数学建模-自动化车床管理(含程序).doc

2014年数学建模论文

第三套

题 目： 自动化车床管理
专业、姓名： 电气123 张海峥
专业、姓名： 自121 赵世博
专业、姓名： 电气123 甄智龙

提交日期： 2014.7.11

题目：自动化车床管理

摘 要
本文讨论了自动化车床连续加工零件的工序定期检查和刀具更换的最优策略。我们根据原始数据利用EXCEL软件进行统计分析，得出刀具正常工作时长的函数，建立了以期望损失费用为目标函数的数学模型。
问题一，我们假设所有的检查为等间距，以检查到的零件是否为次品来判定工序是否正常，若一直未出现故障则当加工到定期换刀时刻就换刀，利用概率论的相关知识，求出一个周期内的期望损失费用和期望零件个数，建立了以零件的期望损失费为目标函数的随机优化模型，求解得检查间隔，换刀间隔，每个零件的期望损失费用。
问题二，不管工序是否正常都有可能出现正品和次品，在问题一的基础上调整了检查间隔中的不合格品所带来的损失费用，同时加上了因误检停机而产生的费用，求出期望损失费用和期望零件个数，建立了以每个零件的期望损失费用为目标函数的随机优化模型，求解得出检查间，换刀间隔，每个零件的期望损失费用。
问题三，在问题二的基础上将工序正常工作的时间长由开始的近似等于刀具无故障工作的时间长，改进为刀具无故障工作时间长的95%，其它的故障近似服从均匀分布，求出一个周期内的期望损失费用和零件个数，建立了以每个零件的期望损失费用为目标的随机优化模型，求解得出检查间，换刀间隔，期望损失费用。
关键词：自动化车床管理 期望损失费用 随机优化模型 检查间隔 换刀间隔

一、问题重述
一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等原因该工序会出现故障，其中刀具损坏故障占 95%，其他故障仅占 5%。工序出现故障是完全随机的，假定在生产任一零件时出现故障的机会均相同。工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障。现积累有 100 次刀具故障记录，故障出现时该刀具完成的零件数如附件表。现计划在刀具加工一定件数后定期更换新刀具。已知生产工序的费用参数如下：
故障时产出的零件损失费用 f=200 元/件；
进行检查的费用 t=20 元/次；
发现故障进行调节使恢复正常的平均费用 d=4000 元/次（包括刀具费）；
未发现故障时更换一把新刀具的费用 k=1500 元/次。
1）假定工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品，试对该工序设计效益最好的检查间隔（生产多少零件检查一次）和刀具更换策略。
2）如果该工序正常时产出的零件不全是合格品，有 2%为不合格品；而工序故障时产出的零件有 40%为合格品，60%为不合格品。工序正常而误认有故障停机产生的损失费用为 2000 元/次。对该工序设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略。
3）在 （2）的情况，可否改进检查方式获得更高的效益。
附：100 次刀具故障记录（完成的零件数）
459 362 624 542 509 584 433 748 815 505
612 452 434 982 640 742 565 706 593 680
926 653 164 487 734 608 428 1153 593 844
527 552 513 781 474 388 824 538 862 659
775 859 755 649 697 515 628 954 771 609
402 960 885 610 292 837 473 677 358 638
699 634 555 570 84 416 606 1062 484 120
447 654 564 339 280 246 687 539 790 581
621 724 531 512 577 496 468 499 544 645
764 558 378 765 666 763 217 715 310 851

二、问题分析
由题中信息可知，由于刀具损坏等原因会使工序出现故障, 工序出现故障完全是随机的，即在生产任意一个零件时都有可能发生故障。
工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障, 如果检查过于频繁, 那么工序就会经常处于正常状态而少生产出不合格品, 然而, 这将使检查费用过高;检查间隔过长, 虽然可以减少检查费用, 但由于不能及时发现故障而可能导致大量不合格品出现, 必将提高每个零件的平均损失费用。

根据题目信息，刀具加工一定件数的零件后将定期更新刀具，从而我们可以通过确定最佳检查间隔和换刀间隔来减少损失。

2.1 对问题一的分析
根据题目要求，我们假定所有的检查都为等间隔检查，因为未发生故障时生产的零件都是合格品，所以当发现零件不合格时就认为工序发生了故障，从而停机检查并使其恢复正常。若一直未发生故障，则当加工到定期更换刀具时刻，不管是否发生了故障都进行换刀。计算平均费用可分为两种情况：（1）在换刀之前未发生故障，记平均损失费用为，（2）在换刀之前发生了故障，记平均损失费用为。然后以每个零件的期望损失费用为目标函数，运用MATLAB等软件进行编程求解使其最小。

2.2 对问题二的分析
根据题目中所给的条件，我们还是假定所有的检查都为等间隔检查，因为未发生故障时次品率为2%，发生故障时的正品率为40%，所以不能单凭是否检查到次品来判定工序是否正常，在工序正常时有可能误判，这样就会产生误检停机费用，计算平均费用分为两种情况：（1）在换刀之前未发生故障，损失费用记为，（2）在换刀之前发生了故障，损失费用记为，然后以每个零件的期望损失费用为目标函数，运用MATLAB软件等进行编程求解使其最小。

2.3 对问题三的分析
在实际情况下，在工序过程中，各个时间发生故障的概率是不同的，而第二问采取的等间隔检查就在一定程度上浪费了这个条件，而且在第二问中误检漏检的概率比较大，因此我们针对这两点采取改进措施：非等距检查，连续检查法。

三、模型假设
(1)检查时间和换刀时间忽略不计；
(2)所有的故障都为刀具故障；
(3)刀具故障服从正态分布：
(4)每次只抽查一个零件检查；
(5)为整数，即
(6)一道工序只需要一把刀具；

四、变量说明
：每件不合格品的损失费用；
：每次检查的费用；
：发现故障进行调节使恢复正常的平均费用；
：未发现故障时更换一把新刀具的费用；
：平均检查间隔；
：定期换刀间隔；
：一个周期内的实际检查次数；
：工序正常而误认有故障停机产生的损失费用；
：每个零件的期望损失费用；
：刀具寿命的概率密度函数；
：出现故障时已经生产的零件个数；
：一个周期内的期望损失总费用；
：期望零件个数；
：一个周期内的最多检查次数
：在定期换刀之前未发生故障的损失费用
：在定期换刀之前发生故障的损失费用

五、模型建立与求解
5.1数据处理
5.1.1 刀具正常工作的时间长的概率密度函数
题中附录给出了100次刀具故障的记录，我们利用了EXCEL软件对这些数据进行了相关的统计分析。我们采用了采用6SQ统计插件中的假设检验下的雅克—贝拉检验来对其进行正态分布的检验，在显著性水平时，发现刀具故障服从正态分布，其中，见图1。由此可知概率密度函数

图1：雅克—贝拉检验
刀具故障时生产的零件数和正态分布概率之间的关系如图2，其中横坐标为刀具故障时生产的零件数，纵坐标为正态分布概率。

图2：零件数与正态分布概率关系图
下面我们对正态分布进行检验：
卡方检验
是一种用途很广的计数资料的假设检验方法。它属于非参数检验的范畴，主要是比较两个及两个以上样本率( 构成比）以及两个分类变量的关联性分析。其根本思想就是在于比较理论频数和实际频数的吻合程度或拟合优度问题。
利用拟合检验法进行检验，我们用刀具寿命的最大值减去最小值，取100为区间长度，将其分成了11个区间，分别算它们的频数，其中由于最后两个区间的频数都为1，根据检验的原则，我们将它们合并为一个区间，再计算各数值在区间出现的概率，其中n=100,得到表1所示数据：

表1：各区间内数据

区间

频数

83.5~183.5
3
9
1.28
7.0313
183.5~283.5
3
9
3.67
2.4523
283.5~383.5
6
36
8.17
4.4064
383.5~483.5
12
144
14.13
10.1911
483.5~583.5
23
529
18.98
27.8714
583.5~683.5
22
484
19.79
24.4568
683.5~783.5
16
256
16.02
15.98
783.5~883.5
8
64
10.07
6.3555
883.5~983.5
5
25
4.91
5.0916
983.5~1183.5
2
4
2.41
1.6598
在显著性水平下，结果如下：
，
因为，在可接受区间内，故服从正态分布。
5.1.2 刀具更换间隔
在定期更换刀具之前，我们采用了等间距检查的方式对零件进行检查，若出现故障则进行调节使其恢复正常，若没有检查出故障，则到了定期更换刀具时刻进行换刀，为了简化模型，我们假定在正常换刀之前进行的是整数次检查即。
5.2 模型一的建立与求解
5.2.1 模型一的建立
如果在换刀之前未发生故障，则损失包括两部分：
（1）检查费用；
（2）更换刀具费用；
则此种情况下总的损失为；
如果在换刀之前发生了故障，此时实际检查次数为，假设前次检查生产的都是正品，个数为，则次品的个数为，此时损失包括三部分：
（1）检查费用为；
（2）发现故障进行调节使恢复正常的费用；
（3）损失费用；
则此种情况下总的损失费用为
期望损失为：
期望零件个数：
每个零件的期望损失费用：
即，要使期望损失费用达到最低，则等价于求最佳的，使达到最小。

5.2.2 模型一的求解
利用MATLAB对上述模型进行求解，可得到， ， 。即每生产31个零件检查一次，生产279个零件后进行定期换刀，每个零件的期望损失费用为8.5169。
5.2.3模型的检验
1. 计算机模拟检验
蒙特卡洛算法
蒙特·卡罗方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。
在解决实际问题的时候应用蒙特·卡罗方法主要有两部分工作：
1． 用蒙特·卡罗方法模拟某一过程时，需要产生某一概率分布的随机变量。
2． 用统计方法把模型的数字特征估计出来，从而得到实际问题的数值解。
针对问题一的情况, 我们采取蒙特卡罗法进行模拟检验, 具体步骤如下:
1) 工序无故障工作时间 X ～N( 600, 196.62) , 用蒙特卡罗法模拟产生 1000 个无故障工作时间的伪随机数 X i( i= 1, 2, ⋯, 1000) 　　
2) 给定检查间隔S0 和刀具定期更换间隔S1, 可以计算出Xi 所对应的损失费用Li

(4) 对 S0, S1 进行搜索, 取 S0∈( 0, 200) , S1∈( 0, 1000) 求得单个零件损失费用 C 最小时的最优检查间隔 S0= 31, 定期更换刀具间隔, S1= 286, 相应的单个零件损失费用为 8.1654元.
将模型一的结果，与计算机模拟的蒙特卡洛算法进行比较,结果如下表
表一

t0
t1
C
模型一
31
279
8.5169
蒙特卡洛算法模拟
31
286
8.1654
由表一可知，模型一的结果与计算机模拟的蒙特卡洛算法比较接近，由此可知模型一的结果比较稳定。
5.3 模型二的建立与求解
5.3.1 模型二的建立
如果在换刀之前未发生故障，则在换刀时刻已经生产的零件个数为，根据题中的信息，这些零件中的废品率为2%，则损失费用包括四部分：
（1）检查费用：；
（2）误检停机费用：；
（3）正常工作时的次品损失费用：；
（4）更换刀具费用：；
则此种情况下总的损失费用为：
如果在换刀之前已经发生故障，假设第次检查出故障，则此时已经生产的零件个数为：，前次检查都是正常工作的，未发生故障时生产的零件个数为，发生故障后生产的零件个数为：，根据题中信息，我们可知，正常工作时次品率为2%，发生故障时次品率为60%，则损失费用包括五部分：
（1）检查费用：；
（2）误检停机费用：；
（3）正常工作时的次品损失费用：；
（4）发现故障进行调节使恢复正常的费用；
（5）发生故障后次品的损失费用：
则此种情况下总的损失费用为：

期望损失为：
期望零件个数：
每个零件的期望损失费用：
即，要使平均损失费用达到最低，则等价于求最佳的，使达到最小。

5.3.2 模型二的求解
利用MATLAB对上述模型进行求解，可得到， ， 。即每生产45个零件检查一次，生产270个零件后进行定期换刀，每个零件的期望损失费用为13.3749。
5.4 模型三的建立与求解
5.4.1 模型三的建立
在实际情况下，在工序过程中，各个时间发生故障的概率是不同的，而第二问采取的等间隔检查就在一定程度上浪费了这个条件，而且在第二问中误检漏检的概率比较大，因此我们针对这两点采取改进措施：非等距检查，连续检查法。

非等距检查
如上图所示，若每个周期内需要检查n次，我们根据概率密度曲线，把无故障换刀点之前的面积平分成n份，
S1=S2=……Sn
即可以求得每个检查点的位置，每两个检查点发生故障的概率就趋于平均。能大大提高检查效率。

连续检查法
连续检查法是为了减少误差和漏检的概率，连续检查法描述如下：
一次性检查两个零件
1、若两个零件都为合格品，则判断无故障
2、若两个零件都为不合格品，则判断有故障
3、若两个零件，一个为合格品，一个为不合格品，则在检查一个零件，根据第三个零件进行判断。
根据上面检查法，我们分别计算在这种检查法的情况下误检与漏检的概率P与期望检查的费用Q

误检：
误检发生在正常工序阶段，在上面的检查法中，只有2和3的情况会发生误检。
P2=0.02*0.02=0.0004
P3=2*0.02*0.98*0.02=0.000784
P(1)=P2+P3=0.00184

Q(1)=（0.02*0.02+0.98*0.98）*40+2*0.020.98*60=40.784
漏检：

漏检发生在故障工序阶段，在上面的检查法中只有1和3才会发生漏检
P1=0.4*0.4=0.16
P3=2*0.4*0.6*0.4=0.192
P(2)=P1+P3=0.352
Q(2)=(0.4*0.4+0.6*0.6)*40+2*0.4*0.6*60=49.6

采用这种连续检查法，我们发现漏检和误检的概率大大降低，L期望损失与模型二比较明显变小，达到了理想的结果。
假设此时工序正常工作的时间长的概率密度函数为，则根据模型二中的相关知识，建立的模型如下：如果在换刀之前未发生故障，则在换刀时刻已经生产的零件个数为，根据题中的信息，这些零件中的废品率为2%，则损失费用包括四部分：
（1）检查费用：；
（2）误检停机费用：
（3）正常工作时的次品损失费用：；
（4）更换刀具费用：；
则此种情况下总的损失费用为：
如果在换刀之前已经发生故障，假设第次检查出故障，则此时已经生产的零件个数为：，前次检查都是正常工作的，未发生故障时生产的零件个数为，发生故障后生产的零件个数为：，根据题中信息，我们可知，正常工作时次品率为0.00184，发生故障时次品率为0.648，则损失费用包括五部分：

（1）检查费用：；
（2）误检停机费用：；
（3）正常工作时的次品损失费用：；
（4）发现故障进行调节使恢复正常的费用；
（5）发生故障后次品的损失费用：[(n+1)*t0-x]*f*0.648
则此种情况下总的损失费用为：
Ln=(n+1)*t0+h*n*0.00184+x*f*0.00184+d+[(n+1)*t0-x]*f*0.648
期望损失为：
期望零件个数：
期望损失费用：
即，要使平均损失费用达到最低，则等价于求最佳的，使达到最小。
5.4.2模型三的求解
利用 MATLAB 对上述模型进行求解，可得到， ， 。即每生产 45个零件检查一次，生产 270个零件后进行定期换刀，期望损失费用为 9.6568。
采用这种连续检查法，漏检和误检的概率大大降低，L期望损失与模型二比较明显变小，达到了理想的结果。
表二
三种模型比较

模型一
模型二
模型三
t0(检查间隔)
31
279
8.5169
t1(换刀周期)
45
270
13.3740
L（期望损失）
45

270
9.6568

六、结果分析
6.1 模型一的评价
此模型采用了等间隔检查的方式，简化了模型，其中对损失费用分两种情况讨论，简单明了，易于理解。将求解最佳检查间隔和换刀间隔转化求解最小期望损失费用，使模型的目标性更强。但此模型为等间隔检查，在两次检查中次品率可能会很高，这样次品损失费用就会增加。
6.2 模型二的评价
此模型考虑了工序正常工作和工序出现故障时产生的次品率，利用概率的相关知识，对模型简化，最后将求解最佳检查间隔和换刀间隔转化求解最小期望损失费用，使模型的目标性更强。但模型考虑的是等间隔检查，当发现次品时就停机检查，误检停机费用会增加，发现正品时就继续生产，次品损失费会增加。
6.3 模型三的评价
此模型考虑到了等间隔检查的方式并不合理，因为在工序过程中，各个时间发生故障的概率是不同的，所以应该采取非等间隔方式，大致是“前疏后密”，考虑到第二问中误检，漏检的概率比较大，所以采用连续检查法，降低误检率和漏检率，进而减小期望损失。

6.4 模型的优点
1、本文建模思想易于理解，模型操作性强；
2、对零件的检查采取了等间隔抽查，简化了模型，使模型便于建立和求解；
3、将每个零件的平均损失费用作为目标函数，建立了评估体系，既有利于求出模型的最优解，又比较符合实际生产中企业取舍方案的标准；
65 模型的缺点
1、我们没有对模型进行模拟仿真：
2、在模型一和模型二中，我们忽略了其他导致故障发生的原因，只考虑了刀具故障。6.6模型的改进
对于问题二, 由于工序正常时产出的零件仍有2% 为不合格品, 而工序故障时产生的灵件有40% 为合格品, 这样工作人员在通过定期检查单个零件来确定工序是否出现故障的检查方式必然会导致两种误判（1）正常工序时因检查到不合格零件而误认为出现故障；（2）工序发生故障后检查到的仍是合格品而认为工序正常, 这两种情况都将造成很大损失. 我们建议采取连续检查方式，分为以下几种情况：
（1）连续两次检查都为正品时，我们认为工序正常，继续生产；
（2）连续两次检查都为次品时，我们认为工序发生故障，进行维修使其恢复正（3）常后再生产；
（4）连续两次检查中一次为正品，另一次为次品时，继续第三次检查，再进行判断；
这样虽然会相应地增加检查费用, 但大大降低了因误检而造成的损失, 从而使系统工序获得更高的效益.

七、参考文献
[ 1 ] 盛 骤 谢式千《概率论与数理统计》 高等教育出版社.
[ 2 ] 蔡 俊 《可靠性工程学》 黑龙江科学技术出版社.
[ 3 ] 沈玉波 冯敬海《可修系统的最优检测更新模型》《数学的实践与认识》
[ 4 ] 朱道元 《数学建模案例精选》 科学出版社
[ 5 ] 戴朝寿 孙世良《数学建模简明教程》 高等教育出版社
[ 6 ] 楼顺天 陈生潭 雷虎明《MATLAB5.X程序设计语言》西安电子科技大学出版社
[ 7 ] 宋来忠 王志明《数学建模与实验》 科学出版社

八、附录
模型一求解的MATLAB源代码：
k=1;
for a=84:600
for b=1:a-1
if mod(a,b)==0
p=normcdf(a,600,196.62917);
c=1500+a/b*20;
d=0;
for i=1:a/b+1
q=normcdf(i*b,600,196.62917)-normcdf((i-1)*b,600,196.62917);
d=d+(i*20+4000+q*b*200);
end
e(k)=(c*(1-p)+q*d)/a;
f(k)=(c*(1-p)+q*d);
g(k)=a;
h(k)=b;
k=k+1;
end
end
end
[z n]=min(e(1:k-1))
g(n),h(n)
计算结果：
z =
8.5169
n =
1038
ans =
279
ans =
31

模型二求解的MATLAB源代码
k=1;
for a=84:600
for b=1:a-1
if mod(a,b)==0
p=normcdf(a,600,196.62917);
c=1500+a/b*20+a/b*1500*0.02+a*200*0.02;
d=0;
for i=1:a/b+1
q=normcdf(i*b,600,196.62917)-normcdf((i-1)*b,600,196.62917);
%d=d+(i*20+4000+q*b*200*0.6+(a-b*i+i)*0.6);
d=d+(i*20+4000+q*b*200*0.6+(i-1)*1500*0.02+(a-b*i)*200*0.02);
end
e(k)=(c*(1-p)+q*d)/a;
%f(k)=(c*(1-p)+q*d);
g(k)=a;
h(k)=b;
k=k+1;
end
end
end
[z n]=min(e(1:k-1)),g(n),h(n)
计算结果：
z =
13.3749
n =
991
ans =
270
ans =
45

模型三求解的MATLAB源代码：
k=1;
for a=84:600
for b=1:a-1
if mod(a,b)==0
p=normcdf(a,600,196.629178);
c=1500+a/b*45.192+a/b*1500*0.00184+a*200*0.00184;
d=0;
for i=1:a/b+1
q=normcdf(i*b,600,196.62917)-normcdf((i-1)*b,600,196.62917);
%d=d+(i*20+4000+q*b*200*0.6+(a-b*i+i)*0.6);
d=d+(i*45.192+4000+q*b*200*0.648+(i-1)*1500*0.00184+(a-b*i)*200*0.00184);
end
e(k)=(c*(1-p)+q*d)/a;
%f(k)=(c*(1-p)+q*d);
g(k)=a;
h(k)=b;
kk+1;
end
end
end
[z n]=min(e(1:k-1)),g(n),h(n)
计算结果：
z =
9.6568
n =
991
ans =
270
ans =
45

%蒙特卡洛算法
clc;
x=normrnd(600,196.62917^2,1,100);
ave=sum(sum(x))/100%期望
s=std(x)%标准差
a=sort(x);%升序排序
plot(a,normpdf(a,ave,s),'r')
m=0;n=0;
for t1=84:600
for t0=1:t1-1
for i=1:100
if a(i)>0
if a(i)>t1
l(i)= 1500+floor(t1/t0)*20;
elseif round(a(i))==t1
l(i)=4000+floor(t1/t0)*20;
else
l(i)=4000+floor(a(i)/t0)*20+(t0-rem(a(i),t0))*200;
end

if round(a(i))>=t1
T(i)=t1;
else
T(i)=floor(a(i)/t0)*t0+t0;
end

m=m+l(i)
n=n+T(i)

end

end
c(t0)=m/n
d(t1)=c(1);
if d(t1)>c(t0)
d(t1)=c(t0);
tt0=t0
end
end
min=d(1);
if min>d(t1)
min=d(t1);
tt1=t1
end
end