1、第三课 平面向量初步
考点突破·素养提升
素养一 数学运算
角度 平面向量的坐标运算
【典例1】已知向量=(4,3),=(-3,-1),点A(-1,-2).
(1)求线段BD的中点M的坐标.
(2)若点P(2,y)满足=λ(λ∈R),求y与λ的值.
【解析】(1)设点B的坐标为(x1,y1).
因为=(4,3),A(-1,-2),
所以(x1+1,y1+2)=(4,3).
所以所以所以B(3,1).
同理可得D(-4,-3).
设线段BD的中点M的坐标为(x2,y2),
则x2==-,y2==-1,
所以M.
(2)由已知得=(3,1)-(2,y)=(1,1-y)
2、
=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).
又=λ,所以(1,1-y)=λ(-7,-4),
则所以
【类题·通】
向量的坐标表示实际上是向量的代数表示,是将几何问题代数化的有力工具,它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现.通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模,判断共线、平行等问题.
素养二 直观想象
角度 用已知向量表示未知向量
【典例2】在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点.若=λ+μ,其中λ,μ∈R,求λ+μ的值.
【解析】选择,作为平面向量的一组基底,
则=+,=+,=+,
又=λ+μ=+,
于是得解得
3、
所以λ+μ=.
【类题·通】
利用已知向量表示未知向量,实质就是利用三角形法则进行向量的加、减、数乘运算;平面向量基本定理的引入为其提供了有力的理论依据,利用平面向量基本定理表示向量时,要选择一组恰当的基底,常与待定系数法、方程思想紧密联系在一起解决问题.
素养三 逻辑推理
角度 平面向量在几何中的应用
【典例3】如图,点L,M,N分别为△ABC的边BC,CA,AB上的点,且=l,=m,=n,若++=0.求证:l=m=n.
【证明】令=a,=b,=c,
则由=l得,=l b;
由=m得,=m c;
由=n得,=n a.
因为++=0,
所以(+)+(+)+(+)=
4、0.
即(a+l b)+(b+m c)+(c+n a)=0,
所以(1+n)a+(1+ l)b+(1+m)c=0.
又因为a+b+c=0,所以a=-b-c,
所以(1+n)(-b-c)+(1+l)b+(1+m)c=0,
即(l-n)b+(m-n)c=0.
因为b与c不共线,
所以l-n=0且m-n=0,
所以l=n且m=n,即l=m=n.
【类题·通】
1.向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法则,数乘运算和线段平行之间联系密切,因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题.
2.利用平面向量解决几何问题的关键是恰当地引入向量,通过向量运算,解释几何性质.
【加练·固】
如图所示,P是正方形ABCD的对角线BD上一点,四边形PECF是矩形,求证:PA=EF.
【证明】以B为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为1,||=λ,
则A(0,1),P,E,F,
=,=.
因为||2=+=λ2-λ+1,
||2=+=λ2-λ+1,
所以||2=||2,故PA=EF.
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