1、 一次函数的图象和性质(提高)知识讲解 一次函数的图象与性质(提高) 【学习目标】 1. 理解一次函数的概念,理解一次函数的图象与正比例函数的图象之间的关系; 2. 能正确画出一次函数的图象.掌握一次函数的性质.利用函数的图象解决与一次函数有关的问题,还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题. 3. 对分段函数有初步认识,能运用所学的函数知识解决实际问题. 4. 能用函数的观点认识一次函数、一次方程(组)与一元一次不等式之间的联系,能直观地用图形(在平面直角坐标系中)来表示方程(或方程组)的解及不等式的解,建立数形结合的思想及转化的思想. 【要点梳理】 要
2、点一、一次函数的定义 一般地,形如(,是常数,≠0)的函数,叫做一次函数. 一次函数的定义域是一切实数. 一般地,我们把函数(为常数)叫做常值函数.它的自变量由所讨论的问题确定. 要点诠释:当=0时,即,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的,要注意其中对常数,的要求,一次函数也被称为线性函数. 要点二、一次函数的图象与性质 1.函数(、为常数,且≠0)的图象是一条直线 ; 当>0时,直线是由直线向上平移个单位长度得到的; 当<0时,直线是由直线向下平移||个单位长度得到的. 2.一次函数(、为常数,且≠0)的图象与性质: 解析
3、式 (为常数,且) 自变量 取值范围 全体实数 图象 形状 过(0,)和(,0)点的一条直线 、的取值 示意图 位置 经过一、二、三象限 经过一、三、四象限 经过一、二、四象限 经过二、三、四象限 趋势 从左向右上升 从左向右下降 函数 变化规律 随的增大而增大 随的增大而减小 3. 、对一次函数的图象和性质的影响: 一条直线与轴的交点的纵坐标叫做这条直线在轴上的截距,直线的截距是. 由于值的不同,则直线相对于轴正方向的倾斜程度不同,这个常数称为直线的斜率. 决定直线从左向右的趋势,决定它与轴交点
4、的位置,、一起决定直线经过的象限. 4. 两条直线:和:的位置关系可由其系数确定: (1)与相交; (2),且与平行; 要点三、待定系数法求一次函数解析式 一次函数(,是常数,≠0)中有两个待定系数,,需要两个独立条件确定两个关于,的方程,这两个条件通常为两个点或两对,的值. 要点诠释:先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知数的系数,从而具体写出这个式子的方法,叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数,所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组(以和为未知数),解方程组后就能具体写出一次函数的解析式. 要点四、一次函数与一元一次方程(组)的关系
5、 一次函数(≠0,为常数).当函数=0时,就得到了一元一次方程,此时自变量的值就是方程=0的解.所以解一元一次方程就可以转化为:当某一个一次函数的值为0时,求相应的自变量的值. 从图象上看,这相当于已知直线(≠0,为常数),确定它与轴交点的横坐标的值 每个二元一次方程组都对应两个一次函数,于是也对应两条直线.从“数”的角度看,解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等,以及这时的函数为何值;从“形”的角度看,解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 要点五、一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为>0或<0或≥0或≤0(、为常数,≠0)的形式,所
6、以解一元一次不等式可以看作:当一次函数的值大于0(或小于0或大于等于0或小于等于0)时求相应的自变量的取值范围. 要点诠释:求关于的一元一次不等式>0(≠0)的解集,从“数”的角度看,就是为何值时,函数的值大于0?从“形”的角度看,确定直线在轴(即直线=0)上方部分的所有点的横坐标的范围. 【典型例题】 类型一、待定系数法求函数的解析式 1、如图,已知一次函数y=kx+b的图象经过A(﹣2,﹣1),B(1,3)两点,并且交x轴于点C,交y轴于点D. (1)求该一次函数的解析式; (2)求△AOB的面积. 【思路点拨】(1)先把A点和B点坐标代入y=kx+b得到关于k
7、b的方程组,解方程组得到k、b的值,从而得到一次函数的解析式;(2)先确定D点坐标,然后根据三角形面积公式和△AOB的面积=S△AOD+S△BOD进行计算. 【答案与解析】解:(1)把A(﹣2,﹣1),B(1,3)代入y=kx+b得, 解得. 所以一次函数解析式为y=x+; (2)把x=0代入y=x+得y=, 所以D点坐标为(0,), 所以△AOB的面积=S△AOD+S△BOD =××2+××1 =. 【总结升华】本题考查了待定系数法求一次函数解析式:(1)先设出函数的一般形式,如求一次函数的解析式时,先设y=kx+b;(2)将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的
8、解析式,得到关于待定系数的方程或方程组;(3)解方程或方程组,求出待定系数的值,进而写出函数解析式. 举一反三: 【变式1】一次函数交轴于点A(0,3),与两轴围成的三角形面积等于6,求一次函数解析式. 【答案】 解: 设一次函数的解析式为. 当过时,; 当过时,; 所以,一次函数的解析式为或. 【变式2】在平面直角坐标系中,已知两点,,在轴上求作一点P,使AP+BP最短,并求出点P的坐标. 【答案】 解:作点A关于轴的对称点为,连结,与轴交于点P,点P即为所求. 设直线的解析式为, 直线过, 的解析式为:,它与轴交于P(0,1). 类型二、一次函数图象
9、的应用 2、李明骑自行车去上学途中,经过先上坡后下坡的一条路段,在这段路上所走的路程(米)与时间(分钟)之间的函数关系如图所示.根据图象,解答下列问题: (1)求李明上坡时所走的路程(米)与时间(分钟)之间的函数关系式和下坡时所走的路程(米)与时间(分钟)之间的函数关系式; (2)若李明放学后按原路返回,且往返过程中,上坡的速度相同,下坡的速度也相同,问李明返回时走这段路所用的时间为多少分钟? 【思路点拨】由图象可知,上坡时,路程是时间的正比例函数,根据函数图象经过点(6,900),可以确定函数解析式;下坡时,路程是时间的一次函数,根据函数图象经过点(6,900),
10、10,2100),可以求出函数解析式.
【答案与解析】
解:(1)设,由已知图象经过点(6,900),得900=6.解得=150.
所以=150(0≤≤6).
设,由已知图象经过点(6,900),(10,2100),
得解得
所以=300-900(6 11、路程和下坡路程分别是上学时下坡路程和上坡路程.
类型三、一次函数的性质
3、已知自变量为的一次函数的图象经过第二、三、四象限,则( )
A.>0,<0 B.<0,>0 C.<0,<0 D.>0,>0
【答案】C;
【解析】原函数为,因为图象经过二、三、四象限,则<0,<0,解得<0,<0.
【总结升华】一次函数的图象有四种情况:
①当>0,>0,函数的图象经过第一、二、三象限,的值随的值增大而增大;
②当>0,<0,函数的图象经过第一、三、四象限,的值随的值增大而增大;
③当<0,>0时,函数的图象经过第一、二、四象限,的值随的值增大而减小 12、
④当<0,<0时,函数的图象经过第二、三、四象限,的值随的值增大而减小.
举一反三:
【变式1】直线:与直线:在同一坐标系中的大致位置是( ).
A. B. C. D.
【答案】C;
提示:对于A,从看 <0,<0,从看<0,>0,所以,的取值自相矛盾,排除掉A.对于B,从看>0,<0,从看>0,>0,所以,的取值自相矛盾,排除掉B. D答案同样是矛盾的,只有C答案才符合要求.
【变式2】直线和直线在同一直角坐标系中的位置如图所示.点在直线上,点在直线上,点为直线、的交点.其中, 13、则( )
A. B. C. D.
【答案】A;
提示:由于题设没有具体给出两个一次函数的解析式,因此解答本题只能借助于图象.观察直线知,随的增大而减小,因为,则有;观察直线知,随的增大而增大,因为,则有.故.
类型四、一次函数综合
4、已知一次函数的图象过点,与轴交于点,与轴交于点,且,求点的坐标.
【答案与解析】
解:由题意得,,则
.
一次函数的图象过点,
.
当时,,;
当时,,.
综上所述,点A的坐标为或.
【总结升华】我们可以把点A、B的坐标用、表示出来,根据OA=3OB可以建立一个关于、的方程,再根据它的图象过P,可以再找到 14、一个关于、的方程,两个方程联立,即可求出、的值,就可以求出点A的坐标.
举一反三:
【变式】在平面直角坐标系xOy中,将直线y=2x向下平移2个单位后,与一次函数y=﹣x+3的图象相交于点A.
(1)求点A的坐标;
(2)若P是x轴上一点,且满足△OAP是等腰直角三角形,直接写出点P的坐标.
【答案】解:(1)将直线y=2x向下平移2个单位后对应解析式为:y=2x﹣2,
根据题意得出:,
解得.
故A点坐标为:(2,2);
(2)如图所示:∵P是x轴上一点,且满足△OAP是等腰直角三角形,
∴P(2,0)或(4,0).
类型一、一次函数与一元一次方程(组),一 15、元一次不等式
5、方程的解是=______,则函数在自变量等于_______时的函数值是8.
【答案】2;2;
【解析】解方程得到:.函数的函数值是8.即,即函数在自变量等于2时的函数值是8.
【总结升华】本题主要考查了一元一次方程与一次函数的关系.任何一元一次方程都可以转化为(,为常数,≠0)的形式,所以解一元一次方程可以转化为:当某个一次函数的值为0时,求相应的自变量的值.从图象上看,相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值.
举一反三:
【变式1】如图,已知直线,则关于的方程的解=_________.
【答案】4;
提示:根据图形知,当=1时,=4,即时,=4.∴方 16、程 的解=4.
【变式2】分别用和表示两个关于的代数式,在坐标系中,如果函数与的图象有3个交点,那么方程组的解的个数是 .
【答案】3;
6、已知一次函数的图象过第一、二、四象限,且与轴交于点(2,0),则关于的不等式>0的解集为( )
A.<-1 B.>-1 C.>1 D.<1
【答案】A;
【解析】∵一次函数的图象过第一、二、四象限,∴>0,<0,
把(2,0)代入解析式得:0=2+,
解得:=-2,∵>0,
∴,
∴-1<,
∴<-1,
【总结升华】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的关系,一次函数的性质,一次函数图象上点的坐标特征,解一元一次不等式等的理解和掌握,能根据一次函数的性质得出、的正负,并正确地解不等式是解此题的关键.
举一反三:
【变式】如图,直线与坐标轴的两个交点分别为A(2,0)和B(0,-3),则不等式+3≥0的解集是( )
A.≥0 B.≤0 C.≥2 D.≤2
【答案】A;
提示:从图象上知,直线的函数值随的增大而增大,与轴的交点为B(0,-3),即当=0时,=-3,所以当≥0时,函数值≥-3.
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