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抛物线及其标准方程( 第二课时)

【自学导引】
1．抛物线y2＝2px(p＞0)上的点M(x0, y0)与焦点F的距离｜MF｜＝．
2．抛物线y2＝－2px(p＞0)上的点M(x0, y0)与焦点F的距离｜MF｜＝．
3．抛物线x2＝2py(p>0)上的点M(x0, y0)与焦点F的距离｜MF｜＝．
4．抛物线x2＝－2py(p>0)上的点M(x0, y0)与焦点F的距离|MF|＝．

【思考导学】
1．抛物线上的点到它的焦点的距离叫做焦半径, 它等于这个点到准线的距离．
2．若一条直线与抛物线y2＝2px(p>0)只有一个交点, 那么这条直线与x轴重合或平行或与抛物线相切．

【典例剖析】
［例1］若点A的坐标为(3, 2), F为抛物线y2＝2x的焦点, 点P是抛物线上一动点, 则｜PA｜＋｜PF｜取得最小值时点P的坐标是( )

A．(0, 0)
B．(1, 1)
C．(2, 2)
D．(, 1)
解析: ∵｜PF｜等于P点到准线的距离, A在抛物线内部,
∴｜PA｜＋｜PF｜最小值是由A点向抛物线的准线x＝－作垂线(垂足为B)时垂线段AB的长度．
∴｜PA｜＋｜PF｜最小时, P点的纵坐标为2, 从而得P的横坐标为2．
∴P点的坐标为(2, 2)．
答案: C
点评: 本题根据抛物线的定义, 运用数形结合的思想简捷地得出了答案．
［例2］抛物线y2＝2px(p＞0)有一内接直角三角形, 直角的顶点在原点, 一直角边的方程是y＝2x, 斜边长是5, 求此抛物线方程．
解: 设△AOB为抛物线的内接直角三角形, 直角顶点为O, AO边的方程是y＝2x．
则OB边方程为y＝－x．
由可得A点坐标为(, p)
由可得B点坐标为(8p, －4p)
∵｜AB｜＝5, ∴．
∵p＞0解得p＝, ∴所求的抛物线方程为y2＝x．
点评: 求抛物线的标准方程, 即求p的值和确定开口方向, 因而如何根据已知条件建立起关于p的方程是解决本题的关键．
［例3］设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F, 经过点F的直线交抛物线于A、 B两点, 点C在抛物线的准线上, 且BC∥x轴．
证明: 直线AC经过原点O．
解: ∵抛物线的焦点为F(, 0),
∴经过点F的直线AB的方程可设为x＝my＋
代入抛物线方程, 得y2－2pmy－p2＝0
设A(x1, y1), B(x2, y2), 则y1、 y2是该方程的两根, ∴y1y2＝－p2
∵BC∥x轴, 且点C在准线x＝－上,
∴点C的坐标为(－, y2)
∴直线OC的斜率为
即k也是直线OA的斜率
∴直线AC经过原点O．
点评: 本题若设直线AB的点斜式方程也能够, 但必须还要讨论斜率k不存在的情况, 另外, 证明直线AC过原点O这里是利用了直线OC与直线AC斜率相等非常简捷, 如若写出直线AC的方程, 经过(0, 0)适合方程来证明, 将非常复杂．

【随堂训练】
1．已知抛物线的方程为标准方程, 焦点在x轴上, 其上点P(－3, m)到焦点距离为5, 则抛物线方程为( )
A．y2＝8x
B．y2＝－8x
C．y2＝4x
D．y2＝－4x
解析: ∵P到焦点距离为5, ∴3＋＝5, ∴p＝4,
∵点P在y轴的左边, 抛物线焦点在x轴上,
∴抛物线的标准方程为y2＝－8x．
答案: B
2．抛物线y2＝4x上一点P到焦点F的距离是10, 则P点的坐标是( )
A．(±6, 9)
B．(9, ±6)
C．(9, 6)
D．(6, 9)
解析: 设P点的坐标为(x, y)．
∵｜PF｜＝10, ∴1＋x＝10, ∴x＝9．
把x＝9代入方程y2＝4x中, 解得y＝±6．
∴P点的坐标是(9, ±6)．
答案: B
3．抛物线y2＝9x与直线2x－3y－8＝0交于M、 N两点, 线段MN中点坐标是( )
A．
B．
C．
D．
解析: 由方程组得2y2－27y－72＝0,
∴y1＋y2＝
代入方程2x－3y－8＝0中, 得x＝．
答案: B
4．抛物线y2＝12x截直线y＝2x＋1所得弦长等于( )
A．
B．2
C．
D．15
解析: 把y＝2x＋1代入y2＝12x, 得４x2－８x＋1＝0, 所求弦长d＝｜x1－x2｜＝．
答案: A
5．抛物线y2＝８px(p＞0)上一点M到焦点的距离为a, 则点M到y轴的距离为______．
解析: 由已知设点M到y轴的距离为d则＝1, ∴d＝a－2p．
答案: a－2p
6．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、 B两点, 若A、 B在抛物线的准线上的射影是A1、 B1, 则∠A1FB1＝_______．
解析: 设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)．如图, 由抛物线定义知
｜AF｜＝｜AA1｜, ｜BF｜＝｜BB1｜,

∴∠AA1F＝∠AFA1, ∠BB1F＝∠BFB1, 又AA1∥x轴∥BB1,
∴∠AA1F＝∠A1FF1, ∠BB1F＝∠B1FF1,
∴∠A1FＢ1＝90°．
答案: 90°

【强化训练】
1．已知直线l与抛物线y2＝8x交于A、 B两点, 且l经过抛物线的焦点F, A点的坐标为(8, 8), 则线段AB的中点到准线的距离是( )
A．
B．
C．
D．25
解析: 抛物线的焦点坐标为(2, 0), 直线l的方程为y＝(x－2)．
由得B点的坐标为(, －2)．
∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝2＋8＋2＋,
∴AB的中点到准线的距离为．
答案: A
2．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点作一条直线交抛物线于A(x1, y1), B(x2, y2), 则为( )
A．4
B．－4
C．p2
D．－p2
解析: 特例法．当直线垂直于x轴时, ＝－4．
答案: Ｂ
3．已知抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上, 则此抛物线的标准方程是( )
A．y2＝16x
B．x2＝－8y
C．y2＝16x或x2＝－8y
D．y2＝16x或x2＝8y
解析: 直线x－2y－4＝0与坐标轴的交点为(4, 0)和(0, －2),
∴抛物线的焦点为(4, 0)或(0, －2), ∴抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y．
答案: C
4．抛物线y＝ax2(a>0)与直线y＝kx＋b(k≠0)有两个公共点, 其横坐标分别是x1、 x2; 而直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标是x3, 则x1、 x2、 x3之间的关系是( )
A．x3＝x1＋x2
B．x3＝
C．x1x3＝x1x2＋x2x3
D．x1x2＝x1x3＋x2x3
解法一: (特值法)取a＝1, k＝1, b＝0, 则x1＝0, x2＝1, x3＝0, 可排除A、 B．
再取a＝1, k＝1, b＝1, 可得x1＋x2＝1．
x1x2＝－1, x3＝－1, 检验C、 D可知D选项适合．
解法二: (直接法)
把y＝kx＋b代入y＝ax2, 得ax2－kx－b＝0, x1＋x2＝, x1x2＝－
又x3＝－, ∴x1x2＝(x1＋x2)x3
答案: D
5．直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A、 B两点, 且AB中点的横坐标为2, 则k的值为______．
解析: ∵直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于两点, ∴k≠0, 由
得k2x2－4kx－8x＋4＝0, ∴x1＋x2＝,
∵AB中点的横坐标为2, ∴＝4, ∴k＝－1或k＝2．
∵当k＝－1时方程k2x2－4kx－8x＋4＝0只有一个解, 即A、 B两点重合．∴k≠－1．
答案: 2
6．动圆M经过点A(3, 0)且与直线l: x＝－3相切, 则动圆圆心M的轨迹方程为______．
解析: 设圆M与直线l相切于点N, ∵｜MA｜＝｜MN｜,
∴圆心M到定点A(3, 0)和定直线x＝－3的距离相等．
根据抛物线的定义, M在以A为焦点, l为准线的抛物线上．
∵＝3, ∴p＝6．
∴圆心M的轨迹方程为y2＝12x．
答案: y2＝12x
7．已知抛物线的焦点在x轴上, 直线y＝2x＋1被抛物线截得的线段长为, 求抛物线的标准方程．
解: ∵抛物线的焦点在x轴上, ∴设它的标准方程为y2＝2px．
由方程组
得4x2＋(4－2p)x＋1＝0,
∴｜x1－x2｜＝,
∴,
∴, ∴p＝6或p＝－2,
∴抛物线的方程为y2＝12x或y2＝－4x．
8．一直线与抛物线x2＝y交于A、 B两点, 它们的横坐标分别为x1和x2, 此直线在x轴上的截距为a, 求证: ．
证明: ∵直线过(a, 0)点且与抛物线交于A、 B两点,
∴设直线的方程为y＝k(x－a)且k≠0,
由方程组得x2－kx＋ka＝0．
由韦达定理, 得x1＋x2＝k, x1x2＝ka．
∵a≠0
∴．
即．
9．A、 B是抛物线y2＝2px(p＞0)上的两点, 满足OA⊥OB(O为坐标原点)．求证:
(1)A、 B两点的横坐标之积、 纵坐标之积分别为定值;
(2)直线AB经过一个定点．
证明: (1)设A(x1, y1), B(x2, y2), 则y12＝2px1、 y22＝2px2
∵OA⊥OB, ∴x1x2＋y1y2＝0
y12y22＝4p2x1x2＝4p2·(－y1y2)
∴y1y2＝－4p2, 从而x1x2＝4p2也为定值．
(2)∵y12－y22＝2p(x1－x2) ∴
∴直线AB的方程为: y－y1＝(x－x1)
即y＝＋y1
y＝
亦即y＝(x－2p)
∴直线AB经过定点(2p, 0)．

【学后反思】
求抛物线的标准方程需判断焦点所在的坐标轴和确定p的值, 过焦点的直线与抛物线的交点问题有时用焦半径公式较简单．