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一阶微分方程的初等解法

第二章　一阶微分方程的初等解法
教学目的：使学生会判断基本的一阶微分方程的类型；熟练掌握求解一阶微分方程的基本方法；会利用所学知识解决一些实际问题．
教学内容：
1、变量分离方程与变量变换
变量分离方程、可化为变量分离方程的类型、应用举例．
2、线性方程和常数变易法
线性方程、常数变易法、Bernoulli方程．
3、恰当方程和积分因子
恰当方程、积分因子法、分项组合法．
4、一阶隐式微分方程与参数表示
一阶隐式微分方程及参数解法．
教学重点：变量分离方程、线性微分方程与常数变易法、恰当微分方程与积分因子、一阶隐式微分方程及参数解法．
教学难点：变量变换，积分因子法，分项组合法，建立微分方程模型。
教学过程：
§2.1变量分离方程与变量变换
要求：熟练掌握变量分离方程的解法
本节重点：变量分离方程的解法；难点：变量变换.
2.1.1变量分离方程
，
或

分离变量即可求解．
例1 求解方程 . （解为）
例2 求解方程 ，. （解为）
例3（略）
例4 求解方程 .（解为）
2.1.2可化为变量分离方程的类型
令 ，可化为变量分离的方程

求解．
例5 求解方程 . （解为，即）
例6求解方程 ，.
（解为）.
（2）    可化为齐次方程

当 时，可化为齐次方程求解．
当 不全为零时，但，即，我们令　，可将方程化为变量分离方程

求解．
当不全为零时，但，即，令变换

其中，是待定常数（即两直线的交点），可将方程化为关于X与Y的齐次方程

求解，最后代回原变量即可得原方程的解.
例7 求解方程 （解为）.
2.1.3应用举例
例8 电容器的充电与放电（）.
例9 探照灯反射镜面的形状 （）
习题2.1
1.（1），（3），（5），（7），（9）；2. （1），（3），（5），（7）；3.（1）；4；6；9.

§2.2 线性微分方程与常数变易法
要求：熟练掌握一阶非齐次线性微分方程的解法
本节重点：一阶非齐次线性微分方程的解法（即常数变易法）
一阶线性微分方程
，
当的区间上可以写成
， （2.2.1）
其中在考虑的区间上是的连续函数.
若，（2.21）变为
， （2.2.2）
（2.2.2）称为一阶齐次线性微分方程
若，（2.21）称为一阶非齐次线性微分方程.
齐线性方程变量分离求解，得
． （2.2.3）
非齐线性方程用常数变易法求解．
为非齐线性方程通解公式。
常数变易法实际上是一种变量变换的方法，通过（2.2.4）可将方程（2.2.1）化为变量分离方程.
例1 求方程的通解.
（解为）
例2 求方程的通解.
（解为）
形如
， （2.2.7）
的方程，称为伯努利（Bernoulli）方程. 这里是的连续函数，是常数.
利用变量变换可将伯努利（Bernoulli）方程化为线性微分方程.
例3 求方程的通解.
（解为，或 及）
习题2.2
1.（1），（3），（5），（7），（9），（11），（13），（15）；2. 3. 5.（1），（3）； 7. （1），（3）.

§2.3 恰当微分方程与积分因子
要求：熟练掌握恰当微分方程的解法，积分因子的求法.
本节重点：恰当微分方程的解法，积分因子的求法. 难点：积分因子的求法.
2.3.1 恰当微分方程（全微分方程）
如果微分方程（2.3.1）的左端恰是某一函数的全微分，即
， （2.3.2）
则称（2.3.1）为恰当微分方程（或全微分方程）.
容易验证，（2.3.1）的通解是 ， （2.3.3）
其中是任意常数..
问题：
（1） 如何判断（2.3.1）是恰当微分方程？
（2） 如果（2.3.1）是恰当微分方程，如何求得函数？
（3）如果（2.3.1）是恰当微分方程，函数应有什么性质？
恰当微分方程的充要条件是
（2.3.5）
恰当微分方程（2.3.2）的通解是
=， （2.3.9）
例1 求方程的通解.
（解为）
采用“分项组合”的办法，先把那些本身已构成全微分的项分出，再把剩下的项凑成全微分. 这要求熟记一些简单二元函数的全微分。
例2 求解微分方程
（解为）
2.3.2 积分因子法．
给出微分方程
(2.3.17)
如果它不是恰当微分方程，如果能找到一个函数，使得

是一个恰当微分方程，即存在函数，使
（2.3.18）
则称函数 是方程 (2.3.17) 的一个积分因子．
这时是（2.3.18）的通解，因而也是（2.3.18）的通解.
同一方程可以有不同的积分因子
一个方程如果存在积分因子，那么积分因子不只是一个．方程解的形式也不一定相同.
函数为（2.3.17）的积分因子的充要条件是
， （2.3.19）
如果方程满足条件

它仅是 x 的函数，那么易求其积分因子为 ．
同样，方程满足条件

它仅是的函数，那么易求其积分因子为
例3 试用积分因子法解线性微分方程.
（解为）
作业：习题2.2
1.（1），（3），2.（1），（3），（5），（7），（9），（11）； 3. 4．5. 7. ８.
§2.4 一阶隐方程与参数表示
要求熟练掌握一阶隐分方程的解法.
本节重点：一阶隐方程的解法克莱罗方程的求法. 难点：一阶隐方程的求法.
　　求解隐式方程
                                                 （2.4.1）
的问题分两种情况考虑：
    1． 假如能从(2.4.1)中把解出，就得到一个或几个显式方程

如果能用初等积分法求出这些显式方程的解，那么就得到方程(2.4.1)的解.
    例1 求解方程

（解为 及 ）
2．如果在(2.4.1)中不能解出时则可用下面介绍的“参数法”求解，本节主要介绍其中两类可积类型，
类型 Ⅰ            
  类型 Ⅱ             
2.4.1 可以解出（或）的方程
考虑类型Ⅰ中的方程
                                                （2.4.2）
注意：当从方程(2.4.4)中解出时，只 要将其代入(2.4.3)的第三式，就得到(2.4.2)的通解了，而不要再将 p 认为，再积分来求 y ．
同理，可以考虑类型Ⅰ的方程
                                                 (2.4.5)
例2 求解方程

（解为及）
例3 求解方程
                                               (2.4.9)
这里，假定是二次可微函数.
（解为和）
方程(2.4.9)称为克莱洛 (Clairaut)方程.由(2.4.11)式可知，它的通解恰好是在方程(2.4.9)中用C取代 而成.
2.4.2 不显含（或）的方程
类型Ⅱ的特点是，方程中不含y 或x
考虑类型Ⅰ中的方程
                                             （2.4.13）

得到方程(2.4.13)的参数形式通解

同理，可以讨论类型Ⅱ的方程
                                                       (2.4.17)

(2.4.17)的参数形式通解为

例4 求解方程 .
（解为 ）
作业：P58, 1,2,3,4,5,6