2019_2020学年新教材高中数学第6章平面向量初步6.2.1向量基本定理课时31平面向量基本定理练习含解析新人教B版必修第二册.doc

课时31　平面向量基本定理

知识点一 平面向量基本定理的理解
1.如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，λ，μ是实数，那么下列说法中不正确的是(　　)
①λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；
④若实数λ，μ使得λe1＝μe2，则λ＝μ＝0.
A．①② B．②③ C．③④ D．②
答案　B
解析　由平面向量基本定理可知，①④正确．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，故②不正确．对于③，当两向量均为零向量，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，λ有无穷多个，故③不正确．
2．若{e1，e2}是平面α内的一组基底，则下列四组向量能作为平面α的一组基底的是(　　)
A．{e1－e2，e2－e1} B．{2e1＋e2，e1＋e2}
C．{2e2－3e1,6e1－4e2} D．{e1＋e2，e1－e2}
答案　D
解析　对于选项A，e1－e2＝－(e2－e1)，所以(e1－e2)∥(e2－e1)，故该组向量不能作为该平面的基底；对于选项B,2e1＋e2＝2，所以(2e1＋e2)∥，故该组向量不能作为该平面的基底；对于选项C,2e2－3e1＝－(6e1－4e2)，所以(2e2－3e1)∥(6e1－4e2)，故该组向量不能作为该平面的基底；对于选项D，显然e1＋e2与e1－e2不共线，故该组向量能作为该平面的基底．

知识点二 用基底表示向量
3．如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)．若＝a＋b，且点P落在第Ⅲ部分，则实数a，b满足(　　)

A．a>0，b>0 B．a>0，b<0
C．a<0，b>0 D．a<0，b<0
答案　B
解析　取第Ⅲ部分内一点画图易得a＞0，b＜0.
4．如图，在△ABC中，P为BC边上一点，且＝.

(1)用基底{，}表示A＝________；
(2)用基底{，}表示A＝________.
答案　(1) ＋　(2) ＋
解析　(1)∵＝＋，＝ ＝ ， ＝－，
∴＝＋(－)＝＋－
＝ ＋ .
(2) ＝＋＝＋ .
5. 在△ABC中，＝，过点D作DE∥BC，与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，如图所示．设＝a，＝b，试用基底{a，b}表示.

解　∵M为BC的中点，
∴＝＝(－)＝(b－a)，
＝＋＝a＋(b－a)＝(a＋b)．
∵DN∥BM，AN与AM共线，
∴存在实数λ，μ，使得＝λ＝λ(b－a)．
＝μ＝μ(a＋b)＝a＋b.
∵＝＋＝a＋λ(b－a)
＝a＋b，
∴根据平面向量基本定理，得
∴λ＝μ＝，
∴＝(b－a)＝－a＋b.

知识点三 平面向量基本定理的应用
6.已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)·，实数λ∈(1,2)，则(　　)
A．点M在线段AB上
B．点B在线段AM上
C．点A在线段BM上
D．O，A，M，B四点一定共线
答案　B
解析　由题意得－＝λ(－)，即＝λ.
又λ∈(1,2)，所以点B在线段AM上．故选B.
7．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若A＝λ＋μ，其中λμ∈R，则λ＋μ＝________.
答案　
解析　设＝a， ＝b，
则＝a＋b， ＝a＋b.
又∵＝a＋b，∴ ＝(A＋A)，即λ＝μ＝.
∴λ＋μ＝.
8．已知a，b是两个不共线的向量，若它们起点相同，a，b，t(a＋b)三个向量的终点在一条直线上，则实数t＝________.
答案　
解析　如图，∵a，b，t(a＋b)三个向量的终点在一条直线上，

∴存在实数λ使t(a＋b)－b＝λ，即(t－λ)a＝b.
又∵a，b不共线，
∴t－λ＝0且－λ－t＝0，解得t＝.
9．如图，已知三点O，A，B不共线，且＝2，＝3，设＝a，＝b.

(1)设AD与BC交于点E，试用a，b表示向量；
(2)设线段AB，OE，CD的中点分别为L，M，N，试证明L，M，N三点共线．
解　(1)∵B，E，C三点共线，
∴存在实数x，
使＝x＋(1－x)＝2xa＋(1－x)b.①
同理，∵A，E，D三点共线，
∴存在实数y，使＝ya＋3(1－y)b.②
由①②，得
解得x＝，y＝.
∴＝a＋b.
(2)证明：∵＝，＝＝，＝(＋)＝，
∴＝－＝＝，
＝－＝，
∴＝6，∴L，M，N三点共线.
易错点 忽略两个向量作为基底的条件
10.已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件为(　　)
A．λ＝0 B．e2＝0
C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0
易错分析　若认为e1，e2是一组基底，则会得到如下解析：
设a＝kb(k∈R)，则e1＋λe2＝2ke1，所以(1－2k)e1＋λe2＝0，
所以1－2k＝0，且λ＝0，选A.
事实上，e1，e2并不一定是平面内的一组基底，不要漏掉e1，e2共线的情况．
答案　D
正解　当e1∥e2时，a∥e1，又b＝2e1，
所以b∥e1，又e1≠0，
故a与b共线；当λ＝0时，a＝e1，又b＝2e1，e1≠0，
故a与b共线．

一、选择题
1．设{e1，e2}是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是(　　)
A．{e1＋e2，e1－e2} B．{3e1－2e2,4e2－6e1}
C．{e1＋2e2，e2＋2e1} D．{e2，e1＋e2}
答案　B
解析　因为B中3e1－2e2和4e2－6e1为平行向量，所以不能作为一组基底．故选B.
2．{e1，e2}为基底向量，已知向量＝e1－ke2，＝2e1－e2，＝3e1－3e2，若A，B，D三点共线，则k的值是(　　)
A．2 B．－3
C．－2 D．3
答案　A
解析　根据题意得＝e1－ke2，＝－＝3e1－3e2－2e1＋e2＝e1－2e2，∵A，B，D三点共线，
∴＝λ，即e1－ke2＝λ(e1－2e2)，
所以∴k＝2.
3．若点O是平行四边形ABCD两对角线的交点，＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1＝(　　)
A． B．
C． D．
答案　C
解析　3e2－2e1＝ －＝ － ＝ ＝.
4．在△ABC中，设M是边BC上任意一点，N为AM的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　)
A. B.
C. D．1
答案　A
解析　解法一：设＝t(0≤t≤1)，则＝＝(＋)＝＋＝＋t＝＋(－)＝＋，所以λ＝－，μ＝，故λ＋μ＝.
解法二：(特殖值法)设M为BC的中点，所以＝＝×(＋)＝＋，
所以λ＝μ＝，故λ＋μ＝.
5．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则A＝(　　)
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
答案　C
解析　▱ABCD中，△DEF∽△BEA，

故＝＝，
再由AB＝CD可得＝.
故＝，
∵＝a，＝b，
∴＝－＝－＝a－b，
∴＝a－b，
∵＝－＝－＝b＋a，
∴＝＋＝a＋b.
二、填空题
6．▱ABCD的两条对角线相交于点M，且＝a，＝b，用a，b表示，则＝________.
答案　a－b
解析　＝＝
＝－＝－
＝a－b.

7．设{e1，e2}是平面内的一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可表示为另一组向量a，b的线性组合，则e1＋e2＝________a＋________b.
答案　　－
解析　设e1＋e2＝λa＋μb，
则e1＋e2＝λe1＋2λe2＋(－μe1)＋μe2，整理得
e1＋e2＝(λ－μ)e1＋(2λ＋μ)e2，
又e1与e2不共线，则解得
8．设{e1，e2}是表示平面内所有向量的一组基底，则向量a＝e1＋λe2与向量b＝－e1＋2e2共线的条件是________．
答案　λ＝－2
解析　向量a，b共线，即存在x∈R使b＝xa，
即－e1＋2e2＝x(e1＋λe2)，
整理得(x＋1)e1＋(λx－2)e2＝0.
∵e1，e2不共线，∴⇒
三、解答题
9．如图，已知△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若＝a，＝b，用a，b表示，，.

解　＝＋＝＋
＝＋(＋)＝a＋(b－a)＝a＋b；
＝＋＝＋
＝＋(＋)＝a＋(b－a)＝a＋b；
＝＋＝＋
＝＋(＋)＝a＋(b－a)＝a＋b.
10．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式．

解　(1)证明：设a＝λb(λ∈R)，
则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线，得⇒
∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，得
3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∴⇒
∴c＝2a＋b.
11．如图所示，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．

解　如图所示．以OC为对角线，作平行四边形OECF，且OA，OB在这个四边形的两邻边上．

∵∠COF＝∠EOF－∠EOC＝120°－30°＝90°.
在Rt△COF中，||＝2，∠OCF＝30°，
∴CF＝＝4.
∴OF＝2.又||＝||＝1.
∴＝4，＝2.
∴＝＋＝4＋2.
由平面向量基本定理可得λ＝4，μ＝2.
∴λ＋μ＝6.

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