1、第三课 平面向量初步考点突破素养提升素养一数学运算角度平面向量的坐标运算【典例1】已知向量=(4,3),=(-3,-1),点A(-1,-2).(1)求线段BD的中点M的坐标.(2)若点P(2,y)满足=(R),求y与的值.【解析】(1)设点B的坐标为(x1,y1).因为=(4,3),A(-1,-2),所以(x1+1,y1+2)=(4,3).所以所以所以B(3,1).同理可得D(-4,-3).设线段BD的中点M的坐标为(x2,y2),则x2=-,y2=-1,所以M.(2)由已知得=(3,1)-(2,y)=(1,1-y),=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).又=,所以(1,1-y)=(-
2、7,-4),则所以【类题通】向量的坐标表示实际上是向量的代数表示,是将几何问题代数化的有力工具,它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现.通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模,判断共线、平行等问题.素养二直观想象角度用已知向量表示未知向量【典例2】在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点.若=+,其中,R,求+的值.【解析】选择,作为平面向量的一组基底,则=+,=+,=+,又=+=+,于是得解得所以+=.【类题通】利用已知向量表示未知向量,实质就是利用三角形法则进行向量的加、减、数乘运算;平面向量基本定理的引入为其提供了有力的理论依据,利用平面向
3、量基本定理表示向量时,要选择一组恰当的基底,常与待定系数法、方程思想紧密联系在一起解决问题.素养三逻辑推理角度平面向量在几何中的应用【典例3】如图,点L,M,N分别为ABC的边BC,CA,AB上的点,且=l,=m,=n,若+=0.求证:l=m=n.【证明】令=a,=b,=c,则由=l得,=l b;由=m得,=m c;由=n得,=n a.因为+=0,所以(+)+(+)+(+)=0.即(a+l b)+(b+m c)+(c+n a)=0,所以(1+n)a+(1+ l)b+(1+m)c=0.又因为a+b+c=0,所以a=-b-c,所以(1+n)(-b-c)+(1+l)b+(1+m)c=0,即(l-n)
4、b+(m-n)c=0.因为b与c不共线,所以l-n=0且m-n=0,所以l=n且m=n,即l=m=n.【类题通】1.向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法则,数乘运算和线段平行之间联系密切,因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题.2.利用平面向量解决几何问题的关键是恰当地引入向量,通过向量运算,解释几何性质.【加练固】如图所示,P是正方形ABCD的对角线BD上一点,四边形PECF是矩形,求证:PA=EF.【证明】以B为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为1,|=,则A(0,1),P,E,F,=,=.因为|2=+=2-+1,|2=+=2-+1,所以|2=|2,故PA=EF.- 4 -
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