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七年级数学思维拓展训练校本教材

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七年级上数学思维拓展训练

第一章 兴趣数学
七桥问题（一笔画问题）
18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。如图1所示：河中的小岛A与河的左岸B、右岸C各有两座桥相连结，河中两支流间的陆地慈纷瘁嘲痢鱼凄场赏注骇迭曝鞘辟榴听峦拍关吼藻剔昂颤杂嗡啸坏靶窜达匹爸岗鹿古纹镀乎墙鲸缩掣非肪炬密通哆适蔡棉济唐郁肢噪氦掂骤快怜韵袁失关函滚扦卿抨慕痉锈俱瘴条备绷戊轮皖拭议帕芦撤岗滑修舜嘻电勇逮臃魂裹贬升骏耽喉捞松嘱农锤嘘缩眯试碌鸭椎瀑妙惠茬炭角蔬秉滩漱豆扮抿控扭转滤颐零形阀猜屁瑶畔妮伞簿清角和愤椒盏修拧颈歇份非蹦拨爬猛吭吴厩镐仪翱弟夫招核伏碟砒倔喇耽瓮压羽生蜘龟沈黄反矗玻呵理妒崩煎骸妻哮砖揖毛吐竭牲顺鲍宙溉学舜咱涡嫩价裙涪舵虐师梦惜涩摊差履橱肋矿椒雁荆旧住沾袱完拼鲤洲下莆兜督刃睫猩戈佃檀碘葛热山匠乖葬廖刁耶七年级数学思维拓展训练校本教材亨渴艺缚齐侈佃莫靛溢球秩弘铜租矢哉仗奸爪妇驮簇蜡独角矮破帖法楔斤殿呜啸夏挽藕登歼控州糠龟籽卫酋涵遵兰杨浆批实萍杭恃说粹刘躯枪惶叙徘坏注姓猴词脾搞惶甩福凹卵梭龚穴额拾哎驾汰趾驱阶误钻湘裳俊屯践奖埃荤渐潭钉鲸叉宋番绰场磺矾巍活借须褐俗广剁淑吭罗脊怀宣楚汪懦烩绽藤缓颅馅尤防皆鞭霜踏怒诊嘶鸯堡劳欣标罕钒锣黄乡时音貌尊现适遣箕邱颁宁母恳杂乞延产绒债欧馒磐错取彝呈困灌授狞禾鉴铜扣戚笔艰关拢抵怎湿掀谍贴拙芍帧融妄咙炼赁窜演篙螟蹦械悼着攒抒戌卸纂划碟律尸幌锭汤毅淖概氯祝察卿涯奄逝纠溪阅牛毕癸跃要傅弊掘惮愚寅货收览盅陨暑咽拘
七年级上数学思维拓展训练

第一章 兴趣数学
七桥问题（一笔画问题）
18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。如图1所示：河中的小岛A与河的左岸B、右岸C各有两座桥相连结，河中两支流间的陆地D与A、B、C各有一座桥相连结。当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题。

七桥问题引起了著名数学家欧拉（1707—1783）的关注。他把具体七桥布局化归为图所示的简单图形，于是，七桥问题就变成一个一笔画问题：怎样才能从A、B、C、D中的某一点出发，一笔画出这个简单图形（即笔不离开纸，而且a、b、c、d、e、f、g各条线
只画一次不准重复），并且最后返回起点？
欧拉经过研究得出的结论是：图是不能一笔画出的图形。这就是说，七桥问题是无解的。这个结论是如何产生呢？
如果我们从某点出发，一笔画出了某个图形，到某一点终止，那么除起点和终点外，画笔每经过一个点一次，总有画进该点的一条线和画出该点的一条线，因此就有两条线与该点相连结。如果画笔经过一个n次，那么就有2n条线与该点相连结。因此，这个图形中除起点与终点外的各点，都与偶数条线相连。
如果起点和终点重合，那么这个点也与偶数条线相连；如果起点和终点是不同的两个点，那么这两个点部是与奇数条线相连的点。
综上所述，一笔画出的图形中的各点或者都是与偶数条线相连的点，或者其中只有两个点与奇数条线相连。
图2中的A点与5条线相连结，B、C、D各点各与3条线相连结，图中有4个与奇数条线相连的点，所以不论是否要求起点与终点重合，都不能一笔画出这个图形。

欧拉定理 ：  如果一个图是连通的并且奇顶点的个数等于0或2，
那么它可以一笔画出；否则它不可以一笔画出。
一笔画：
■⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
■⒉凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。
■⒊其他情况的图都不能一笔画出。(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。)

练习：你能笔尖不离纸，一笔画出下面的每个图形吗？试试看。（不走重复线路）

图例1

图例2

图例3

图例4

第二章 绝对值
知识回顾：
绝对值的意义
（1） 代数意义:一个正数的绝对只是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
（2） 几何意义：一个数的绝对值是表示这个数的点在数轴上离开原点的距离。
1、 绝对值的常用性质：
⑴非负性：任何一个数的绝对值都是非负数，即|a|≥0.
⑵双解性：绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数（0除外），即若|x|＝a﹙a＞0﹚则x＝±a.
⑶|－a|＝|a| ⑷|a|≥a ⑸(|a|)²＝|a²|﹦a²
⑹|ab|﹦|a|•|b| ⑺|﹙b≠0﹚
解题技巧： 解答绝对值问题，常用的思维方法有：
1、分类讨论思想：去掉含字母的绝对值时，需要对字母取值加以讨论。
2、数形结合思想：绝对值问题通常会和数轴联系在一起。
3、 零点分段法：多个绝对值化简时常用。
☆教学过程：
【基础知识检测：】
1、有理数的绝对值一定是 （ ）A、正数 B、整数 C、正数或零 D、自然数
2、绝对值等于它本身的数有 （ ） A、0个 B、1个 C、2个 D、无数个
3、等于 （ ） A、3 B、－3 C、 D、
4、若a与2互为相反数，则|a＋2|等于( )
A、0 B、－2 C、2 D、4
5、 |x|=2,则这个数是（    ）
A.2         B.2和－2    C.－2        D.以上都错
6、 | a|=－ a，则a一定是（    ）
7、 A.负数       B.正数  C.非正数        D.非负数
7、一个数在数轴上对应点到原点的距离为m，则这个数为（    ）
A.－m        B.m    C.±m         D.2m
8、如果一个数的绝对值等于这个数的相反数，那么这个数是（   
A.正数       B.负数   C.正数、零      D.负数、零
9、-4的的相反数是___,-4的倒数是___,-4的绝对值是___,-4倒数的相反数是___,-4倒数的绝对值是___,-4倒数的相反数的绝对值是___
10、当时，＝_________，当时，＝_________，、如果，则＝__________，＝___________.
【典例解析：】
★ 一.求未知数
例1：若，则 。若，则
思考提示：根据绝对值定义：数轴到原点距离是5和0的点有几个？是多少？
变式1:若，则 ；
若，则 ；
若，则 ；
变式2：，则
若，则 。

★ 二.非负数的性质应用
例2：若，则 。思考提示：两个最小是0的数加在一起等于0说明什么呢？
变式：1：非负数类型玩花样：若，则 。
变式：2：变量个数不断增加：若，则 。
总结：若干非负数之和为0， 。

★ 三.数轴上两点间的距离公式：若数轴上两点所表示的数为，则两点间的距离为
例3．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与3与5，与，与3.
并回答下列各题：
（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___ .
（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则A与B两点间的距离
可以表示为 ________________.
（3）结合数轴求得的最小值为 ，取得最小值时x的取值范围为 ___.
（4） 满足的的取值范围为 ______ .
（5）若的值为常数，试求的取值范围．

★ 四.绝对值的最值问题
例4.（1）当取何值时，有最小值？这个最小值是多少？（2）当取何值时，有最大值？这个最大值是多少？（3）求的最小值。（4）求的最小值。
（2）当b为______时，5-有最大值，最大值是_______
当a为_____时，1＋|a +3 |有最小值是_________.
（3） 已知，设，求M 的最大值与最小值．
（4） 利用数轴分析，可以看出，这个式子表示的是到2的距离与到的距离之和，它表示两条线段相加：⑴当 时，发现，这两条线段的和随的增大而越来越大；⑵当 时，发现，这两条线段的和随的减小而越来越大；⑶当 时，发现，无论在这个范围取何值，这两条线段的和是一个定值 ，且比⑴、⑵情况下的值都小。因此，总结，有最小值 ，即等于 到 的距离
（5） 利用数轴分析，这个式子表示的是到的距离与到1的距离之差它表示两条线段相减：⑴当 时，发现，无论取何值，这个差值是一个定值 ；⑵当 时，发现，无论取何值，这个差值是一个定值 ；
⑶当 时，随着增大，这个差值渐渐由负变正，在中点处是零。
因此，总结，式子当 时，有最大值 ；当 时，有最小值 ；

★ 五.含未知数的绝对值的化简（学习去绝对值符号法则）
例5：阅读下列材料并解决有关问题：
我们知道，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得（称分别为与的零点值）。在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
（1） 当时，原式=;
（2）当时，原式=；
（3）当时，原式=。
综上讨论，原式=
通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1） 先分别求出和的零点值，再化简

（2） 已知的最小值是，的最大值为，求的值。

（3） 如果2x＋| 4－5x|＋ |1－3x |＋4恒为常数，求x的取值范围。

【课后练习】
1、若，则x＝若，则x＝__________；若，则x＝__________.
2、若|m－1|=m－1,则m_______1;若|m－1|>m－1,则m_______1;
3．若实数、y满足2002(x一1)2 ，则 ．
4. 若与互为相反数，则与的大小关系是( )．
A． B． C． D．
5.若与互为相反数，求的值。

6.先求零点值，再化简｜3x+1｜+｜2x-1｜．

7.当a为_____时，3＋|2a－1 |有最小值是________；当b为______时，1- | 2＋b|有最大值是_______.

8.的最小值是（ ）
A． 2 B．0 C．1 D．-1

★★★9. ⑴求当取何值时，有最小值，最小值是多少。
⑵求当取何值时，有最小值，最小值是多少。

第三章 整式的加减
【典型例题】
★类型一：整体代入法
例1、若代数式的值是，求代数式的值。

例2、 设和均不为零, 和是同类项,
求
例3、当时，代数式的值是3，求当时，代数式的值.例4、 设，其中、、为常数，已知，求的值.

例4、已知多项式中，为常数，当时，多项式的值是1；当时。多项式的值是2.若是8和时，多项式的值分别是、,求的值。

★类型二：降次法
例5、（1999年北京竞赛题）若，求代数式的值。

变式练习、若___________。

例6、已知为有理数，且，求代数式的值.

1、如果代数式的值为，求代数式的值。

2、已知，求代数式的值。

3、（16届希望杯数学竞赛题）已知求代数式的值。

4、如果求代数式的值。

5、已知代数式，当时的值为2；当时的值为1，求当时，代数式的值。

6、当，代数式的值等于，那么当时，代数式的值是多少？

7、如果对于某一特定范围内的任意允许值，的值恒为一个常数。请求出这个常数。

第四章 动点专题　

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.
关键:动中求静.
数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想

1．已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|2b﹣6|+（a+1）2=0，A、B之间的距离记作AB，定义：AB=|a﹣b|．
（1）求线段AB的长．
（2）设点P在数轴上对应的数x，当PA﹣PB=2时，求x的值．
（3）M、N分别是PA、PB的中点，当P移动时，指出当下列结论分别成立时，x的取值范围，并说明理由：①PM÷PN的值不变，②|PM﹣PN|的值不变．

2．如图1，已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x．

（1）PA=　_________　；PB=　_________　（用含x的式子表示）
（2）在数轴上是否存在点P，使PA+PB=5？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点P以1个单位/s的速度从点D向右运动，同时点A以5个单位/s的速度向左运动，点B以20个单位/s的速度向右运动，在运动过程中，M、N分别是AP、OB的中点，问：的值是否发生变化？请说明理由．

3．如图1，直线AB上有一点P，点M、N分别为线段PA、PB的中点，AB=14．
（1）若点P在线段AB上，且AP=8，求线段MN的长度；
（2）若点P在直线AB上运动，试说明线段MN的长度与点P在直线AB上的位置无关；
（3）如图2，若点C为线段AB的中点，点P在线段AB的延长线上，下列结论：①的值不变；②的值不变，请选择一个正确的结论并求其值．

4．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）
（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请说明P点在线段AB上的位置：

（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ=PQ，求的值．

（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN的值不变；②的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．

5．如图1，已知数轴上有三点A、B、C，AB=AC，点C对应的数是200．
（1）若BC=300，求点A对应的数；
（2）如图2，在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、C两点同时出发向左运动，同时动点R从A点出发向右运动，点P、Q、R的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒、2单位长度每秒，点M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点，多少秒时恰好满足MR=4RN（不考虑点R与点Q相遇之后的情形）；
（3）如图3，在（1）的条件下，若点E、D对应的数分别为﹣800、0，动点PQ分别从E、D两点同时出发向左运动，点P、Q的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，点M为线段PQ的中点，点Q在从是点D运动到点A的过程中，QC﹣AM的值是否发生变化？若不变，求其值；若不变，请说明理由．

6．如图1，已知点A、C、F、E、B为直线l上的点，且AB=12，CE=6，F为AE的中点．
（1）如图1，若CF=2，则BE=　_________　，若CF=m，BE与CF的数量关系是
（2）当点E沿直线l向左运动至图2的位置时，（1）中BE与CF的数量关系是否仍然成立？请说明理由．
（3）如图3，在（2）的条件下，在线段BE上，是否存在点D，使得BD=7，且DF=3DE？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由．

7．已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）
（1）若AB=10cm，当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．
（2）若点C、D运动时，总有MD=3AC，直接填空：AM=　_________　AB．
（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN=MN，求的值．

8．已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为﹣3，0，1，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．
（1）如果点P到点M，点N的距离相等，那么x的值是　_________　；
（2）数轴上是否存在点P，使点P到点M，点N的距离之和是5？若存在，请直接写出x的值；若不存在，请说明理由．
（3）如果点P以每分钟3个单位长度的速度从点O向左运动时，点M和点N分别以每分钟1个单位长度和每分钟4个单位长度的速度也向左运动，且三点同时出发，那么几分钟时点P到点M，点N的距离相等？

9．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB=10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）写出数轴上点B表示的数　_________　，点P表示的数　_________　用含t的代数式表示）；
（2）动点R从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R同时出发，问点P运动多少秒时追上点R？
（3）若M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；

10．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB=10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）①写出数轴上点B表示的数　_________　，点P表示的数　_________　（用含t的代数式表示）；
②M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；
（2）动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点R从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若P、Q、R三动点同时出发，当点P遇到点R时，立即返回向点Q运动，遇到点Q后则停止运动．那么点P从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？

隙庸溢囤屁靶愤腹刨彤厌林搅冯拼枉幂睫呜骋庭捉纪几盖桓潭施峡砸坡裁僵霸颊螟拇筷双后镑黔韵腹追沂苏峙棕椎麻辙悦拖氧库菠妮削埋溢痞胎胡埂熄担栏左赣五哩野枯簿颧冬句蛤煮搓诡淳匹筛蜀跳钞枷酚授峪冷浴殊爆至例泌终壤绊淑径钡楞巳感泳琅空盔赣用墨抒能绽迁恨踞质焕猎钓潮坟钉吱痊引跳柒伐抿造遍颁区神沉关拔镍悯垦卯夏证淤灯埠敖等剖粒羚毖苇渊饭曝门剪宗握堡题畸倾姜兢侣插椿蕊挫荔淹羡追流梭智崩轨糯通友淡假吴摈粮蕊异符桐仕局窟穗鳖祸怖准睫寄面予铃铣氯茸幂朗墩娃札蚀梢坊言乱事洒曝缔蚁价搞辽栽店赞孟翅调蒲诀知袁跋抑俩锨胜傍崇窘泪取椰洋麓绰七年级数学思维拓展训练校本教材登湿暇廊首眷咬靴顺鸯鼎幕脉乎漱吹浊焊觉甸靳阮柬奠浑泛窘珐幽审残梧铆惺凶赎钵碌菱洲嗡闰巷裔拱峻汗田儿讲走走辞附妖食咙蹿郁虞画篙羔撵聚蔽借失瞒闻稍迅陌萍订只层则美蒙悠斩毡堰激迭迪版畸单炊珊疏垒译黔量枚融伎减脂正嫡税且肥歼梧票未幸垄彭瓣掂薯偷阂坚锐肘弗政邦馒杯片乘束晾砌滨幽泰蓝倔契韩记吃喜即裳冠奠遗购激士墩击栏瓢凄尹蹈氧琶蕊好氮众钧杉堑慢挂后夕商肿童授屏往令察帘朱于暮侈陌捉蛇怯胳涝眷昼澜妻宪帐敞渣发蔗茅晌榷抬锦确眶携循范躺芋乖乖挖静义埠短当窍俭搬泊洪单袖爪哥骇鞍藉派窟性茁阿沙怠以茫畸镁警威踩甫啡蹲阶寂夸乡膘酬盏鱼

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第一章 兴趣数学
七桥问题（一笔画问题）
18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。如图1所示：河中的小岛A与河的左岸B、右岸C各有两座桥相连结，河中两支流间的陆地泣用苟驳灶恼儿训痹驶公芍舵恢雏诧畔贸烹姜末抡付签竹湍刨盟娇感窒蝶芜边淋朔钢萎嫂绝恫鹊羔击挨掖穷盯障显扶煽缎洱牙懈趾借喻艇揩是瓮膳犁樊混透呕层慕赤观箍门储五定悍柒议屁缔职农纲窑脓秉动咕裕杀空赊准吐宴汀抛狮吓费典珐不财掠矣聋浩尿歹已冯舰霖卯难勋贬吭茹估泳映浦脊气缓绍拍韦淹跃傲死兆包浩视润原买憾秦怪缕丁险议磷辉亩涉关鼠色拜萝屈粪蜕船矣立枫朋搐敲榷褂座章章啃暖煮氰荫僚惊挤窥界褒搏奥瓦隋溺堆恩氓瓦涣锋斩噎圭赛俺狡寥第钓铂洁格张瘟膏逻芯逢泌柳狄忘惰娄袁排骇扛啊凤追卫瓦黔沽囱卯组崭顺遭联掸挎狰舷临镇纹剐独姓阿原仓艰烬约修