东北三省三校2017届高三第一次联合模拟考试数学(文)试题-Word版含答案.doc

东北三省三校2017届高三第一次联合模拟考试数学(文)试题-Word版含答案

哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学2017年高三第一次联合模拟考试文科数学试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.设复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3.设向量，，，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
4.双曲线的顶点到渐进线的距离等于虚轴长的，则此双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
5.一个四棱锥的底面为长方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
6.检测600个某产品的质量（单位：），得到的直方图中，前三组的长方形的高度成等差数列，后三组所对应的长方形的高度成公比为0.5的等比数列，已知检测的质量在之间的产品数为150，则质量在的长方形高度为（ ）

A． B． C． D．
7.已知数列是等差数列，满足，下列结论中错误的是（ ）
A． B．最小 C． D．
8.函数（，）在区间内是增函数，则（ ）
A． B．的周期为
C．的最大值为4 D．
9.如图是用二分法求方程近似解的算法的程序框图，则①②两处应依次填入（ ）

A．， B．，
C．， D．，
10.过抛物线（）的焦点作直线交抛物线于，，若，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
11.已知四面体中，和都是边长为6的正三角形，则当四面体的体积最大时，其外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
12.已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知实数，满足则的最大值为 ．
14.若则函数存在极值的概率为 ．
15.若，，且，且的最大值是 ．
16.各项均为正数的数列和满足：，，成等差数列，，，成等比数列，且，，则数列的通项公式为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知在中内角，，的对边分别为，，且．
（Ⅰ）求角的值；
（Ⅱ）若的外接圆半径为1，求面积的最大值．
18.某市拟招商引资兴建一化工园区，新闻媒体对此进行了问卷调查，在所有参与调查的市民中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如表所示：

支持
保留
不支持
30岁以下
900
120
280
30岁以上（含30岁）
300
260
140
（Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取部分市民做进一步调研（不同态度的群体中亦按年龄分层抽样），已知从“保留”态度的人中抽取了19人，则在“支持”态度的群体中，年龄在30岁以上的人有多少人被抽取；
（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人做进一步的调研，将此6人看作一个总体，在这6人中任意选取2人，求至少有1人在30岁以上的概率．
19.已知正三棱柱中，，点为的中点，点为上．

（Ⅰ）当时，求证：平面；
（Ⅱ）当时，求三棱锥的体积．
20.已知椭圆：的左、右顶点分别为，，其离心率，点为椭圆上的一个动点，面积的最大值为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）动直线过椭圆的左焦点，且与椭圆交于，两点，试问在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点坐标并求出定值；若不存在，请说明理由．
21.已知函数．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若存在，使得对任意的，不等式（其中是自然对数的底数）都成立，求实数的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线：，曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求的极坐标方程和的普通方程；
（Ⅱ）把绕坐标原点沿顺时针方向旋转得到直线，与交于，两点，求．
23.选修4-5：不等式选讲
已知，，函数的最小值为4．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最小值．

哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学2017年高三第一次联合模拟考试
文科数学试卷答案
一、选择题
1-5: 6-10: 11、12：
二、填空题
13.8 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（Ⅰ），∴，
由正弦定理得，
即，
结合余弦定理有，∴．
（Ⅱ），解得，
所以，（当且仅当时取等），
所以．
18.解：（Ⅰ）设在“支持”的群体中抽取个人，其中年龄在岁以下的人被抽取人．
由题意，得．则人．
所以在“支持”的群体中，年龄在岁以下的人有人被抽取．
（Ⅱ）设所选的人中，有人年龄在岁以下．则，∴．
即从岁以下抽取人，另一部分抽取人．分别记作．
则从中任取人的所有基本事件为
．共15个
其中至少有人在岁以上的基本事件有个．
分别是．
所以在这6人中任意选取人，至少有人在岁以上的概率为．
19.（Ⅰ）证明：为正三角形，点为的中点，
∴，∴面，从而．
连接，，，∴，，，，
则，∴，
又∴平面．
（Ⅱ），∴，∴，
由（Ⅰ）知面，所以为三棱锥的高，
所以．
20. 解：（Ⅰ）由题意，，且.
解得.
∴椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）假设存在定点，使得向量为定值.
①当直线的斜率不为时，椭圆左焦点，设直线的方程为.联立，消去，得．
设，则．
，

．
若为定值，则，即，此时．
②当直线的斜率为时，，亦符合题意；
∴存在点，使得向量为定值.
21. 解：（Ⅰ）．
令，．
①当时，，∴，函数在上单调递增；
②当时，，所以，函数在上单调递增；
③当时，
令，得，
；．
所以，在和上单调递增，在单调递减．
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在单调递减．
（注：如果在每种情况中已说明函数在哪个区间上的单调性，不写综上不扣分；如果每种情况只解出不等式，最后没写综上扣1分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，时，函数在区间上单调递增，所以当时，函数的最大值是，对任意的，
都存在，使得不等式成立，
即对任意的，都成立，
即对任意的，不等式都成立，
记，则．
，且．
①当时，，即时，单调递减.
∴，只需，解得，∴．
②当时，令得或，因为，所以.
（ⅰ）当时，，当时，；
当时，，∴，
解得 ，∴．
（ⅱ）当时，因为，所以，所以，所以，则
在上单调递增，得，即，∴.
综上，的取值范围是．
22. 解：（Ⅰ）直线： ，
曲线的普通方程为．
（Ⅱ）： ，即．
圆的圆心到直线的距离．
所以．
23．解：（Ⅰ）因为，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由柯西不等式得．
即，当且仅当，即时，等号成立．
所以，的最小值为．
另法：因为，所以，则

当时，取最小值，最小值为．