2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价二十三圆柱圆锥圆台球的表面积和体积新人教A版必修2.doc

课时素养评价 二十三
圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为 (　　)
A.1∶2 B.1∶ C.1∶ D.∶2
【解析】选C.设圆锥的高为a，则底面半径为，
则S底=π·=，S侧=π··=πa2，所以=.
【加练·固】
　　 圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是 (　　)
A.4πS　　 B.2πS　　 C.πS　　 D.πS
【解析】选A.底面半径是，所以正方形的边长是2π=2，故圆柱的侧面积是(2)2=4πS.

2.圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是
(　　)
A.π B.2π
C.π D.π
【解析】选D.S1=π，S2=4π，所以r=1，R=2，
S侧=6π=π(r+R)l，所以l=2，所以h=.
所以V=π×(1+4+2)×=π.
3.设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是 (　　)
A.π B. C.4π D.32π
【解析】选C.设正方体棱长为a，由题意可知，6a2=24，所以a=2.设正方体外接球的半径为R，则a=2R，所以R=，所以V球=πR3=4π.
4.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依恒内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 (　　)

A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛
【解析】选B.由l=×2πr=8得圆锥底面的半径r=≈，所以米堆的体积V=×πr2h=××5=(立方尺)，所以堆放的米有÷1.62≈22(斛).
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.若圆锥的侧面展开图是圆心角为180°，半径为4的扇形，则这个圆锥的表面积是________. 
【解析】设圆锥的底面半径为r，则2πr=4π，所以r=2，所以圆锥的表面积为S=πr2+π×42=4π+π×16=12π.
答案：12π
6.两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是________. 
【解析】设大球的半径为R，则有πR3=2×π×13，R3=2，所以R=.
答案：
三、解答题(共26分)
7.(12分)如图所示，△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得到的旋转体的表面积.

【解析】过C点作CD⊥AB于点D.如图所示，△ABC以AB所在直线为轴旋转一周，所得到的旋转体是两个底面重合的圆锥，这两个圆锥的高的和为AB=5，

底面半径DC==，
故S表=π·DC·(BC+AC)=π.
8.(14分)一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥里又有一个内切球.求：
(1)圆锥的侧面积.
(2)圆锥内切球的体积.
【解析】(1)如图所示，作出轴截面，则等腰△SAB内接于☉O，
而☉O1内切于△SAB.

设☉O的半径为R，则有πR3=972π，
所以R3=729，R=9.所以SE=2R=18.
因为SD=16，所以ED=2.
连接AE，又因为SE是直径，所以SA⊥AE，SA2=SD·SE=16×18=288，所以SA=12.
因为AB⊥SD，
所以AD2=SD·DE=16×2=32，
所以AD=4.
所以S圆锥侧=π×4×12=96π.
(2)设内切球O1的半径为r，
因为△SAB的周长为2×(12+4)=32，
所以r×32=×8×16.所以r=4.
所以内切球O1的体积V球=πr3=π.
(15分钟·30分)
1.(4分)等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，它们的表面积的大小关系是 (　　)
A.S球R，正方体棱长为a，
则πr2·2r=πR3=a3，=，=2π，
S圆柱=6πr2，S球=4πR2，S正方体=6a2，
==·=<1，
==·=>1.
2.(4分)圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为 (　　)

A.81π B.100π C.168π D.169π
【解析】选C.圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l===5r=10，所以r=2，R=8.故S侧=π(R+r)l=π(8+2)×10=100π，
S表=S侧+πr2+πR2=100π+4π+64π=168π.

3.(4分)湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为6 cm，深为1 cm的空穴，则该球半径是________cm，表面积是________cm2.  
【解析】设球心为O，OC是与冰面垂直的一条球半径，冰面截球得到的小圆圆心为D，AB为小圆D的一条直径，设球的半径为R，则OD=R-1，
则(R-1)2+32=R2，解得R=5 cm，

所以该球表面积为S=4πR2=4π×52
=100π(cm2).
答案：5　100π
4.(4分)如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为________.  

【解析】用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，

则圆柱的体积为π×22×5=20π，故所求几何体的体积为10π.
答案：10π
【加练·固】
　　 如图所示的几何体是一棱长为4的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2、深为1的圆柱形的洞，则挖洞后几何体的表面积是________. 

【解析】正方体的表面积为4×4×6=96，
圆柱的侧面积为2π×1=2π，
则挖洞后几何体的表面积约为96+2π.
答案：96+2π
5.(14分)轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的体积.
【解析】如图所示，作出轴截面，

因为△ABC是正三角形，所以CD=AC=2，
所以AC=4，AD=×4=2，
因为Rt△AOE∽Rt△ACD，所以=.
设OE=R，则AO=2-R，
所以=，所以R=.
所以V球=πR3=π·=.
所以球的体积等于.

1.若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r、R，则球的表面积为 (　　)
A.4π(r+R)2 B.4πr2R2
C.4πRr D.π(R+r)2
【解析】选C.如图，设球的半径为r1，
则在Rt△CDE中，DE=2r1，CE=R-r，
DC=R+r.由勾股定理得4=(R+r)2-(R-r)2，解得r1=.
故球的表面积为S球=4π=4πRr.

2.一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，在其内部有一个高为x cm的内接圆柱.
(1)求圆锥的侧面积.
(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值.
【解析】(1)圆锥的母线长为=2(cm)，
所以圆锥的侧面积S1=π×2×2=4π(cm2).
(2)画出圆锥的轴截面如图所示：

设圆柱的底面半径为r cm，由题意，知=，
所以r=，所以圆柱的侧面积S2=2πrx
=(-x2+6x)=-[(x-3)2-9]，所以当x=3时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为6π cm2.

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