(x)=4x(1)同理可证 f(x)=(当且仅当 2=1-,即 x=时等号成立),也与已知矛盾.()当 a6 时,设 0,则 f()-f()=2a(-)-4(-)=2(-)a-2(+)，由题设 0+6，a-2(+)0，又-0f()-f()0 即 f()0)在区间上有四个不同的根,则8,81234,x x x x-81234_.xxxx八、综合问题八、综合问题例例 21.21.定义在 R 上的函数 f(x)满足：对任意实数 m，n，总有，且当 x0 时，0f(x)0 的结论。这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决。例 22.设定义在 R 上的函数 f(x),满足当 x0 时,f(x)1,且对任意 x,yR,有 f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2.1)2(f)3x(f21)x(f)2(;,4)xx3(f)1(22解方程解不等式解:(1)先证 f(x)0,且单调递增，因为 f(x)=f(x+0)=f(x)f(0),x0 时 f(x)1,所以 f(0)=1.f(x)=f(x-xo)+xo=f(x-xo)f(xo)=0,则使假设存在某个又,0)x(f,Rx,0)2x(f)2x2x(f)x(foo2与已知矛盾，故 f(x)0,任取 x1,x2R 且 x10,f(x2-x1)1,所以 f(x1)-f(x2)=f(x2-x1)+x1-f(x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x1)f(x2-x1)-10.所以 xR 时,f(x)为增函数.解得:x|1x0.求证:()f(x)是奇函数；（）).31(f)5n5n1(f)191(f)111(f2L解:(1)易证f(x)是奇函数。（2）易证f(x)在(-1,0),(0,1)上是单调递减函数.)3n)(2n(11)3n)(2n(1f)1)3n)(2n(1(f)5n5n1(f2又)3n1(f)2n1(f)3n1(2n11)3n1(2n1f)3n1(f)31(f)51(f)41(f)41(f)31(f)5n5n1(f)191(f)111(f2LL命题成立又).31(f)3n1(f)31(f,0)3n1(f函数综合1.1.奇函数在关于原点奇函数在关于原点对对称的区称的区间间内内单调单调性一致（在整个定性一致（在整个定义义域内未必域内未必单调单调），推广：），推广：函数在其函数在其对对称中心两称中心两侧单调侧单调性相同。偶函数在关于原点性相同。偶函数在关于原点对对称的区称的区间间内内单调单调性相反，性相反，推广：函数在其推广：函数在其对对称称轴轴两两侧侧的的单调单调性相反；此性相反；此时时函数函数值值的大小取决于离的大小取决于离对对称称轴轴的的远远近。解近。解“抽象不等式（即函数不等式）抽象不等式（即函数不等式）”多用函数的多用函数的单调单调性，但必性，但必须须注意定注意定义义域。关注域。关注具体函数具体函数“抽象化抽象化”。举例举例 11设偶函数f(x)=loga|x-b|在（-，0）上递增，则f(a+1)与f(b+2)的大小关系是A.f(a+1)=f(b+2)B.f(a+1)f(b+2)C.f(a+1)f(b+2)D.不确定解析：函数 f(x)=loga|x-b|为偶函数，则 b=0，f(x)=loga|x|,令 g(x)=|x|,函数 g(x)（图象为“V”字形）在（-，0）递减，而函数 f(x)=logag(x)在（-，0）上递增,0a1，1a+1f(b+2),故选 B。举例举例 2 设函数xxxf3)(，若02时，(sin)(1)0f mfm恒成立，则实数m的取值范围是 解析：此题不宜将 msin及 1-m 代入函数xxxf3)(的表达式，得到一个“庞大”的不等式，因为运算量过大，恐怕很难进行到底。注意到：函数 f(x)为奇函数，原不等式等价于：)1()sin(mfmf，又函数 f(x)递增，msinm-1 对02恒成立，分离参变量 m（这是求参变量取值范围的通法）得：msin11,（01-sin1,事实上当 sin=1 时不等式恒成立，即对 m 没有限制，所以无需研究）,记 g()=sin11,则 mg()min，又01-sin1，g()min=1（当且仅当=0 时等号成立），m0 提高提高 定义在 R 上的偶函数 f(x)满足:f(x+1)=)(1xf,且 f(x)在-3，-2上是减函数，又、是钝角三角形的两锐角，则下列结论中正确的是:A.f(sin)f(cos)B.f(sin)f(cos)C.f(sin)f(sin)D.f(cos)-1（这是使用“判别式法”时需特别注意的）。记 x+1=t,(t0),此时 x=t-1,设 g(t)=2112)1(2)1(22ttttttt(当且仅当 t=1 即 x=0 时等号成立，（注意这里的“换元”实质是“整体化”的具体落实，将需要“整体化”的部分换成一个变量，比“凑”更具一般性也更易实施），选 C。举例举例 2已知Rbaba,1+，则abab1的最小值为 解析：本题关注ab的取值范围，对abab1使用基本不等式，当且仅当ab=1 时等号成立，事实上：41)2(02baab，等号不成立，即不能使用基本不等式。记ab=t（0t41）,abab1=t+t1=g(t),函数 g(t)在（0，41上递减，g(t)min=g(41)=417。5.5.求参求参变变量的取量的取值值范范围围通常采用分离参数法，通常采用分离参数法，转转化化为为求某函数的求某函数的值值域或最域或最值值；也可；也可以整体研究函数以整体研究函数 y=f(a,x)的最的最值值。举例举例 关于 x 的方程 22x-m2x+4=0(x0)有解，求实数 m 的取值范围。解析：令 2x=t,(0t0 且 a1)满足:对任意 x1,x2,当 x10,则实数 a 的取值范围是A.(0,1)(1,3)B.(1,3)C.(0,1)(1,32)D.(1,32)简答简答1.巩固 函数 y=f(x)的图象关于 x=2 对称，得 a=5,图示可得 1x2 或-4x-3。提高 函数 y=f(x)的周期为 2，得 f(x)在0，1上递增，又+2,移项得sincos,选 B；2、巩固关注两段函数在 x=1 时的函数值的大小，得)31,713.巩固D；