离散数学集合论部分形成性考核书面作业新版.doc

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姓 名: 王小龙
学 号: 73
得 分:
教师签名:

离散数学作业3

离散数学集合论部分形成性考核书面作业
本课程形成性考核书面作业共3次, 内容主要分别是集合论部分、 图论部分、 数理逻辑部分的综合练习, 基本上是按照考试的题型( 除单项选择题外) 安排练习题目, 目的是经过综合性书面作业, 使同学自己检验学习成果, 找出掌握的薄弱知识点, 重点复习, 争取尽快掌握。本次形考书面作业是第一次作业, 大家要认真及时地完成集合论部分的综合练习作业。
要求: 将此作业用A4纸打印出来, 手工书写答题, 字迹工整, 解答题要有解答过程, 要求 11月7日前完成并上交任课教师( 不收电子稿) 。并在03任务界面下方点击”保存”和”交卷”按钮, 完成并上交任课教师。

一、 填空题
1．设集合, 则P(A)-P(B )= {{3}, {1,2,3}, {1, 3 }, {2,3}} , A´ B= {<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,2>} ．
2．设集合A有10个元素, 那么A的幂集合P(A)的元素个数为 1024 ．
3．设集合A={0, 1, 2, 3}, B={2, 3, 4, 5}, R是A到B的二元关系,

则R的有序对集合为{<2, 2>, <2, 3>, <3, 2>}, <3, 3>　　．
4．设集合A={1, 2, 3, 4 }, B={6, 8, 12}, A到B的二元关系
R＝
那么R－1＝{<6, 3>, <8, 4>}
5．设集合A=｛a, b, c, d｝, A上的二元关系R={, , , }, 则R具有的性质是　反自反性, 反对称性　　．
6．设集合A=｛a, b, c, d｝, A上的二元关系R={, , , }, 若在R中再增加两个元素, 　　, 则新得到的关系就具有对称性．
7．如果R1和R2是A上的自反关系, 则R1∪R2, R1∩R2, R1-R2中自反关系有 2 个．
8．设A={1, 2}上的二元关系为R={|xÎA, yÎA, x+y =10}, 则R的自反闭包为{<1, 1>, <2, 2>} ．
9．设R是集合A上的等价关系, 且1 , 2 , 3是A中的元素, 则R中至少包含<1, 1>, <2, 2>, <3, 3> 等元素．
10．设集合A={1, 2}, B={a, b}, 那么集合A到B的双射函数是
{<1, a >, <2, b >}, 或{<1, b >, <2, a >}

二、 判断说明题( 判断下列各题, 并说明理由．)
1．若集合A = {1, 2, 3}上的二元关系R={<1, 1>, <2, 2>, <1, 2>}, 则
(1) R是自反的关系; (2) R是对称的关系．
(1) R不是自反关系, 因为没有有序对<3,3>.
(2) R不是对称关系, 因为没有有序对<2,1>

2．如果R1和R2是A上的自反关系, 判断结论: ”R-11、 R1∪R2、 R1∩R2是自反的” 是否成立? 并说明理由．
解: 成立．
因为R1和R2是A上的自反关系, 即IAÍR1, IAÍR2。
由逆关系定义和IAÍR1, 得IAÍ R1-1;
由IAÍR1, IAÍR2, 得IAÍ R1∪R2, IAÍ R1ÇR2。
因此, R1-1、 R1∪R2、 R1ÇR2是自反的。

o
o
o
o
a
b
c
d
图一
o
o
o
g
e
f
h
o
3．若偏序集R>的哈斯图如图一所示,
则集合A的最大元为a, 最小元不存在．

错误．
集合A的最大元不存在, a是极大元．

4．设集合A={1, 2, 3, 4}, B={2, 4, 6, 8}, , 判断下列关系f是否构成函数f: , 并说明理由．
(1) f={<1, 4>, <2, 2,>, <4, 6>, <1, 8>}; (2)f={<1, 6>, <3, 4>, <2, 2>};
(3) f={<1, 8>, <2, 6>, <3, 4>, <4, 2,>}．
解: (1) f不能构成函数．
因为A中的元素3在f中没有出现．
(2) f不能构成函数．
因为A中的元素4在f中没有出现．
(3) f能够构成函数．
因为f的定义域就是A, 且A中的每一个元素都有B中的唯一一个元素与其对应, 满足函数定义的条件．
三、 计算题
1．设, 求: 　
(1) (AÇB)È~C; (2) (AÈB)- (BÇA) (3) P(A)－P(C); (4) AÅB．
解: (1)因为A∩B=｛1,4｝∩｛1,2,5｝=｛1｝,
~C=｛1,2,3,4,5｝-｛2,4｝=｛1,3,5｝
因此 (A∩B ) È~C=｛1｝È｛1,3,5｝=｛1,3,5｝
( 2) (AÈB)- (BÇA)= {1,2,4,5}-{1}={2,4,5}

(3)因为P(A)=｛f,｛1｝, ｛4｝, ｛1,4｝｝
P(C)=｛f,｛2｝,｛4｝,｛2,4｝｝
因此 P(A)-P(C)={ f,{ 1},{ 4},{ 1,4}}-{f,{ 2},{ 4},{2,4 }}
(4) 因为 AÈB={ 1,2,4,5}, AÇB={ 1}
因此 AÅB=AÈB-AÇB={1,2,4,5}-{1}={2,4,5}

2．设A={{1},{2},1,2}, B={1,2,{1,2}}, 试计算
( 1) ( A-B) ; ( 2) ( A∩B) ; ( 3) A×B．
( 1) A-B ={{1},{2}}
( 2) A∩B ={1,2}
( 3) A×B={<{1},1>, <{1},2>, <{1},{1,2}>, <{2},1>, <{2},2>,
<{2},{1,2}>, <1,1>, <1,2>, <1, {1,2}>, <2,1>, <2,2>,
<2, {1,2}>}

3．设A={1, 2, 3, 4, 5}, R={|xÎA, yÎA且x+y£4}, S={|xÎA, yÎA且x+y<0}, 试求R, S, R·S, S·R, R-1, S-1, r(S), s(R)．
解:
R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>}, \
R-1={<1,1>,<2,1>,<3,1>,<1,2 >,<2,2>,<1, 3>}
S=, S-1 =
r(S)={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>}
s(R)= {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>}
R·S=
S·R=

4．设A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, R是A上的整除关系, B={2, 4, 6}．
(1) 写出关系R的表示式; (2 )画出关系R的哈斯图;
(3) 求出集合B的最大元、 最小元．
解:
R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4,<1,5>,<1,6>,<1,7>,<1,8>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<2,8>,<3,3>,<3,6>,<4,4>,<4,8>,<5,5>,<6,6>,<7,7>,<8,8>}
7
3
2
( 2) 关系R的哈斯图如图四
5
( 3) 集合B没有最大元, 最小元是: 2
1

图四: 关系R的哈斯图

四、 证明题
1．试证明集合等式: AÈ (BÇC)=(AÈB) Ç (AÈC)．
证明: 设, 若x∈AÈ (BÇC), 则x∈A或x∈BÇC,
即 x∈A或x∈B 且 x∈A或x∈C．
即x∈AÈB 且 x∈AÈC ,
即 x∈T=(AÈB) Ç (AÈC),
因此AÈ (BÇC)Í (AÈB) Ç (AÈC)．
反之, 若x∈(AÈB) Ç (AÈC), 则x∈AÈB 且 x∈AÈC,
即x∈A或x∈B 且 x∈A或x∈C,
即x∈A或x∈BÇC,
即x∈AÈ (BÇC),
因此(AÈB) Ç (AÈC)Í AÈ (BÇC)．
因此．AÈ (BÇC)=(AÈB) Ç (AÈC)．

2．试证明集合等式AÇ (BÈC)=(AÇB) È (AÇC)．
证明: 设S=A∩(B∪C), T=(A∩B)∪(A∩C), 若x∈S, 则x∈A且x∈B∪C, 即 x∈A且x∈B 或 x∈A且x∈C,
也即x∈A∩B 或 x∈A∩C , 即 x∈T, 因此SÍT．
反之, 若x∈T, 则x∈A∩B 或 x∈A∩C
即x∈A且x∈B 或 x∈A且x∈C
也即x∈A且x∈B∪C, 即x∈S, 因此TÍS．
因此T=S．

3．对任意三个集合A, B和C, 试证明: 若AB = AC, 且A, 则B = C．
证明: 设xÎA, yÎB, 则ÎA´B,
因为A´B = A´C, 故Î A´C, 则有yÎC,
因此B Í C．
设xÎA, zÎC, 则Î A´C,
因为A´B = A´C, 故ÎA´B, 则有zÎB, 因此CÍB．
故得A=B．

4．试证明: 若R与S是集合A上的自反关系, 则R∩S也是集合A上的自反关系．