1、课时素养评价 五十一
两角差的余弦公式
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.下列各式化简错误的是 ( )
A.cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20°=cos 60°
B.cos 15°=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°
C.sin (α+45°)sin α+cos (α+45°)cos α=cos 45°
D.cos =cos α+sin α
【解析】选D.根据两角差的余弦公式,A,B,C均正确,D选项错误.
2.(多选题)若sin x+
2、cos x=cos(x+φ),则φ的一个可能值是 ( )
A.- B.- C.π D.
【解析】选A、C.对比公式特征知,cos φ=,sin φ=-,
故φ=-,π都合适.
3.已知sin α=,α∈,则cos 等于 ( )
A. B.
C.- D.-
【解析】选B.由题意可知cos α=,cos
=cos =cos
=cos αcos +sin α·sin
=×+×=.
4.若α∈(0,π),且cos=,则cos α等于 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选C.因为α∈(0,π)且cos=,
所以sin
3、
cos α=cos
=×+×=.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.已知sin α=,α是第二象限角,则tan α=________,cos(α-60°)=
________.
【解析】因为sin α=,α是第二象限角,
所以cos α=-,
所以tan α==-,
cos(α-60°)=cos αcos 60°+
sin αsin 60°=×+×=.
答案:-
6.化简:cos (α-55°)cos (α+5°)+sin (α-55°)sin (α+5°)=________.
【解析】原式=cos [(α-55°)-(α+5°)]=
cos (-6
4、0°)=.
答案:
三、解答题(共26分)
7.(12分)若x∈,且sin x=,求2cos+2cos x的值.
【解析】因为x∈[,π],sin x=,所以cos x=-.
所以2cos+2cos x
=2+2cos x
=2+2cos x
=sin x+cos x=-=.
8.(14分)已知tan α=4,cos(α+β)=-,α,β均为锐角,求cos β的值.
【解析】因为α∈,tan α=4,
所以sin α=4cos α,① sin2α+cos2α=1, ②
由①②得sin α=,cos α=.
因为α+β∈(0,π),cos (α+β)=-,
所以sin
5、 (α+β)=.所以cos β=cos[(α+β)-α]
=cos (α+β)cos α+sin (α+β)sin α
=×+×=.
所以cos β=.
(15分钟·30分)
1.(4分)若sin =a,则cos = ( )
A.-a B.a C.1-a D.1+a
【解析】选B.cos =cos
=cos cos +sin sin =a.
2.(4分)已知锐角α,β满足cos α=,cos (α+β)=-,则cos (2π-β)的值为 ( )
A. B.- C. D.-
【解析】选A.因为α,β为锐角,cos α=,cos(α+
6、β)=-,
所以sin α=,sin (α+β)=,所以cos (2π-β)=cos β=cos[(α+β)-α]=cos (α+β)cos α+sin (α+β)sin α=-×+×=.
3.(4分)若sin α=,α∈,则cos 的值为 ( )
A.- B.- C.- D.-
【解析】选B.因为sin α=,α∈,
所以cos α=-=-=-,
所以cos =cos cos α+sin sin α,
=×+×=-.
4.(4分)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=,cos(α-β)=________.
【解析】因为sin β=sin α,cos β=-cos α,
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β
=-cos2α+sin2α=2sin2α-1=-.
答案:-
5.(14分)若sin =,cos =,且0<α<<β<,求sin(α+β)的值.
【解析】因为0<α<<β<,所以<+α<π,-<-β<0,又sin
=,
cos =.
所以cos=-,sin=-.
所以sin (α+β)=-cos
=-cos =
-
=-=.
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