一阶微分方程的初等解法.doc

一阶微分方程的初等解法第二章一阶微分方程的初等解法教学目的：使学生会判断基本的一阶微分方程的类型；熟练掌握求解一阶微分方程的基本方法；会利用所学知识解决一些实际问题教学内容：1、变量分离方程与变量变换变量分离方程、可化为变量分离方程的类型、应用举例2、线性方程和常数变易法线性方程、常数变易法、Bernoulli方程3、恰当方程和积分因子恰当方程、积分因子法、分项组合法4、一阶隐式微分方程与参数表示一阶隐式微分方程及参数解法教学重点：变量分离方程、线性微分方程与常数变易法、恰当微分方程与积分因子、一阶隐式微分方程及参数解法教学难点：变量变换，积分因子法，分项组合法，建立微分方程模型。教学过程： 2.1变量分离方程与变量变换要求：熟练掌握变量分离方程的解法本节重点：变量分离方程的解法；难点：变量变换.2.1.1变量分离方程，或 分离变量即可求解例1 求解方程 . （解为）例2 求解方程 ，. （解为）例3（略）例4 求解方程 .（解为）2.1.2可化为变量分离方程的类型令 ，可化为变量分离的方程 求解例5 求解方程 . （解为，即）例6求解方程 ，. （解为）.（2） 可化为齐次方程当 时，可化为齐次方程求解 当 不全为零时，但，即，我们令，可将方程化为变量分离方程求解当不全为零时，但，即，令变换 其中，是待定常数（即两直线的交点），可将方程化为关于X与Y的齐次方程 求解，最后代回原变量即可得原方程的解.例7 求解方程 （解为）.2.1.3应用举例例8 电容器的充电与放电（）.例9 探照灯反射镜面的形状 （）习题2.11.（1），（3），（5），（7），（9）；2. （1），（3），（5），（7）；3.（1）；4；6；9.2.2 线性微分方程与常数变易法要求：熟练掌握一阶非齐次线性微分方程的解法本节重点：一阶非齐次线性微分方程的解法（即常数变易法）一阶线性微分方程，当的区间上可以写成， （2.2.1）其中在考虑的区间上是的连续函数. 若，（2.21）变为， （2.2.2）（2.2.2）称为一阶齐次线性微分方程若，（2.21）称为一阶非齐次线性微分方程.齐线性方程变量分离求解，得 （2.2.3）非齐线性方程用常数变易法求解为非齐线性方程通解公式。常数变易法实际上是一种变量变换的方法，通过（2.2.4）可将方程（2.2.1）化为变量分离方程.例1 求方程的通解. （解为）例2 求方程的通解.（解为）形如， （2.2.7）的方程，称为伯努利（Bernoulli）方程. 这里是的连续函数，是常数.利用变量变换可将伯努利（Bernoulli）方程化为线性微分方程.例3 求方程的通解.（解为，或 及）习题2.21.（1），（3），（5），（7），（9），（11），（13），（15）；2. 3. 5.（1），（3）； 7. （1），（3）.2.3 恰当微分方程与积分因子要求：熟练掌握恰当微分方程的解法，积分因子的求法.本节重点：恰当微分方程的解法，积分因子的求法. 难点：积分因子的求法.2.3.1 恰当微分方程（全微分方程）如果微分方程（2.3.1）的左端恰是某一函数的全微分，即， （2.3.2）则称（2.3.1）为恰当微分方程（或全微分方程）.容易验证，（2.3.1）的通解是 ， （2.3.3）其中是任意常数.问题：（1） 如何判断（2.3.1）是恰当微分方程？（2） 如果（2.3.1）是恰当微分方程，如何求得函数？（3）如果（2.3.1）是恰当微分方程，函数应有什么性质？恰当微分方程的充要条件是 （2.3.5）恰当微分方程（2.3.2）的通解是=， （2.3.9）例1 求方程的通解.（解为）采用“分项组合”的办法，先把那些本身已构成全微分的项分出，再把剩下的项凑成全微分. 这要求熟记一些简单二元函数的全微分。例2 求解微分方程 （解为）2.3.2 积分因子法给出微分方程 (2.3.17)如果它不是恰当微分方程，如果能找到一个函数，使得是一个恰当微分方程，即存在函数，使 （2.3.18）则称函数 是方程 (2.3.17) 的一个积分因子这时是（2.3.18）的通解，因而也是（2.3.18）的通解.同一方程可以有不同的积分因子一个方程如果存在积分因子，那么积分因子不只是一个方程解的形式也不一定相同.函数为（2.3.17）的积分因子的充要条件是， （2.3.19）如果方程满足条件它仅是 x 的函数，那么易求其积分因子为 同样，方程满足条件 它仅是的函数，那么易求其积分因子为 例3 试用积分因子法解线性微分方程.（解为）作业：习题2.21.（1），（3），2.（1），（3），（5），（7），（9），（11）； 3. 45. 7. .2.4 一阶隐方程与参数表示要求：熟练掌握一阶隐分方程的解法.本节重点：一阶隐方程的解法克莱罗方程的求法. 难点：一阶隐方程的求法.求解隐式方程（2.4.1）的问题分两种情况考虑：1 假如能从(2.4.1)中把解出，就得到一个或几个显式方程如果能用初等积分法求出这些显式方程的解，那么就得到方程(2.4.1)的解. 例1 求解方程（解为 及 ）2如果在(2.4.1)中不能解出时，则可用下面介绍的“参数法”求解，本节主要介绍其中两类可积类型， 类型 类型 2.4.1 可以解出（或）的方程考虑类型中的方程（2.4.2）注意：当从方程(2.4.4)中解出时，只 要将其代入(2.4.3)的第三式，就得到(2.4.2)的通解了，而不要再将 p 认为，再积分来求 y 同理，可以考虑类型的方程(2.4.5)例2 求解方程（解为及）例3 求解方程(2.4.9)这里，假定是二次可微函数.（解为和）方程(2.4.9)称为克莱洛 (Clairaut)方程.由(2.4.11)式可知，它的通解恰好是在方程(2.4.9)中用C取代 而成.2.4.2 不显含（或）的方程类型的特点是，方程中不含y 或x考虑类型中的方程 （2.4.13）得到方程(2.4.13)的参数形式通解同理，可以讨论类型的方程(2.4.17)(2.4.17)的参数形式通解为例4 求解方程 .（解为）作业：P58, 1,2,3,4,5,6