自考线性代数经管类章节作业.pdf

章节作业 第一章 行列式 一、单项选择题 1.行列式sincoscossinxxxx ().A.1 B.0 C.-1 D.2 2.行列式22031kk的充分必要条件是 ().A.1k B.4k C.1k 且4k D.1k 或4k 3.行列式120103111 ().A.1 B.0 C.-1 D.5 4.行列式123231312 ().A.1 B.0 C.-18 D.6 5.若1112132122233132331aaaaaaaaa，则111112121321212222233131323233232323aaaaaaaaaaaaaaa ().A.1 B.-2 C.-3 D.6 6.若三阶行列式ijDam，则1|ijDma ().A.m2 B.-m2 C.m4 D.-m4 7.设12311231234aaaDxxxyyy，12321231231bbbDxxxyyy，则 112233123123222222abababxxxyyy ().A.5 B.10 C.20 D.6 8.若111213111112132122231212122233132333131323342351,42354235aaaaaaaDaaaDaaaaaaaaaaa，则 D1=().A.8 B.-60 C.24 D.-24 9.行列式1050174024106311中，元素的代数余子式的值为().A.24 B.42 C.-42 D.-24 10.设四阶行列式 D 的第三列元素为-1，2，0，1，它们的余子式的值依次分别为-2，-5，-9，4，则 D=().A.-4 B.8 C.16 D.12 11.当（）成立时，(2)n n 阶行列式的值为零.().A.行列式的主对角线上的元素全为零 B.行列式中零元素的个数多于 n 个 C.行列式中每行元素之和都相等 D.行列式中每行元素之和都为零 12.下列结论不正确的是 ().A.若上三角形行列式的主对角线上的元素全为零，则行列式的值为零.B.若行列式中有两列元素对应成比例，则行列式的值为零.C.若行列式中某行元素都是零，则行列式的值为零.D.行列式中每列元素之和都相等，则行列式的值为零.13.设111212122212.nnnnnnaaaaaaDaaa，则下式中正确的是 ().A.1122.0iiiiinina Aa Aa A B.1122.0jjjjnjnja Aa Aa A C.1122.iiiiinnia Aa Aa AD D.1122.jjjjnjnja Aa Aa AD 14.若方程组02020kxzxkyzkxyz 有非零解，则 k取值为 ().A.0k B.1k C.2k D.2k 15.若方程组0020kxyzxkyzxyz 仅有零解，则 ().A.2k B.1k C.2k 且1k D.2k 或 1k 二、填空题 1.若行列式125132025k，则 k=.2.行列式222aaaaaa .3.行列式00000abcd .4.行列式111021003 .5.111213212223312132223323aaaaaaaaaaaa .6.行列式00000000ababbaba .7.若1111110111111xxxx，则 x=.8.行列式1111abcdbcdacdabdacb .9.行列式0100002000034000 .10.12321443a中a的代数余子式的值为 .11.已知四阶行列式 D 中第二列元素依次为：1，2，0，-1，它们的余子式依次分别为：2，1，3，-1，则 D=.12.设五阶行列式 D=2，对 D 做以下变换：先交换 D 的第一行与第五行，再转置，用 2 乘以所有元素，再用-3乘以第二列后加到第四列，则行列式 D 的值为 .13.按第三列展开计算行列式101011111110abcd .14.n 阶行列式0.000.0000.00.000.00.0 xyxyxxyyx .15.已知方程组123123123000 xxxxxxxxx有非零解，则的值为 .16.当方程组11 112213321 122223331 1322333000a xa xa xa xa xa xa xa xa x 满足_时，有唯一零解.三、计算题 1.442732755434437721621；2.xyxyyxyxxyxy；3.222111abcabc；4.222222abcaabbcabcccab ；5.111111111111111 1；6.1234234134124123；7.1111111111111111xxyy；8.1111123413610141020；9.1111111111111111xxxx；10.1234101231101205；11.nbaaaabaaDaabaaaab；12.12112122121.1.1.1.nnnnnaaaabaaaabaaaab；13.1231231231231.1.1.1nnnnaaaaaaaaaaaaaaaa；14.123.1103.1120.1.123.0123.(1)0nnnnnnnn；15.122.22222.22223.22.222.12222.2nn.四、证明题 1.111111112222222233333333aba xb ycabcaba xb ycabcaba xb ycabc；2.111111112222222233333333akbbccabcakbbccabcakbbccabc；3.2bccaababcabbccacabcaabbcbca；4.2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)aaaabbbbccccdddd=0.五、用克莱姆法则解下列线性方程组：1.223473743xyzxyzxyz ；2.24324xyzxyzxyz ；3.1231312302020 xxxxxxxx；4.123123123243421132411xxxxxxxxx.第二章 矩阵 一、单项选择题 1.设矩阵 A=110212，B=1 110 12，则 2A+3B=().A.5134 52 B.5134 52 C.5134 52 D.513452 2.已知方阵 A=102111230，则|A|，|2 A|的值依次为 ().A.-13，-26 B.-13，-104 C.13，26 D.-13，104 3.设 n 阶方阵 A 的行列式|A|=a，则|A|A|=().A.1na B.na C.1na D.2a 4.设矩阵 As n,Bnm,则下列运算有意义的是 ().A.A2 B.AB C.BA D.ABT 5.设矩阵A=111213212223aaaaaa,下列矩阵中能乘在A 的右边是().A.123bbb B.(b1 b2 b3)C.111213212223bbbbbb D.11122122bbbb 6.若 A=(1，2，3)，B=(1，2，3，4)，则(ATB)T是 ().A.1 3 矩阵 B.3 4 矩阵 C.4 3 矩阵 D.1 4 矩阵 7.设 A,B 均为 n 阶非零方阵,下列正确的是 ().A.(A+B)(A-B)=A2-B2 B.(A+B)2A2+2AB+B2 C.若 AB =O，则 A=O 或 B=O D.|AB|=|A|B|8.设 A，B 均为同阶方阵，则下列结论正确的是 ().A.(AB)T=ATBT B.AAT=AT A C.若 A=AT，则(A2)T=A2.D.若 A=AT,B=BT,则(AB)T=AB.9.设 A 是任意一个 n 阶矩阵，那么下列是对称矩阵的是 ().A.AT+A B.AT-A C.A-AT D.A2 10.设 A，B，C 均为 n 阶非零方阵，下列选项正确的是 ().A.若 AB=AC，则 B=C B.(ABC)2=A2B2C2 C.ABC=BCA D.|ABC|=|A|B|C|11.设 A，B 均为 n 阶方阵,则等式(A+B)(A-B)=A2-B2成立的充分 必要条件是 ().A.A=E B.B=O C.A=B D.AB=BA 12.若矩阵 A，B 满足 AB=E，且 ABC 有意义，则下列选项正确的是().A.BA=E B.A,B 都是可逆矩阵 C.A-1=B D.ABC=C 13.设 A，B 均为 n 阶可逆方阵，则下列等式成立的是 ().A.AB=BA B.111()ABAB C.11(2)2AA D.11()()TTAA 14.设 A 是 n 阶可逆矩阵，A*是 A 的伴随矩阵，则 ().A.|A*|=|A|B.|A*|=|A|n-1 C.|A*|=|A|n D.|A*|=|A|-1 15.矩阵57811的伴随矩阵是 ().A.11785 B.11785 C.11875 D.-11785 16.设 A 是三角形矩阵，若主对角线上元素()，则 A 可逆.A.全都为零 B.可以有零元素 C.不全为零 D.全不为零 17.已知二阶方阵 A=2334，则 A 的逆矩阵 A-1=().A.4332 B.4332 C.4332 D.4332 18.设 n 阶矩阵 A、B、C 满足 ABC=E，则 C-1=().A.AB B.BA C.A-1B-1 D.B-1A-1 19.若 A 为二阶方阵，且 A 的行列式|A|=-2，则|-2(A-1)T|=().A.-4 B.1 C.2 D.8 20.若 A，B，C 皆为 n 阶方阵，则下列关系中，不一定成立的是().A.A+B=B+A B.(A+B)+C=A+(B+C)C.AB=BA D.(AB)C=A(BC)21.若 A，B 皆为 n 阶可逆方阵，则下列关系式中，一定成立的是().A.(A+B)2=A2+2AB+B2 B.(A+B)-1=A-1+B-1 C.(AB)-1=B-1A-1 D.(AB)T=AT BT 22.下列结论正确的是 ().A.A，B 均为方阵，则()kkkABA B(k 2，kN).B.A，B 为 n 阶对角矩阵，则 AB=BA.C.A 为方阵，且 A2=O,则 A=O.D.若矩阵 AB=AC，且 A O，则 B=C.23.设 A 是二阶可逆矩阵，则下列矩阵中与 A 等价的矩阵是().A.0000 B.1000 C.1100 D.1101 24.已知二阶矩阵abcdA的行列式|A|=-1，则(A*)-1=().A.abcd B.dbca C.dbca D.abcd 25.下列矩阵中不是初等矩阵的是 ().A.100010101 B.100010101 C.100020001 D.100110101 26.设 A,B,C 为同阶方阵，则(ABC)T=().A.ATBTCT B.CTBTAT C.CTATBT D.ATCTBT 27.设 n 阶方阵 A 是满秩矩阵，下列结论不成立的是 ().A.r(AT)=n B.|A|=0 C.|A|0 D.A 可逆 28.设矩阵1 1 122At的秩为 1，则 ().A.t =2 B.t=1 C.t=-1 D.t=-2 29.设矩阵12324369At的秩为 1，则 ().A.t =6 B.t=-6 C.t=1 D.t=-2 30.设矩阵11222336t A的秩为2，则 ().A.4t B.t=-4 C.t是任意实数 D.以上都不对 31.设矩阵 A 的秩为 r，则下列结论正确的是 ().A.A 中所有 r阶子式都不为零 B.A中存在 r阶子式不为零 C.A 中所有 r阶子式都为零 D.A中存在 r+1 阶子式不为零 32.下列结论正确的是 ().A.奇异矩阵经过若干次初等变换可以化为非奇异矩阵 B.非奇异矩阵经过若干次初等变换可以化为奇异矩阵 C.非奇异矩阵等价于单位矩阵 D.奇异矩阵等价于单位矩阵 二、填空题 1.设1101 11,2120 12AB,则 A+B=.2.设013131,205322AB,则 2A+B=.3.设1101 1 1,2120 12AB,则 2A-B=.4.若矩阵 A 与矩阵 B 的积 AB 为 3 行 4 列矩阵，则矩阵 A 的行数是 .5.若等式1012100201111aa 成立，a=_.6.设矩阵201042,113357=AB，则 ATB=_.7.已知矩阵1101A，1011B，则 AB-BA=8.已知矩阵 A=(1，2，-1),B=(2，-1，1),且 C=ATB,则 C2=.9.设 A 为二阶方阵，若|3 A|=3，则|2 A|=.10.设 A 为三阶方阵，|A|=2，则|-2 A|=.11.设 A 为四阶方阵，|A|=3，则|*A|=.12.矩阵1324A的逆矩阵 A-1=.13.设,abcdA则其伴随矩阵 A*=.14.设120010002A,则其逆矩阵 A-1=.15.设100220333A，则 A*A=.16.已知矩阵方程 XA=B,其中10,21A11,10B 则 X=.17.设 A，B，C 皆为 n 阶方阵，若 A，B 皆可逆，则矩阵方程 AXB=C的解 X=.18设 A 为二阶可逆矩阵，且已知(2A)-1=1234，则 A=.19.设矩阵 A=333333011，则矩阵 A 的秩为 .20.已知矩阵 A=111112123a,且 r(A)=2，则 a=.三、计算题 1.已知 A 为四阶方阵，且|A|=2，求：(1)|-A|；(2)|2A|；(3)|AAT|；(4)|A2|.2.设矩阵2112A,E 为二阶单位矩阵，矩阵 B 满足 BA=B+E，求|B|.3.设 A，B 均为三阶方阵，且已知|A|=4，|B|=5，求|2 AB|.4.求下列矩阵的逆矩阵：(1)A=121345203；(2)A=101110012；(3)A=200111113；(4)12100.000.0000.00.0nnaaaaA，其中0,1,2,.,.iain 5.解下列矩阵方程：(1)31154226X；(2)10111 0012X=301110014；(3)101121003141X；(4)111121011011001X；(5)110112120213X；(6)101122100131410X.6.已知矩阵142031,121101,ABC，矩阵 X 满足 AXB=C，求解 X.7.设01011111,2010153 AB，且 X 满足 X=AX+B，求 X.8.设 A,B 均为三阶方阵，且|A|=-1，|B|=5，求|2(ATB-1)2|.9.设 A 为三阶方阵A*是 A 的伴随矩阵，且|A|=12，求|(3 A)-1-2A*|.10.求下列矩阵的秩：(1)121241211111；(2)121220213213；(3)111141213010；(4)12345123341333422223；(5)2531585317404113；(6)1234235743992588.四、证明题 1.试证：若 B1，B2都与 A 可交换，则 B1+B2，B1B2也都与 A 可交换.2.对于任意方阵 A，证明：A+AT；AAT都是对称矩阵.3.试证：若 n 阶矩阵 A，B，C 都可逆，则 ABC 也可逆，并且(ABC)-1=C-1B-1A-1.4.设 A 是 n 阶方阵，且满足 AAT=E，证明：|A|=1或|A|=-1.5.设 A 是 n 阶方阵，且(A+E)2=O，证明 A 可逆.6.已知 n 阶方阵 A,B 满足 2A-1B=B-4E,证明矩阵 A-2E 可逆.7.设 Ak=O(k为正整数),求证：(E-A)-1=E+A+A2+Ak-1.8.设 n 阶方阵 A 满足 2A2-A-2E=O,证明 A 可逆，并求 A-1.9.设 A 是 n 阶方阵，证明：|A*|=|A|n-1(n2).10.设 A,B 皆为 m n 矩阵，证明：A 与 B 等价的充分必要条件是 r(A)=r(B).第三章 向量空间 一、单项选择题 1.设向量(4,7,2),(1,43)，则34 ().A.(8,37,18)B.(-8,37,18)C.(8,-37,18)D.(8,37,-18)2.设向量(1,0,2,3),(1,1,1,0)，则23().A.(-1,3,7,6)B.(1,3,6,7)C.(2,0,7,6)D.(-1,3,-7,6)3.若向量组123(1,0,0),(1,1,0),(,)TTTa b c线性相关，则一定有 ().A.a=b=c B.b=c=0 C.c=0 D.c0 4.向量组123(1,2,1),(3,1,1),(2,1,9)TTT，则().A.是 R3的一组基 B.线性相关 C.不是 R3的一组基 D.可能线性相关，可能线性无关 5.向量组12,和向量组23,均线性无关，则向量组123,().A.一定线性相关 B.一定线性无关 C.不能由31,线性表出 D.既可以线性相关也可以线性无关 6.设12(2,1,0),(0,0,0)，则 ().A.2线性无关 B.1线性无关 C.12,线性无关 D.1线性相关 7.向量组123(1,1,1),(2,1,0),(,2,1)k线性相关，则().A.k=-7 B.k=7 C.k=0 D.k=1 8.向量组123(1,1,0),(,2,0),(,2,1)kk线性相关，则().A.k=0 B.k=-2 C.k=2 D.k=1 9.123(1,1,1),(0,1,),(0,2,1)kk 线性无关,则().A.k1 B.k-1 C.k0 D.k2 10.设 A 是n阶方阵，且|A|=0，则下列命题成立的是 ().A.A 中必有某一行向量为零向量 B.A 中每一行向量可以由其余行向量线性表出 C.A 中存在某一行向量可以由其余行向量线性表出 D.A 中每一行向量都不能由其余行向量线性表出 11.n维向量组12,(3)ssn 线性无关的充要条件是().A.存在一组不全为零的数12,sk kk，使 1122sskkko B.12,s 中任意两个向量都线性无关 C.12,s 中存在一个向量,它不能用其余向量线性表出 D.12,s 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出 12.若向量组12,s 线性相关，则向量组中 可由其余向量线性表示.().A.每一向量不 B.每一向量 C.存在一个向量 D.仅有一个向量 13.已知向量组1234,线性无关，则向量组 ().A.12233441,线性无关 B.12233441,线性无关 C.12233441,线性无关 D.12233441,线性无关 14.设向量1111222211111(,),(,),(,),a b ca b ca b c d 22222(,)a b c d，下列命题中正确的是 ().A.若12线性相关，则必有12,线性相关 B.若12线性无关，则必有12,线性无关 C.若12,线性相关，则必有12线性无关 D.若12,线性无关则必有12线性相关 15.若向量组12,s 线性相关，则必可推出 ().A.12,s 中至少有一个向量为零向量 B.12,s 中至少有两个向量成比例 C.12,s 中至少有一个向量可由其余向量线性表示 D.12,s 中每一个向量都可由其余向量线性表示 16.已 知1234,线 性 无 关，则 向 量 组1223,3441,().A.线性相关 B.线性无关 C.既可以线性相关也可以线性无关 D.是否线性相关与向量的维数有关 17.设向量组：123,与向量组：12,等价，则必有().A.向量组线性相关 B.向量组线性无关 C.向量组的秩向量组的秩 D.3不能由12,线性表出 18.设128,是6维向量组，则128,().A.线性无关 B.仅有一个向量可由其余向量线性表出 C.至少有 2 个向量可由其余向量线性表出 D.至少有 4 个向量可由其余向量线性表出 19.设有两个同维向量组12,s 与12,.,t，则下列选项正确的是 ().A.若两向量组12,s 与12,.,t等价，则 s=t.B.若 s=t，则两向量组12,s 与12,.,t等价.C.若两向量组12,s 与12,.,t等价，则 r(12,s)=r(12,.,t).D.若 r(12,s)=r(12,.,t)，则两向量组 12,s 与12,.,t等价.20.设向量组2,.,m 的两个极大无关组分别是12,.,iiir 和12,jjjt，则下列选项中正确的是 ().A.r+t =m B.r+t m C.r=t D.r t 二、填空题 1.已知向量12,满足关系式121,2 又1(2,1,0),2(1,3,2),则=.2.(1,2,3)表示为向量组123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)的线性组合式为 .3.已知向量123(2,5,1,3),(10,1,5,10),(4,1,1,1)，如果1233()2()5()，则 .4.设向量(2,3,5)和向量(4,6,)a线性相关，则 a=.5.设向量组123,线性无关，而向量组1234,线性相关，则向量组1234,2,3,4的极大无关组为 .6.设有向量组123(1,2,3),(2,3),(0,1,1)TTTt线性相关，则t =.7.设向量组123(1,1,0,1),(0,1,4),(2,1,2,2)a 的秩为 2，则 a=.8.向量组123(1,2,3),(0,0,1),(2,4,5)的秩为 .9.向量组123(1,2,3),(0,1,0),(2,4,5)的秩为 .10.向量组121212,.,12mmmm 的秩是 .11.已知向量组123(1,2,1,1),(2,0,0),(0,4,5,2)t的秩为 2，则 t =.12.向量(0,1,2)在基123(1,1,0),(0,1,1),(1,1,1)下的坐标是 .13.设向量组123,与向量组1231,2,3),(2,4,5),(0,0,6)等价，则123,的秩 .14.设112(5,1,3,2),2(2,3,1,0),则1232 .15.设 向 量 组123(1,2,3),(4,5,6),(3,3,3)与 向 量 组123,等价，则向量组123,的秩为 .16.设123(1,1,0),(0,1,1),(1,2,1)是 R3的一组基，且(,0,0)t在这组基下的坐标为(1,1,-1)，则 t =.三、计算题 1.已知1234(1,2,3),(3,2,1),(2,0,2),(1,2,4)，求：(1)12343254；(2)123452 .2.已知123(1,1,0,1),(2,1,0,0),(1,2,0,1)，又满足1323()2()5()，求.3.设向量,满足5()3()o ，其中(2,1,3,0),(2,1,0,3)求 .4.将向量(5,0,7)T表示成向量组12(1,1,0),(2,1,3),TT 3(3,1,2)T的线性组合.5.将下列各题中向量表示为其他向量的线性组合.(1)123(3,5,6),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1)；(2)123(2,1,5,1),(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),4(0,0,0,1).6.求向量组12(1,2,0,3),(2,5,3,6),TT 3(0,1,3,0)T,4(2,1,4,7)T,55,8,1,2)T的秩和极大线性无关组，并将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合.7.求向量1234(2,4,2),(1,1,0),(2,3,1),(3,5,2)的一个极大线性无关组，并将其余向量表成该极大线性无关组的线性组合.8.求向量组123(1,1,2,1),(3,1,6,2),(1,3,4,4),4(4,4,14,4)的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示.9.已知123(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),a 4(1,2,4,8)a，及(1,1,3,5)b.问：(1)a,b 为何值时，不能表示成1234,的线性组合.(2)a,b 为何值时，可由1234,唯一线性表示，并写出该表示式.10.判定下列向量组是线性相关还是线性无关.(1)123(1,3,0),(1,1,2),(3,1,10)；(2)123(1,2,1),(1,1,2),(3,1,2)；(3)123(1,1,1,1),(1,2,3,4),(1,4,9,16)；(4)1234(1,1,1,1),(1,2,3,4),(1,4,9,16),(1,2,5,10)(5)123(1,1,1,3),(1,1,2,3),(1,2,5,0)；(6)1234(1,1,1),(0,1,2),(1,2,3),(1,2,0).11.设向量组123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,)t，(1)t 为何值时，向量组123,线性无关？(2)t为何值时，向量组123,线性相关？并用12,表示出3.12.求(3,1,2)T在基123(1,1,2),(1,3,1),(1,1,1)TTT 下的坐标.四、证明题 1.设向量组123,线性无关，证明：向量组1223312,也线性无关.2.设向量组123,线性相关，向量组234,线性无关，证明：(1)1可以由23,线性表出；(2)4不能由123,线性表出.3.设向量组123,线性无关，证明：向量组 112123,也线性无关.4.设向量组12,.,m线性无关，1可由12,.,m线性表示，而2不能由12,.,m线性表示.证明：向量组1212,.m 线性无关.5.设向量组123,线性无关，令 1132233123,22,253 ，证明：123,线性相关.6.设向量组12,.,m线性无关，122,mm为任意实数，证明：向量组111222111,mmmmmm 线性无关.7.设向量组123,线性无关，且112233kkk.证明：若10k，则向量组23,也线性无关.8.证明123(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)是三维向量空间 R3的一个基，并求(5,9,2)在此基下的坐标.第四章 线性方程组 一、单项选择题 1.设A为mn矩阵，则 n 元齐次线性方程组oAx有非零解的充分必要条件是 ().A.()rnA B.()rmA C.()rnA D.()rmA 2.设 A 为mn矩阵，且非齐次线性方程组Axb有唯一解，则必有 ().A.m=n B.r(A)=m C.r(A)=n D.()rnA 3.设 n 个未知量的齐次线性方程组的方程个数 m n，则一定有().A.方程组无解 B.方程组有解 C.方程组有唯一解 D.方程组有无穷多解 4.对于线性方程组()Axb 与其导出组()Axo,下列命题正确的是 ().A.若()有解，则()有解 B.若()有非零解,则()有无穷多解 C.若()有唯一解,则()仅有零解 D.若()有解,则()有基础解系 5.设 A 为mn矩阵，齐次线性方程组oAx有非零解的充分必要条件是 ().A.A 的列向量组线性相关 B.A 的列向量组线性无关 C.A 的行向量组线性相关 D.A 的行向量组线性无关 6.对非齐次线性方程组m nAxb，设秩(A)=r，则 ().A.r=m 时，方程组Axb有解 B.r=n 时，方程组Axb有唯一解 C.m =n 时，方程组Axb有唯一解 D.rn时，方程组Axb有无穷多解 7.设 u1,u2是非齐次线性方程组 Ax=b的两个解，若 cu1+u2也是方程组 Ax=b的解，则 ().A.c=-1 B.c=0 C.c =1 D.c=2 8.设mn矩阵 A 的秩()3rn A(3)n，是齐次线性方程组oAx的三个线性无关的解向量，则方程组oAx的基础解系为 ().A.B.C.D.9.设12 是齐次线性方程组oAx的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是 ().A.1212 B.1212 C.122331 D.122331 10.设12 是 Ax=b的解，是对应导出组oAx的解，则().A.1 是oAx的解 B.12)是oAx的解 C.12 是Axb的解 D.12 是Axb的解 11.设 A 为 n 阶矩阵，秩(A)=n-1，12 是非齐次线性方程组Axb两个不同的解，则oAx的通解是 ().A.1k B.2k C.12)k D.12)k 12.设12、是非齐次线性方程组Axb的两个解，则以下结论正确的是 ().A.12 是Axb的解 B.12 是Axb的解 C.1k是Axb的解(1k)D.12 是oAx的解 13.设 3 元非齐次线性方程组Axb的两个解(1,0,2)T，(1,1,3)T，且系数矩阵 A 的秩 r(A)=2，则对于任意常数12,k k k，方程组的通解可表为 ().A.12(1,0,2)(1,1,3)TTkk B.(1,0,2)(1,1,3)TTk C.(1,0,2)(0,1,1)TTk D.(1,0,2)(2,1,5)TTk 14.设213142542141A，则 Ax=o 的基础解系含有解向量的个数为 ().A.1 B.2 C.3 D.0 15.已知122,311 是齐次线性方程组 Ax=o 的两个解，则矩阵 A可为 ().A.(5,3,1)B.53 1211 C.123217 D.121122531 16.若方程组12341234123422023132xxxxxxxxxxxx 有解，则=().A.1 B.-1 C.2 D.-2 二、填空题 1.设齐次线性方程组12122020 xxxkx有非零解，则常数 k=_ 2.已知方程组12311101230230 xxkx 只有零解，则常数 k的取值为 _ 3.已知齐次线性方程组1231231230230230 xxxxxaxxxx有非零解，则 a=_ 4.非齐次线性方程组1323122021xxkxxxx 有解的充分必要条件是 k=_ 5.设线性方程组124123412342332524432xxxxxxxxxxxt有解，则t =.6.已知某个 3 元非齐次线性方程组Axb的增广矩阵经初等行变换化为：1231(,)025200(1)1ba aaA，若该方程组无解，则a的取值为_ 7.n元齐次线性方程组oAx的系数矩阵 A 的秩r1 的整数).2.设方阵 A 满足 A2=A，且 A 与 B 相似，证明：B2=B.3.设 A 是可逆矩阵，A 与 B 相似，证明：其伴随矩阵 A*与 B*也相似.4.设 A，B 和 A+B 都是 n 阶正交矩阵，那么(A+B)-1=A-1+B-1.5.设1，2和都是 n 维实向量，k1，k2是任意实数.如果分别1，2与正交，证明必与1122kk正交.第六章 实二次型 一、单项选择题 1.二次型22121 236xxxx的矩阵是 ().A.1113 B.1234 C.1333 D.1513 2.二次型2212311 22(,)22f x xxxxxx的矩阵为 ().A.2111 B.2221 C.210110000 D.220210000 3.下列矩阵不是某二次型的矩阵是 ().A.2111 B.2231 C.000011012 D.000012022 4.二次型123412142334(,)2222f x x x xx xx xx xx x的秩为().A.1 B.2 C.3 D.4 5.设矩阵001010100A，则二次型 xTAx 的规范形为 ().A.222123zzz B.222123zzz C.222123zzz D.222123zzz 6.n 阶对称矩阵 A 为正定矩阵的充分必要条件是 ().A.0A B.存在 n 阶矩阵 P，使得TAP P C.负惯性指数为 0 D.各阶顺序主子式均为正数 7.设 A,B 为同阶方阵，12nxxx x，且TTx Axx Bx，当()时，A=B.A.r(A)=r(B)B.TAA C.TBB D.TAA且TBB 8.矩阵200030001A，则 A 合同于矩阵 ().A.200030001 B.200030001 C.100010001 D.200030001 9.下列矩阵中是正定矩阵的是 ().A.2334 B.3426 C.100023035 D.111120102 10.下列矩阵中是正定矩阵的是 ().A.2334 B.3426 C.100020005 D.100020000 11.设二次型222123123(,)(1)(1)(2)f x x xkxkxkx 为正定二次型，则 ().A.1k B.0k C.1k D.2k 12.A为 n 阶实对称矩阵且 A 正交，则一定有 ().A.A=E B.A 相似于 E C.2AE D.A 合同于 E 13.实二次型Tx Ax为正定二次型的充分必要条件是 ().A.A 的特征值均大于等于零 B.A 的特征值均大于零 C.A 的任意k阶子式均大于等于零 D.A 的任意k阶子式均大于零 14.二次型()Tfxx Ax的系数矩阵 A 是()时必是正定二次型.A.实对称且主对角线上元素为正 B.实对称且顺序主子式值都为正数 C.实对称且所有元素为正 D.实对称且行列式值为正数 15.n个变量的实二次型()Tfxx Ax为正定二次型的充分必要条件是 ().A.f的秩为 n B.f的正惯性指数等于f的秩 C.f的正惯性指数为 n D.f的负惯性指数为 n 16.设 A 与 B 均为 n 阶矩阵，则下列命题成立的是 ().A.A 与 B 等价，则 A 与 B 相似 B.A与 B 相似，则 A 与 B 等价 C.A与 B 等价，则 A 与 B 合同 D.A与 B 相似，则 A 与 B 合同 二、填空题 1.设二次型的矩阵为102021211A，则二次型123(,)f x x x .2.已知二次型222123121323()64448f xxxxx xx xx x，写出二次型f的矩阵A=.3.设二次型的矩阵为110121014A，则二次型 123(,)f x x x .4.设二次型221211 22(,)22f x xxxxx的秩为 .5.二次型2221231231 2(,)4f x xxxxxxx的秩为 ，正惯性指数为 ，负惯性指数为 ，符号差为 .6.对称矩阵12aa为正定矩阵的充分必要条件是 .7.设1012025aAa为正定矩阵，则 a 的最大取值范围是 .8.若实对称矩阵为301000aAaa正定矩阵，则 a 的取值应满足 .9.设二次型222212341234(,)f x xx xxxxx正定，则满足 .10.利用正交变换将二次型123(,)Tf xxx x Ax化为标准形是：2221235yyy，则矩阵 A 的特征值为 .11.实二次型的矩阵 A=212122212，则正惯性指数为 .12.设二次型2221231231 2(,)22f x xxxxxxx的正惯性指数为p，负惯性指数为 q，则符号差 p-q=.三、计算题 1.写出下列二次型所对应的矩阵：(1)22211 21 32233()26283f xxxxxxxx xx；(2)21 21 3234()2f xxxxxx xx.2.用配方法将下列二次型化为标准形.(1)2221231231 21 3(,)5424f x x xxxxxxxx；(2)123121 323(,)226f x x xx xx xx x；(3)2221231231 21 3(,)224f x x xxxxxxxx；(4)22212311 21 32233(,)4424f x x xxxxxxxx xx；(5)212311 21 323(,)224f x x xxxxxxx x；(6)123121 323(,)242f x x xx xx xx x.3.判断二次型2221231231 21 323(,)255448f x x xxxxxxxxx x是否为正定二次型.4.设2222123412341 21 323(,)222f x x x xxxxxxxxxx x，当2时，判断 f是否是正定二次型.5.求 a 的值，使下列二次型为正定二次型.(1)2221231 21 3235224xxxax xxxx x (2)2221231 21 3235422xxaxxxxxx x 6.设2221231231 223(,)2344f x x xxxxxxx x，用正交变换法化二次型为标准形，并写出所作的正交替