七年级数学下册-培优新帮手-专题06-有理数的计算试题-(新版)新人教版.doc

七年级数学下册-培优新帮手-专题06-有理数的计算试题-(新版)新人教版

专题06 有理数的计算
阅读与思考
在小学我们已经学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数”，所以有理数的计算很多是字母运算，也就是通常说的符号演算．
　　数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速度．有理数的计算常用的技巧与方法有：
1．利用运算律．
2．以符代数．
3．裂项相消．
4．分解相约．
5．巧用公式等．

例题与求解
【例1】 已知m，n互为相反数，a，b互为负倒数，x的绝对值等于3，则的值等于______________．
（湖北省黄冈市竞赛试题）
解题思路：利用互为相反数、互为倒数的两个有理数的特征计算．

【例2】 已知整数满足，且，那么等于（ ）
A． 0 B． 10 C．2 D．12
（江苏省竞赛试题）
解题思路：解题的关键是把25表示成4个不同的整数的积的形式．

【例3】 计算：
（1）
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
（2）；
（江苏省泰州市奥校竞赛试题）
（3）．
（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：对于（1），若先计算每个分母值，则掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形入手；对于（2），由于相邻的后一项与前一项的比都是7，考虑用字母表示和式；（3）中裂项相消，简化计算．

【例4】 都是正整数，并且，
．

(1)证明：，；
(2)若，求和的值．
（“华罗庚金杯”少年邀请赛试题）
解题思路：（1）对题中已知式子进行变形．（2）把（1）中证明得到的式子代入，再具体分析求解．

【例5】 在数学活动中，小明为了求的值（结果用表示），设计了如图①，所示的几何图形．

（1）请你用这个几何图形求的值．
（2）请你用图②，在设计一个能求的值的几何图形．
（辽宁省大连市中考试题）

解题思路：求原式的值有不同的解题方法，二剖分图形面积是构造图形的关键．

【例6】 记，令称为这列数的“理想数”，已知的“理想数”为2004．求的“理想数”．
（安徽省中考试题）
解题思路：根据题意可以理解为为各项和，为各项和的和乘以．

能力训练
A级
1．若互为相反数，互为倒数．，的值为_．
（湖北省武汉市调考试题）
2．若，则=___________．
（“希望杯”邀请赛试题）
3．计算：（1）＝________________；
（2）＝__________________．

4．将1997减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，，依次类推，直至最后减去余下的，最后的答案是_______________．
（“祖冲之杯”邀请赛试题）

5．右图是一个由六个正方体组合而成的几何体，每个小正方体的六个面上都分别写着－1，2，3，－4，5，6六个数字，那么图中所有看不见的面上的数字和是___________．
（湖北省仙桃市中考试题）

6．如果有理数满足关系式，那么代数式的值（ ）
A． 必为正数 B．必为负数 C．可正可负 D．可能为0
（江苏省竞赛试题）
7．已知有理数两两不相等，则，，中负数的个数是（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D．0个或2个
（重庆市竞赛试题）
8．若与互为相反数，则＝（ ）
A． 0 B． 1 C． －1 D．1997
（重庆市竞赛试题）
9．如果，，则的值是（ ）
A．2 B． 1 C． 0 D．-1
（“希望杯”邀请赛试题）
10．若是互为不相等的整数，且，则等于（ ）
A．0 B． 4 C． 8 D．无法确定
11． 把，3.7，，2.9，4.6分别填在图中五个Ο内，再在每个□中填上和它相连的三个Ο中的数的平均数，再把三个□中的平均数填在△中．找出一种填法，使△中的数尽可能小，并求这个数．
（“华罗庚金杯”少年邀请赛试题）

12．已知都不等于零，且的最大值为，最小值为，求的值．

B级
1．计算：＝________________．
（“五羊杯”竞赛试题）
2．计算：＝________________．
（“希望杯”邀请赛试题）

3．计算：＝________．

4．据美国詹姆斯·马丁的测算，在近十年，人类的知识总量已达到每三年翻一翻，到2020年甚至要达每73翻番空前速度，因此，基础教育任务已不是“教会一切人一切知识，而是让一切人学会学习”．
已知2000年底，人类知识总量，假入从2000年底2009年底每3年翻一翻；从2009年底到2019年底每1年翻一番；2020年是每73天翻一翻．
（1）2009年底人类知识总量是：__________________；
（2）2019年底人类知识总量是：__________________；
（3）2020年按365天计算，2020年底类知识总量会是_______．
（北京市顺义区中考试题）

5．你能比较和的大小吗？
为了解决这个问题，我们首先写出它的一般形式，即比较与的大小（n是自然数），然后我们从分析n=1，n=2，n=3…中发现规律，经归纳、猜想得出结论
（1）通过计算，比较下列各组中两数的大小：（在横线上填写“＞”“=”“＜”）
①，②；③；④；⑤
（2）从第（1）题的结果中，经过归纳，可以猜想出与的大小关系是_____________________________________________________________________________；
（3）根据以上归纳．猜想得到的一般结论，试比较下列两数的大小_____：．
（福建省龙岩市中考试题）

6．有2009个数排成一列，其中任意相邻的三个数中，中间的数总等于前后两数的和．若第一个数是1，第二个数是－1，则这个2009个数的和是（ ）
A． －2 B．－1 C．0 D．2
（全国初中数学竞赛海南省试题）

7．如果，那么的值为（ ）
A． －1 B．1 C． D．不确定
（河北省竞赛试题）

8．三进位制数201可用十进制数表示为；二进制数1011可用十进制法表示为．前者按3的幂降幂排列，后者按2的幂降幂排列，现有三进位制数，二进位制数，则与的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．不能确定
（重庆市竞赛试题）

9．如果有理数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
（“希望杯”邀请赛试题）

10．有1998个互不相等的有理数，每1997个的和都是分母为3998的既约真分数，则这个1998个有理数的和为（ ）
A． B． C． D．

（《学习报》公开赛试题）
11．观测下列各式：，
，

．．．
回答下面的问题：
（1）猜想＝______________．（直接写出你的结果）
（2）利用你得到的（1）中的结论，计算的值．
（3）计算①的值；
②的值．

专题 06 有理数的计算
例1 28或-26

例2 D 提示 ：abcd=5×1×（-1）×（-5），a=-5，b=1，c=-1，d=-5.

例3 （1） 提示：==.
（2） 提示：设s=，则7s=
（3）原式=+
=1+1-=2-=

例4 （1）A=
==
同理B=
由A-B=-==得
∴m13-，又∵m，n均为正整数，∴13+n为13×13的因数，∴13+n=
∴n156，m=12.

例5 （1）原式=1-，（2）

例6 由题意知 ，即.又
∴=2004×500.
故8，，，…，的“理想数“为””==2008.
A级
1.2 提示：原式==1+1=2.
2.2 提示：M-1+，解得 M=2.
3.（1）；（2）-8
4. 1 提示：设a=1997，由题意原式==
5.-13 6.B 7.B 提示：不妨设x>y>z.
8.B 9.D 10.A
11.

提示：设○内从右到左填的数分别为，，，则△内填的数为.
要使△中填的数尽可能小，则，， 分别为2，9，3，7，而剩下的两个为，.
12.1998 提示 ：时，m=4；时，n-4.
B级
1.612.5 提示：倒叙相加.
2.6 提示：
3. 4.（1） （2） （3）
5.（1）略 （2）当n<3时，；当n≥3时， （3）>
001-0007

6. A 提示：先写出前面一些数：1，－1，－2，－1，1，2，1，－1，…，经观察发现每6个数为一次循环，又2009＝334×6＋5.而每一组中1＋（－1）＋（－2）＋（－1）＋1＋2＝0，故这2009个数的和，等于最后五个数之和.为1＋（－1）＋（－2）＋（－1）＋1＝－2.
7. A 8. A 9. A 10 A
11.（1）×π2×（n＋1）2
（2）原式＝×1002×（100＋1）2＝25 502 500
（3）①原式＝×100×（100＋1）2－×102×（10＋1）2＝25 499 475;
②原式＝23×（13＋23＋33＋…＋493＋503）＝23××502×（50＋1）2＝13 005 000.

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