基于matlab的Lorenz系统仿真研究样本.doc

基于MatlabLorenz系统仿真研究

摘要：本文运用matlab这一数学工具对Lorenz系统进行了研究。一方面使用matlab分析求解Lorenz方程，运用matlab绘图功能，直观地观测了Lorenz混沌吸引子三维图形，并简朴观测了Lorenz混沌系统对初值敏感性；然后对Lorenz系统进行仿真，比较分析在不同参数下Lorenz系统仿真成果；最后验证了通过添加反馈控制方式，可以使Lorenz方程不稳定平衡点成为稳定平衡点。
核心词：Lorenz系统；matlab；混沌系统

1.引言
Lorenz方程是由美国知名气象学家Lorenz在1963年为研究气候变化，通过对对流实验研究，建立三个拟定性一阶非线性微分方程。这三个方程是混沌领域典型方程，Lorenz系统也是第一种体现奇怪吸引子持续动力系统，具备着举足轻重作用。Lorenz方程表达式如下：

其中，σ、μ、b为正实常数。
本文运用matlab这一数学工具，对Lorenz系统进行了研究，得到了仿真成果，加深了对Lorenz系统结识。
2.matlab求解Lorenz方程并绘图
一方面建立m文献“Lorenz.m”来定义Lorenz方程，固定σ=10，μ=30，b=8/3，程序如下所示：

function dx=Lorenz(t,x)
dx=[-10*(x(1)-x(2));30*x(1)-x(2)-x(1)*x(3);x(1)*x(2)-2.6667*x(3)];
end

然后运用ode45命令来求解Lorenz方程并绘制图形，初值取x=y=z=0.1。程序如下所示：
>> clf
>> x0=[0.1,0.1,0.1];
>> [t,x]=ode45('Lorenz',[0,100],x0);
>> subplot(2,2,1)
>> plot(x(:,1),x(:,3))
>> title('(a)')
>> subplot(2,2,2)
>> plot(x(:,2),x(:,3))
>> title('(b)')
>> subplot(2,2,3)
>> plot(x(:,1),x(:,2))
>> title('(c)')
>> subplot(2,2,4)
>> plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3))
>> title('(d)')
运营上述程序，可得到如下波形：

其中，图（a）为Lorenz混沌吸引子在x-z平面上投影，图（b）为Lorenz混沌吸引子在y-z平面上投影，图（c）为Lorenz混沌吸引子在x-y平面上投影，图（d）为Lorenz混沌吸引子三维图。可以看到，混沌吸引子在各平面上投影类似于横写“8”字形。
由于参数σ=10，μ=30，b=8/3时为混沌系统，对初值具备敏感性，初值很小差别会引起系统行为明显变化。因而，将初值改为x=z=0.1,y=0.11,绘制此时混沌吸引子在x-z平面上投影，并与初值为x=y=z=0.1时混沌吸引子在x-z平面上投影放在同一张图中比较。为了区别两者，初值为x=y=z=0.1时混沌吸引子在x-z平面上投影用蓝色，初值改为x=z=0.1,y=0.11时混沌吸引子在x-z平面上投影用红色。程序如下所示：
>> clf
>> x0=[0.1,0.1,0.1];
>> [t,x]=ode45('Lorenz',[0,100],x0);
>> plot(x(1),x(:,3))
>> hold on
>> x0=[0.1,0.1,0.1];
>> [t,x]=ode45('Lorenz',[0,100],x0);
>> x0=[0.1,0.11,0.1];
>> [t,x]=ode45('Lorenz',[0,100],x0);
>> plot(x(:,1),x(:,3),'r*')

得到图形如下所示：

可以看到，虽然初值只有0.01变化，红色与蓝色图形明显不重叠，这证明了系统敏感性。
3.matlab对Lorenz系统仿真
一方面运用matlabSimulink功能，搭建Lorenz系统模型，仿真模型如下图所示：

在仿真模型中，取参数σ=10，b=8/3，观测参数μ取不同值时系统运营状态。
依照文献[1]分析，当参数0<μ<1时，只有一种稳定平衡点O（0,0,0）。取初值为x=y=z=2,参数μ=0.5，仿真停止时间取为50，运营仿真。得到x、y、z相图以及x-z，y-z，x-y图形依次如下所示：

可见，系统不久地趋向并稳定在O（0,0,0），验证了前面所述。
依照文献[1]，当μ>1时，系统有三个平衡点：原点O(0,0,0)和P+，P-。此时原点特性值中有正值，因而原点为鞍点，是不稳定平衡点。当1<μ<13.926时，不稳定流形最后螺旋地趋于与之同侧平衡点P+或P-；当μ=13.926时，不稳定流形刚好无限趋于原点O，即浮现同宿轨；当μ>13.926时，不稳定流形将绕到另一侧，最后趋于与之异侧P+或P-。可见，μ是一种同宿分岔点。因而，取初值x=y=z=2，μ=8，仿真停止时间为50，运营仿真，得到x、y、z相图以及x-z，y-z，x-y图形依次如下所示：

可以看到，系统趋于与之同侧平衡点P+或P-。
取初值x=y=z=2，μ=18，仿真停止时间为50，运营仿真，得到x、y、z相图以及x-z，y-z，x-y图形依次如下所示：

可以看到，系统趋于与之同侧平衡点P+或P-。
为了观测μ=13.926同宿分岔点现象，在μ=13.926附近不断尝试，最后在μ= 15.39682328时观测到比较明显过渡迹象。取初值x=y=z=2，μ=15.39682328，仿真停止时间为50，运营仿真，得到x、y、z相图以及x-z，y-z，x-y图形依次如下所示：

可以看到，虽然最后轨线趋向于与之同侧平衡点P+或P-，但有着明显过渡迹象。可以推测，当μ取15.39682328到15.39682330间某一种数值时，会浮现同宿轨现象。
依照文献[1]，当μ>24.74时，P+与P-变为不稳定，也就是说系统进入“混沌区”。此时三个平衡点O、P+、P-都不稳定。取初值x=y=z=2，μ=30，仿真停止时间为100，运营仿真，得到x、y、z相图以及x-z，y-z，x-y图形依次如下所示：

可以看到，上述图形中，轨线绕着P+若干圈后，又绕着P-若干圈，如此循环，符合文献[1]描述。
为了观测由系统趋向于与之异侧平衡点向系统混沌状态过渡现象，在μ=24.74附近重复不断尝试，最后发现当μ=23.299时，可以观测到明显过渡迹象。因而，取初值x=y=z=2，μ=23.299，仿真停止时间为100，运营仿真，得到x、y、z相图以及x-z，y-z，x-y图形依次如下所示：

可以看到，在上图中，轨线看起来稳定在一条环绕与之异侧平衡点轨道上。仅从仿真运营这段时间，无法判断系统是处在混沌状态还是会趋向于与之异侧平衡点，可以看出明显过渡迹象。
4.对Lorenz系统反馈控制
系统稳定是系统基本规定。为了使Lorenz系统不稳定平衡点变为稳定平衡点，依照文献[2]，可以通过加入反馈控制办法实现。加入反馈后，Lorenz方程变为：

由上式可以看出，第二个方程加入了简朴线性反馈ky。建立加入反馈后系统仿真模型，如下图所示：

依照文献[2]分析，当k<-35.1时，可以满足使系统稳定规定。取初值x=y=z=2，μ=30，仿真停止时间为100，k=-36，运营仿真，得到x、y、z相图以及x-z，y-z，x-y图形依次如下所示：

可以看到，系统不久趋于原点O(0,0,0)并稳定下来，这验证了通过加入反馈使Lorenz系统变得稳定这一办法对的性。
5.结论
本文直观地观测了Lorenz混沌吸引子三维图形，并简朴观测了Lorenz混沌系统对初值敏感性，比较分析了在不同参数下Lorenz系统仿真成果，最后验证了添加反馈控制这一办法可以使Lorenz方程不稳定平衡点成为稳定平衡点。通过使用matlab对Lorenz系统仿真，直观地观测到了Lorenz系统运营轨迹，加深了对Lorenz方程和混沌现象理解。

参照文献：
[1]刘崇新.非线性电路理论及应用[M].西安：西安交通大学出版,.201-208
[2]朱少平.Lorenz方程动力学特性与控制[J].陕西教诲学院学报，,23（4）：81-84
[3]赖宏慧.基于matlabLorenz系统模仿实验仿真[J].科技信息.,17:18-19
[4]柴彩春.关于Lorenz方程动力学性态研究[J].廊坊师范学院学报，,11（1）：8-10
[5]刘庆花.基于Matlablorenz混沌系统仿真[J].当代商贸工业，,02:194-195