7、专题二-闭区间上连续函数的性质和微积分中值定理.doc

7、专题二-闭区间上连续函数的性质和微积分中值定理

考研数学专题讲义二
闭区间上连续函数的性质和微积分中值定理
闭区间上连续函数的性质和微积分中值定理在考研中具有比较特殊的地位，他是考研中得分率较低的题目，而且常常考的是证明的大题，对我们来说，要求较高。所以我们必须要把每个定理都认真掌握，并熟知他们各自的使用条件，以此来将其各个击破。
一、要点分析：
（一）闭区间上连续函数的性质
1、有界性定理
设在上连续，则。
2、最值定理
设在上连续，则，其中分别是的最小值和最大值。
3、零点定理（常用）
设在上连续，当，则使得。
4、介值定理（较常用）
设在上连续，，是介于的一个值，则使得
5、 介值定理的推论（常用）
设在上连续，分别是的最小值和最大值，则使得
（二）微分中值定理
6、 费马引理（证明）
设在有定义，且在处可导，若，有或，那么。
7、 罗尔定理（证明）（常用）
设在上连续，在内可导，且，那么使得。
8、 拉格朗日中值定理（证明）（常用）
设在上连续，在内可导，那么使得成立。
9、柯西中值定理（证明）（常用）
设及在上连续，在内可导，且，那么使得成立。
10、泰勒（Taylor）中值定理（较常用）
设在的某个开区间内具有直到阶导数，则使得
（三）积分中值定理
11、积分中值定理
设在上连续，则至少使得成立。
12加强型积分中值定理（用时需证明）（常用）
设在上连续，则至少使得成立。
二、 方法归纳
证明时我们从结果入手来，一般来说含导数时我们用6、7、8、9、10，含积分我们用11、12，若两者都不含我们就用1、2、3、4、5。其实常用的只有3、（4）、5、7、8、9、（10）、11而已，并且，常常我们可以根据结果区间的开闭来进一步选择我们所用的方法，这样我们就可以更好的筛选定理来证明。
（一）闭区间上连续函数的性质
条件只有在上连续，
（1）结论式子中两边同时含有关于的式子：首先想到零点定理;
（2）结论式子中含一个且：首先想到介值定理;
（3）结论式子中含：首先想到用介值定理的推论.
平均值法则：在上连续，，则使得其中。（利用介值定理的推论证明）
1、设在上连续，且证明对有。
2、设在上连续且非负，，求证使得，其中
3、设在上连续，，则使得成立
4、设在上连续，证明使得成立
5、设在上连续，，证明有
（二） 微分中值定理
我们可以看到：罗尔定理→拉格朗日中值定理→柯西中值定理，是从特殊到一般的关系，当三种不知如何选择时我们一般以罗尔定理为中心来论证。
（1）费马引理：
6、证明费马引理
7、（达布定理）设在上可导，且，则使得
（2）罗尔定理：
8、证明罗尔定理
9、设在上连续，在内可导，且，试证明使得
辅助函数的构造：
逐项还原：
10、（I）证明拉格朗日中值定理：设在上连续，在内可导，那么使得成立。
（II）若在处连续，在内可导，且证明存在，且
组合还原：
11、 设在上连续，在内可导，证明使得。
12、 设在上连续，在内可导，证明使得
同加减因子、同乘除因子后组合还原：
1、，两边同乘 ，得
2、，两边同乘，得
注意：上式正负号可以变化，可以推广位一个函数
13、 设在上连续，在内可导，且证明：
（1）使得
（2）对于任意实数，使得
14、设在上连续，在内可导，且，证明使得。
15、设在上连续，在内可导，且，证明使得。
求解微分方程还原：
在上述方法皆不可构造出辅助函数时，我们利用求解微分方程来构造，使得所求式子变成，（为常数），再令即可
16、 设在上连续，在内可导，且，证明至少存在一点，使得。
练习：（1）设在上连续，在内可导，且，证明
使得。
（2） 设在上连续，在内可导，且，证明使得。
（3） 设在上连续，在内可导，且，，证明使得。
17*、设在内二阶可导，证明：
（1） 在内，
（2） 在内至少存在一点，使得
（3）拉格朗日中值定理：
在使用时，有些既可以用罗尔定理，也可以用拉格朗日中值定理，只是后者比前者更加简便，并且拉格朗日中值定理是将连接起来的桥梁，只要有两个相邻的都可以使用，常常有导数和积分之间的关系，并且还可以证明不等式，我们要注意的是防止隐形因为题目中常常给的是。特别是有时候出现两个不同的中值，需要把给定的区间分成两个区间来讨论，根据结果来反推。
18、 设在上连续，在内可导，且，证明使得
19、 设在上连续，在内可导，且二阶可导，存在一点有，证明使得。
20、 设在上连续，在内可导，且，证明使得。
21、 设在上连续，在内可导，且，证明：
（1） ，使得
（2） 且，使得
22、 设在上连续，在内可导，且证明，使得
23*、设在上连续，在内可导，且，证明：对任意的常数，且，使得。
利用拉格朗日中值定理证明不等式成立：
24、 设，证明成立。
25、 设，证明成立。
26、 证明对时，恒有成立。

27、 证明对时，，成立。
28、 设，证明成立。
（4） 柯西中值定理：
柯西中值定理使用的关键在于要从结论中找到两个不同类函数的两点函数值之差，所以我们经常要对所证明的式子化简，使字母同一化，再来找两个函数。若结论中是证明在某个开区间内至少存在使等式成立（这里并未说明），此时我们将式子简化把分到两边，分别来看，我们看或是一个函数求导所得，还是不同的函数求导，由此我们来选择是用拉格朗日还是用柯西。
29、 证明柯西中值定理。
30、 设在上可导，证明，使得。
31、 设在上可导（），证明，使得
32、 设在上连续，在内可导，，使得成立（其中）。
（5） 泰勒（Taylor）中值定理：
泰勒（Taylor）中值定理使用的标志是题目中含有高阶导数（这里的高阶是指三阶或三阶以上），如果题目中含有二阶也可用，也可不用，因为二阶可以对一阶导数用罗尔定理得到。用泰勒（Taylor）定理一般分三步：
I、写出比高阶导数低一阶的泰勒展开式；
II、恰当的选择等式两边的和（一般由已知条件或所证明的结论形式决定，一般选择区间的端点或中点）；
III、根据高阶导数的大小或对具体展开式进行整理或放缩。
33、设，且，证明成立。
34、设在上二阶可导，且，证明，使得。
（三） 积分中值定理
加强形式积分中值定理要比积分中值定理使用的更加广泛一些，我们在使用的时候需要简单的证明一下再来使用。
35、 证明积分中值定理。
36、 证明加强形式积分中值定理。
37、 设在上连续，在内二阶可导，且，证明：（1）：使得
（2）：使得。
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